Сплетающие операторы и интегрируемые системы

Оглавление
0.1 Обзор проблематики и предыдущих исследований.................... 4
0.2 Описание содержания работы..................................... 11
0.3 Краткая формулировка основных результатов работы................21
0.4 Разное......................................................... 24
1 Предварительные сведения 25
1 Группы Ли, алгебры Ли, представления................................. 25
2 Подалгебры Бореля,Картана, Системы корней.............................26
2.1 Пример 5/г(АГ)................................................... 30
3 Универсальная обертывающая алгебра и операторы Казимира 32
3.1 Примеры операторов Казимира.................................... 32
4 Представления групп и алгебр Ли ..................................... 33
5 Алгебры Каца-Муди....................................................... 37
6 Квантовые группы........................................................ 41
7 Интегрируемые системы................................................ 43
2 Следы сплетающих операторов. 47
1 Введение............................................................. 47
2 Ферми случай ........................................................ 49
3 Бозе случай.......................................................... 60
4 Формулы Фрсдгольма................................................... 63
5 Следы сплетающих операторов...........................................67
5.1 Следы вертексных операторов.................................... 68
5.2 Дубль Янг нала, сплетающие операторы........................... 71
5.3 Сходимость бесконечного произведения........................... 78
6 Регуляризация следов. Следы в пространствах с выделенным базисом. 79
6.1 Регуляризация следов........................................... 80
6.2 "Непрерывный" базис............................................ 83
6.3 След и производящие функции.....................................84
1
3 Волновые функции Уиттекера в цепочке Толы и сплетающие операторы 89
1 Введение ............................................................ 89
2 Общая схема построения интегрируемых систем и соотношений на
волновые функции.....................................................92
2.1 Построение интегрируемой системы.............................. 93
2.2 Сплетающие операторы и соотношения па волновые функции . . 95
3 5£(2) Цепочка Топы................................................... 97
3.1 Обозначения................................................... 97
3.2 Функции Уиттекера............................................. 98
3.3 Сплетающие операторы..........................................100
3.4 Соотношения на функции Уиттекера..............................103
4 5£г(3) Цепочка Тоды..................................................106
4.1 Обозначения...................................................106
4.2 Функции Уиттекера........................................... 107
4.3 Сплетающие операторы..........................................108
4.4 Соотношения для волновых функций Уиттекера...................110
5 $Цп) цепочка Тоды....................................................112
5.1 Обозначения...................................................112
5.2 Функции Уиттекера ............................................112
5.3 Сплетающие операторы..........................................113
6 Квантовая группа (/,(5/3) и q-aнaлoгк функций Бесселя................116
6.1 Обозначения...................................................116
6.2 <1 функции Бесселя............................................117
6.3 Сплетающие операторы..........................................119
6.4 Соотношения на функции Уиттекера..............................122
7 Заключительные замечания ............................................122
4 Сплетающие операторы и билинейные соотношения для обобщенных т-функций 124
1 Введение.............................................................124
2 Обобщенные г-функции.................................................126
3 7-функции для 5Х(3). Билинейные соотношения и нелинейные уравнения 130
3.1 Обозначения...................................................130
3.2 Билинейные тождества, нелинейные уравнения ...................131
3.3 Вывод билинейных тождеств.....................................134
4 Билинейное соотношение для 5ЦИ) 7-функций............................138
4.1 Обозначения...................................................139
4/2 Билинейное тождество..........................................139
2
5 Билинейные тождества для .$Х(3)
3
Введение
Работа посвящена применению теории представлений групп Ли к исследованию ин-тегрирусмых систем.
