Взаимодействия элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения..........................................................5
Введение......................................................................7
1. Ударно-волновые системы и их элементы.....................................12
1.1. Ударно-волновые системы и их оптимальность..........................12
1.2. Интенсивности элементов ударно-волновых систем. Соотношения
на скачках и волнах.................................................13
1.3. Поворот потока на скачках и волнах. Плоскость интенсивностей волн...15
1.4. Дифференциальные условия динамической совместности на скачках уплотнения и слабых разрывах..................................................20
1.5. Огибающая семейства прямолинейных характеристик и основные неравномерности течения в волне Прандтля-Майера.................................21
1.6. Взаимодействие элементов систем. Ударно-волновые структуры..........25
1.7. Течения с несколькими ударно-волновыми системами....................27
2. Взаимодействия догоняющих скачков уплотнения и волн Прандтля-Майера..............................................................29
2.1. Взаимодействие волны Прандтля-Майера и последующего догоняющего скачка...................................................................30
2.1.1. Схема воздействия волны Прандтля-Майера на последующий догоняющий скачок.............................................................30
2.1.2. Определение формы скачка на основе дифференциальных условий динамической совместности................................................34
2.1.3. Модель взаимодействия, предполагающая равенство статических давлений и сонаправленность потоков за исходящими волнами...................38
2.1.4. О точности предлагаемых моделей взаимодействия..................42
2.1.5. Форма и перегибы криволинейного скачка..........................44
2.1.6. Смена типа течения за скачком и в отраженной волне..............46
2.1.7. Вырождение исходящих скачков и волн.............................50
2.1.8. Возникновение дозвукового течения за скачком и отраженной волной..52
2.1.9. Построение скачка с дозвуковым течением за ним..................54
2.1.10.Влияние показателя адиабаты на решение задачи...................57
2
2.2. Взаимодействие скачка уплотнения с последующей догоняющей волной
Прандтля-Майера.....................................................59
2.2.1. Схема взаимодействия скачка и догоняющей волны..................60
2.2.2. Определение параметров исходящих скачков и волн.................62
2.2.3. Свойства отраженной волны.......................................68
2.2.4. Особые случаи взаимодействия скачка с догоняющей волной.........70
2.2.5. Приложение решения задачи взаимодействия к оптимизации потерь полного давления.......................................................72
2.2.6. Аппроксимация формы взаимодействующего скачка...................73
2.2.7. Приложение решения задачи к анализу регулярного и маховского отражения..............................................................77
Выводы по главе 2............................................................79
3. Модели взаимодействия волн Прандтля-Майера с различными поверхностями.....................................................................80
3.1. Постановка общей задачи о взаимодействии волны с поверхностью.......80
3.2. Общая система уравнений.............................................81
3.3. Применение построенных моделей......................................84
3.4. Отражение слабого разрыва от поверхности............................87
3.5. Модель течения с постоянными вдоль линий тока параметрами в задаче
о взаимодействии волны разрежения со свободной поверхностью.........90
3.6. Сопряжение волны Прандтля-Майера с границей области квазиодномерного
течения.............................................................90
3.7. Дифференциальные характеристики поля течения в отраженной волне.....97
3.8. О возможности обобщения на осесимметричный случай..................100
3.9. Выводы по главе 3..................................................101
4. Оптимальные ударно-волновые системы в сверхзвуковой аэродинамике... 103
4.1. Оптимизация ударно-волновых систем в задаче об обтекании одиночной
пластины...........................................................104
4.2. Стационарное взаимодействие сверхзвуковых потоков на задней кромке
пластины...........................................................108
4.3. Постановка задачи об обтекании пластины с передним щитком..........112
4.4. Области существования ударно-волновых систем.......................113
3
4.5. Исследование разностей статических давлений и температур при нулевом
угле атаки пластины................................................118
4.6. Оптимизация ударно-волновых систем при ненулевых суммарных углах поворота потока...........................................................122
4.7. Влияние наклона щитка на аэродинамические коэффициенты..............127
4.8. Выражение аэродинамических коэффициентов многоугольных профилей через интенсивности скачков и волн......................................130
4.9. Анализ аэродинамических коэффициентов многоугольных профилей 133
Выводы по главе 4...........................................................135
5. Приближенно-аналитические модели сверхзвуковых течений
с маховским отражением скачков уплотнения................................137
5.1. Описание структуры течения. Постановка задачи.......................137
5.2. Особые и оптимальные свойства стационарных маховских конфигураций.....................................................................140
5.3. Место рассматриваемого отражения на множестве произвольных
тройных конфигураций...............................................144
5.4. Приближенное описание течения за маховским скачком..................145
5.5. Расчет сверхзвуковой части течения методом характеристик............148
5.6. Тип течения за отраженным скачком...................................148
5.7. Аналитическое описание поля течения за отраженным скачком...........149
5.8. Построение отраженного скачка.......................................152
5.9. Падение веера характеристик на тангенциальный разрыв................153
5.10. Алгоритм подбора высоты маховского скачка..........................155
5.11. Результаты расчетов струйного течения..............................156
5.12. Обобщение на случай течения в плоском сужающемся канале............159
Выводы но главе 5...........................................................161
Заключение.................................................................163
Библиографический список использованной литературы..........................164
Приложение.................................................................172
4
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а - скорость звука;
с - произвольный аэродинамический коэффициент; с/ - скоростной напор;
Е - отношение плотностей газа до волны и за ней;
/ - произвольная тодинамическая переменная;
/ - импульс потока; у - скачок уплотнения;
3 - интенсивность волны;
К - геометрическая кривизна;
L - длина;
М - число Маха;
N - неравномерность потока; р - статическое давление;
Я, п - функции изоэнтропноготечения;
г - волна Прандтля-Майера;
5 - ударно-волновая система;
Т - температура;
V - скорость потока;
и> - элемент ударно-волновой системы;
2 - акустический импеданс; а - угол Маха, а также угол атаки тела;
Р - угол поворота потока в волне;
Г - функция числа Маха (характеристический комплекс);
£ = (/-1)/(/ + 1) - функция показателя адиабаты;
Л = 1пУ - функция интенсивности волны; р - плотность;
сг - угол наклона скачка к вектору скорости потока перед ним; в - угол течения, а также угол, характеризующий утолщение профиля; © - отношение температур за волной и до нее; г - тангенциальный разрыв;
5
X - показатель направления волны Прандтля-Майера; ср - угловая координата в полярной системе координат;
4х - показатель типа волны Прандтля-Майера (= +1 в волне разрежения и ^ = -1 в волне сжатия).
Нижнне индексы относятся:
о - к параметрам торможения;