0.1 Обзор проблематики и предыдущих исследований
Интегрируемые системы, их приложения, теоретико-групповой подход
Последние 30 лет математики и физики активно исследовали теорию интегрируемых систем. Эта теория органично вобрала в себя методы различных областей математики: алгебраической геометрии, теории групп Ли и их представлений, теории специальных функций и т.д. В то же время она обогатила эти классические дисциплины новыми методами и задачами, например: решение проблемы Шоттки в теории алгебраических кривых и изобретение квантовых групп, мотивированное желанием ПОПЯТЬ симметрии квантовых интегрируемых систем. Интегрируемые системы иногда рассматриваются как слишком простые, поскольку системы общего положения не являются интегрируемыми, но с одной стороны можно надеяться на то, что природа устроена достаточно гармонично и настоящие фундаментальные законы природы, а не приближения, которые часто используются на практике, в действительности интегрируемы [1], кроме того методы теории интегрируемых систем могут быть примени-мы к исследованию уравнений не интегрируемых в смысле стандартного определения интегрируемости по Лиуанллю, например уравнения типа Пенлеве [2], с таким же явлением мы встретимся и в нашей работе. В последние годы теория интегрируемых систем нашла применение в огромном числе разделов физики: теория струп [1], Теории суисрсиммстрвчных калибровочных теорий (теория Зайберга-Виттена) [3], матричных моделях [4], конформных квантовых теориях поля [5], квантовом эффекте Холла, топологических теориях поля (6|, теориях Ландау-Гинзбурга [7] и т.д. Интегрируемые системы оказались связанными с такими сложнейшими вопросами современной алгебраической геометрия, как геометрическое соответсвие Ленглсндса [8, 9], теория квантовых когомологий и инвариантов Громова-Виттена (10]. Теория много членов Макдональда [11] неразрывно связана с пнтегриремой моделью Рудженаарса, исследования этих многочленов, фактически являющимися волновыми функциями модели Рудженаарса, выводят па такие сокровенные вопроси теории представлений, как теория канонических базисов и полиномов Каждапа-Лкхтига [12], модулярных представлений алгебр Гсккс [13] и т.д. И последний аргумент, который мы позволим себе привести в оправдание изучения интегрируемых систем, является то, что эти "простые” системы обладают такой глубокой структурой п красотой, что уже известное о них представляется скорее вершиной айсберга.
Причина, по которой некоторые уравнения оказываются интегрируемыми, состо-
4
ит в том, что они обладают скрытой симметрией. Математический способ описания симметрий - теория групп, алгебр и их представлений. Таким обратом, теория представлений оказывается достаточно адекватным инструментом исследования. Взаимосвязь теории представлений и теории интегрируемых систем столь многогранна, что не только не может быть охвачена в рамках одной диссертации: но и вряд ли можно назвать менее десятка обзоров [14, 15, 16, 17, 18] и монографий [23 , 22, 21, 20, 19], которые дадут представление лишь об основных направлениях взаимодействия этюс двух дисциплин. В большинстве случаев оказывается возможным дать теоретико-групповую интеирстацию всем компонентам интегрируемых систем: фазовое пространство, симнлектическая структура, гамильтонианы, пары Вакса, решения и т.д. могут быть проннтепретированы в терминах группы симметрий дайной системы. Но кроме того, что теория групп оказывается удобным инструментом исследования, нам бы хотелось подчеркнуть, что тс вопросы, которые задаются при исследовании интегрируемых систем, на самом деле часто совпадают с основными вопросами задаваемыми в теории представлений, но заданными немного на другом языке: гамильтонианы соответсвуют операторам Казимира, волновые функции - зональным сферическим функциям пли характерам представлений, матрицы рассеяния - мерам Планшереля, и т.д. Тем самым при исследовании интегрируемых систем часто поднимаются те же фундаментальные вопросы теории представлений, что исследовались классиками этой науки - Гельфандом, Хариш-Чандрой, Березиным, Карпелсвичем, Гиндикиным, Косгантом [24], и работы в данной области являются в определенном смысле развитием их работ.
Метод обратной задачи рассеяния, квантовый метод обратной задачи, корреляционные функции квантовых интегрируемых систем и сплетающие операторы
В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 2 настоящей работы.
Точкой отсчета развития современной теории интегрируемых систем примято считать работу [25], в которой был предложеп метод решения (метод обратной задачи рассеяния (МОЗР)) уравнения Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения, описывающего волны на мелкой воде. Замсчательность этой работы состояла в том, что впервые было найдено вполне нетривиальное нелинейное уравнение в частных производных, которое тем не менее удалось решить, найти в нем сохраняющиеся вс-личиыы, обнаружить интересную динамику специальных частице-подобных решений (солитонов). Тем самым был сделай первый шаг в разрушении стереотипа о том, что нелинейные уранепия решать нельзя, а возможно лишь некоторое качественное исследование. Скажем несколько слов о самом МОЗР. Основная идея состоит
5
в том, что, если потенциал уравнения Шредин сера эволюционирует по уравнению Кортеиега-де Фриза, то данные рассеяния удовлетворяют линейному уравнению, соответственно, для решения задачи Коши уравнения Кортсвега-де Фриза необходимо перейти к данным рассеяния, затем проэволюционировать их в соотвстсвии с линейных! уравнением, что сводится к некоторому умножению на экспоненты, а затем решить так называемую обратную задачу - воостаиовление потенциала по данных! рассеяния, что можно сделать, используя уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко [26, 27) или теорию задачи Римана [28].
Некоторое врсх!я после работы [25] оставалось неясным, возможно ли обобщение ме*ходов этой работы на другие уравнения. В работе [29] было найдено другое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), которое тоже может быть решено методом обратной задачи рассеяния, тем самым было продемонстрировано, что уравнение Кортевега-де Фриза не есть единичный и исключительный пример, но возможны и другие уравнения, решаемые аналогичных! образом. В последствии было найдено огромное количество уравнений ( Кадомцева-Петвиашвили, Sin-Gordon, Буссинсска, Тоды и т.д.) которые возможно решать аналогичными методами. В работе [30] было показано, что уравнение Кортевегаде Фриза является интегрируемым, т.е. имеет достаточное количество коммутирующих относительно скобки Пуассона законов сохранения. В последствии было показано, что почти все известные решаемые методом обратной задачи уравнения являются вполне интегрируемыми системами. Прсрвех! здесь на время наш очень краткий очерк развития теории классических нелинейных интегрируемых уравнений, отослав читателя к монографиям (31* 32] и указанной тах! литературе.
Успешное применение МОЗР к рсшгних> в решении классических уравнении подняло вопрос о возможности аналогичных рассмотрений для квантовых моделей. После предварительных квазиклассических и пертрубативных рассмотрений (33, 34] в 1979-ом году Л.Д. Фаддеевам и его соавторами был создан квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) [35, 36]. Этот метод позволил ответить на большое количество вопросов в исследовании двумерных интегрируемых моделей (XYZ магнетик Гейзенберга, восьмивершинная модель, Sin*Gordon, нелинейный Шредштгер и т.д.) Метод подробно освяшен в монографии [37]. Однако, задача вычисления корреляционных функций во многих из этих моделей долгое время оставалась нерешенной. 11 1984-ом году была создана, так называемая квантовая конформная теория поля [38], в рамках которой задача вычисления корреляционных функций может быть успешно решена. Корреляционные функции находятся с использованием теории представлений алгебр Каца-Муди и алгебры Вирасоро. Успех тсоретихо-иредставлснческнх методов в конформных теориях привел к естественному желанию их обобщения на интегрируемые модели, оказывается, что такое обобщение возможно, однако вместо теории представлений обычных алгебр необходимо использовать теорию квантовых групп [39, 40, 41]. Квантовые группы возникли из недр квантовою метода обратной задачи [42, 43], поэтому их уместность в исследовании квантовых интегрируемых си-
6
стем была понятна, однако до появления работ (44, 45,23] структура интегрируемых моделей с точки трепня теория квантовых групп была не ясна, и возможность использования квантовых групп для решения модели оставалась лишь надеждой. В работах [44, 45, 23] на примере ХХ&магнетика Гейзенберга было продемонстрирована каким образом корреляционные функции интегрируемых моделей могут быть найдены с помощью методов теории представлений квантовых групп. Была понято каким представлениям квантовых групп соответствует гильбертово пространство модели, было найдено явное выражение для спиновых операторов в модели, показано, что вычисление следов сплетающих операторов приводит к нахождению корреляционных функций. Вскоре после этого (46, 47, 48, 49, 50, 51, 52] данный метод был развит н перенесен на другие модели (5и(2)-инвармантная модель Тиррннга, Гасе-модели, Яш-Оог<1оп, 'Года). Отметим, что это потребовало введения новых вариантов квантовых групп (51]. Во всех вышеперечисленных работах физически важные величины - корреляционные функции, формфакторы вычисляются как следы некоторых операторов, действующих в пространствах Фока. В первой главе нашей работы мы доказываем формулу, которая позволяет вычислять следы подобных операторов. В вышеуказанных работах следы вычислялись с привлечением техники Клавслли-Шапиро (53]. Наша результат позволяет сразу писать ответ, не производя дополнительных вычислений. Кроме того он верен для более широкого класса операторов. Оказалось, что рассмотрение следов подобных операторов полезно не только в математической физпке, но и в чистой математике: мы показываем, каким образом в терминах таких следов можно дать красивую интерпретацию минора Фредгольма и вывести из нашей формулы для следа следует формула Фредгольма для решения интегрального уравнения, также естественно получается симметрический аналог теории Фредгольма: результаты Фредгольма остаются верными, если заменить в формулах Фредгольма детерминанты на перманенты. Операторы, чьи следы задают корреляционные функции в интегрируемых моделях, с точхи зрения теории представлений являют ся сплетающими операторами между некоторыми представлениями алгебр Ли или их квантовых деформаций. Оказывается, что подобные сплетающие операторы могут быть использоваяы, для решения гак называемых многочастичных интегрируемых моделей. В работах [54 , 55, 56] было показано, что через следы сплетающих операторов между некоторыми представлениями групп Ли и квантовых групп могут быть выражены решения моделей Катоджеро, Сазерленда, а также полиномы Макдональда. В работе [57] было показано, что следы некоторых вертсксных операторов связанных с я-деформнрованной анеброй Вирасоро приводят к интегральным представлениям для полиномов Макдональда. Это лишь некоторые результаты, в которых играют важную роль сплетающие операторы, а также более общие вер-тексные операторы, доказывающие важность изучения данного класса операторов, в частности вычисления их следов. Позволим себе на этом закончить прелюдию к первой главе нашей работы, цель вышесказанного была в том, чтобы мотивировать постановку той задачи, которой мы занимались, и дать обзор близких исследований.
7
Конечномерные интегрируемые системы, сплетающие операторы и тождества на волновые функции
В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 3 настоящей работы.
Параллельно развитию теории нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных, таких как уравнения Кортевега-де Фриза, Кадомнева-Петвнашвили и г.д. в 70-ыс годы развивалась теория нелинейных интегрируемых обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих квантовых моделей, причем квантовые модели иногда появлялись раньше классических. Основные примеры - эго модели Калоджсро (58], Сазерленда (59], 'Годы (60,, одномерный бозс-газ (61], модели типа волчков [62]. Первые три Тила моделей, которые и будут наиболее интересны для нас, - модели, описывающие движение частиц на прямой с попарным взаимодействием типа: 4? - Калоджеро; —ді - Сазерленд; - Топа. Было доказано, что данные модели интегрируемы по Лиувкллю, т.е. имеют достаточное количество интегралов в инволюции, найдено представление Лакса, для таких моделей, при некоторых значениях параметров были найдены волновые функции. В работе (63) была осознана связь рассматриваемых систем и групп Ли: было показано, что данный тип систем обобщается на произвольные полупростые группы Ли, затем в [6-1) было показана связь геодезических потоков на однородных пространствах и этих моделей, что приводит к явному решению классических уравнений в этих моделях. В работе [65] было показало, что, используя теорию симметрических пространств, операторов Лапласа на них, можпо решать квантовые интегрируемые системы. Фактически радиальная часть оператора Лапласа на симметрических пространствах сводится к гамильтониану интегрируемой системы. Тем самым была установлена тесная связь теории групп Ли, симметрических пространств и теорией интегрируемых систем. Связь между этими двумя дисциплинами активно развивалась в дальнейшем, отметим лишь работы (66, 67, 6§, 69, 70]. Прекрасный обзор данной проблематики можно найти в [14, 15].
Новый этан в развитии теории многочастичных интегрируемых систем начался в 90-ые годы. Связь с теорией представлений групп Ли, алгебр Гекке, алгебр Капа-Муди стала практически неразрывной. Эти исследования были мотивированы на первый взгляд совершенно не связанных«« вопросами: уравнение Книжника-Замолодчнкова, полиномы Макдональда и разностные аналоги систем типа Калоджеро - системы Рудженаарса, операторы Данила и представления алгебр Гекке, систе-мы Хитчина, Годена и геометрическое соответсвин Ленглендса, каноничские базисы, модели со спином, матричные модели, квантовый эффект Холла, топологические теории, теория Зайберта-Виттена и т.д. Кроме приведенных выше многочисленных приложений и взаимосвязей с различными дисциплинами, на данном этапе развития теории конечномерных иптегрируех«ых систем большое внимание стало уделяться
8
изучению волновых функций, т.е. решениям квантовых систем. Рассматривая одночастичные интегрируемые системы, мы видим, что решения задаются различными классическими специальными функциями от одной переменной: функциями Бесселя, Матье, Эйри, возникают классические ортогональные многочлены Гегенбауэра, Якоби. Когда мы переходим к случаю многих частиц, возникают функции многих переменных, которые естественно обобщают классические специальные функции. Это является, на наш взгляд, очень важным побочным продуктом теории интегрируемых систем, поскольку необходимость обобщения теории специальных функций на случаи многих переменных, совершенно ясна, но в то же время явно не достаточно разработана, одной из причин этой не разработанности является не очевидность самого определения, какие функции от нескольких переменных следует считать обобщениями классических специальных функций одного переменного ? Теория интегрируемых систем и теория групп дают ответ на этот вопрос, мы рассматриваем функции от Лг переменных, которые являются собственными для ДГ коммутирующих дифференциальных операторов, они же оказываются зональными сферическими функциями, характерами или их обобщениями в теории групп. Такое обобщение является вполне содержательным, что доказывает обилие нетривиальных результатов о таких функциях. Естественно встает вопрос о переносе наших знаний о функциях одного переменного на случай многих переменных. Например хорошо известно, что для классических специальных функций от одною переменного имеются, интегральные представления, представления в виде гяпергеометрических рядов, рекуррентные соотношения. формулы типа Родрига, формулы сложения, часто имеются интересные производящие функции для специальных функций, теоремы о поведении нулей, И т.д. и т.п. Перепое этих утверждений на функции от многих переменных является содержательной и нетривиальной задачей. Одним из таких вопросов мы занимаемся во второй главе нашей работы. Мы показываем, как рассмотрение сплетающих операторов между представлениями групп Ли позволяет получать различные соотношения на волновые функции в цепочке 'Годы. Закончим на этом вводные комментарии к материалу »хорой главы, которые нам показалось уместным сообщить, и перейдем к третьей главе.
г-функции и алгебры Ли
В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 'I настоящей работы.
При исследовании интегрируемых систем постепенно было осознано, что за симметриями конечномерных интегрируемых систем стоят коиечпомерные алгебры Ли, а симметриями бесконечномерных динамических систем, коими являются интегрируемые уравнения в частных производных, управляют бесконечномерные алгебры Ли, алгебры Каца-Муди и тщ. В пионерских работах [16} теория представлений аф-
9
финных алгебр и алгебра CL^ была активно использована для построения решений иерархий КдВ и КП, показано действие вертексных операторов на решениях утих систем. Дано представление решения в виде "ферм ион ного коррелятора”, т.е. матричного элемента группы GL^ в фундаментальных представлениях. В работах М. и Я. Сато (71] была предложена замечательная конструкция связывающая бесконечномерный грассманиан и иерархию КП. Выло покалано, что нелинейные уравнения линеаризуются на грассманианс Сато, билинейные соотношения Хироты на г-функш51о оказываются просто соотношениями Нлюкксра, конструкция Кричевера получат прозрачную интерпретацию в терминах грассманиана Сато и т.д. Подход на основе аффинных алгебр Ли, затем активно развивался (19, ‘20, 72]. Кроме того с развитием теоретико-группового подхода х интегрируемым уравнениям стало понятно, что теорию групп можно рассматривать как машину для производства интегрируемых систем, причем часто интегрируемая система полученная с помощью теории групп приходит вместе с ее решениями, интегралами движения, представле-ОЛЯМ Лакса, прозрачной интерпретацией фазового пространства, и всеми остальными ’’удобствами". Это делает групповой подход очень привлекательным. Были предложены различные способы получать интегрируемые системы с помощью групп Ли (73,74, 18). Тем не менее развитие приложений таких как: теория матричных моделей [4), модели Ландау-Гинзбурга, топологические сигма-модели и т.д. показывает, что имеющихся в наличии интегрируемых систем не достаточно. Это делает оправданным еще одно обращение к теории групп с попыткой построить новые ин тегрируемые системы. В работе [75} (см. также обзор (79)) основываясь на подходе (16) была предложена конструкция обобщенных г-функций. Данная конструкция но произвольной алгебре Каца-Муди и ее произвольному представлению старшего веса строит обобщенную 7 функцию. Было показано, что основное свойство обычных т-функций -билинейное соотношение сохраняется и для обобщенных г-функций. Конструкция билинейных соотношений основана на рассмотрении сплетающих операторов между тензорньши произведениями представлений соответствующей алгебры Каца-Муди. Принципиальное отличие обобщенных г-функций от обычных состоит в том, что обычные г-фупкгши строятся на основе генераторов алгебры Ли, которые коммутируют друг с другом, а в нашем случае мы используем все генераторы нилыю-тентной подалгебры, это приводит к тому, что уравнения, которым удовлетворяют обобщенные Г-функции являются неавтономными, т.е. к ним не применимо обычное понятие интегрируемости по Лиувиллю, но сам их хсстод построения, основанный на теории групп, их другие свойства, показывают, что они ни чем не хуже интегрируемых уравнений. Четвертая глава этой работы посвящена изучению обобщенных r-функций. Мы доказываем ряд общих свойств, таких как разложение обобщенных г-функций, соответствующей произвольнохіу представлению в произведение г-функций фундаментальных представлений, хсы сводим задачу нахождения билинейных тождеств к некоторым типичным задачам теории представлений, таких как нахождение старшего вектора, крохсе того подробно исследуются т-функции, соот-
10
встствующис группе 5£(ЛТ).
0.2 Описание содержания работы
Основное направление нашей работы состоит в применении сплетающих операторов (интертвайнеров) к исследованию интегрируемых систем. Напомним, что сплетающим оператором между двумя представлениями называется оператор, который перестановочен с действием группы. Простая, по в то же время очень важная Лемма Шура утверждает, что если представления неприводимы, то такой оператор единственен с точностью до пропорциональности. Таким образом, мы видим что Требование быть сплетающим очень жесткое, и можно надеяться, найдя такие операторы, что они обладают интересными свойствами. Действительно так и происходит в большом числе случаев, чему и посвящена наша работа, а также большое количество других работ (см. например [44, 45, 46, 50, 51, 54, 55, 56, 75, 80, 81)).
В первой главе мм приводим необходимые сведения из теории алгебр Ли и интегрируемых систехь Вторая глава посвящепа изучению следов сплетающих операторов и их обобщений. В третьей главе мы используем сплетающие операторы для получения различных соотношений между ВОЛКОВЫМИ функциями модели Толы. В четвертой главе мы исследуем обобщенные г-функции и билинейные соотношения для них, получаемые с помощью сплетающих операторов.
Дадим более подробное описание содержания работы.
Содержание первой главы
Первая глава содержит необходимый нам предварительный материал. Мы нано минасм определения групп и алгебр Ли, алгебр Каца-Муди, квантовых групп. Нам понадобятся некоторые сведения из структурной теории полупростых алгебр Ли: подалгебры Бореля и Картана, образующие Шсвалле, корни, веса, группы Вейля. Мы будем пользоваться следующими сведения?.ш из теории представлений: теория представлений старшего веса, сплетающие операторы, тензорные произведения Представлений, фундаментальные представления, реализация представлений по Борелю-
Вейлю.
А также мы напомпвм злемепты теории интегрируемых систем: интегрируемость по Лиувиллю, для классических и квантовых систем, вспомогательная линейная задача, пары Лакса, г-фупкция.
Содержание второй главы
Вторая глава нашей работы посвящена доказательству и применению формулы для следов сплетающих операторов и их обобщений. Мы показываем, как >та форх<ула
11
может быть применена к вычислению следов сплетающих операторов между представлениями аффинных алгебр и их квантовых деформаций, и вообще к вычислению следов вертехеных операторов. В свою очередь нахождение подобных следов может бить применено к нахождению формфакторов и корреляционных функции, в моделях квантовой теории поля (Біп-Согсіоп, Зи(2)-Тирринг), статистической физики (шести вершинная модель) и квантовой механики (магнетик Гейзенберга). Могут быть получены формулы для решений квантового уравнения Книжника-Залюлодчикова. Кроме того в терминах следов подобных операторов получена красивая интерпретация для миноров Фредіхлльма, и показано, что из частного случая нашей формулы вытекает теорема Фредгольма о решении интегрального уравнения, также оказалось, что имеются аналоги всех этих утверждений для случая перманентов. Имеются приложения х комбинаторным тождествам.
Опишем содержанке более развернуто. Пусть V - некоторое линейное пространство, (возможно бесконечномерное). Рассмотрим ЛУ = ф20Л'У - внешнюю алгебру пространства V. физики называют ее фермпонным пространством Фока. Любой оператор р на пространстве V индуцирует действие оператора р на пространстве Л У по формуле : р(Д, У|) = Д ■ р(у|), где у\ - произвольные элементы из V. Отметим, что сопоставление (У,р) -> (Л У,/?) часто называется функтором вторичного квантования (82).
Для произвольного V € Л У обозначим через С(у) оператор умножения сле.оа на V. Для Є ЛУ* обозначим через \у Є ЛУ* оператор сопряженный к оператору умножения на \\г.
Теорема
ТгАУ (рА(ъ-)С{\)) = ТгАу (р)
Мы рассматриваем также некоторые модификации этой формулы, даем три различных доказательства (пригодные в разной степени общности). Естественно вопрос о следах в случае бесконечномерного пространства V нуждается в пояснениях, что и сделано в нашей работе.
Также рассматривается случай бозонного пространства Фока и доказывется аналогичная формула для этого случая.
Приложения к теории Фредіч)льма Пусть V = С[а,6] - пространство непрерывных функций, />[/(*)] = £ К{т,у)/(у) - интегральный оператор.
12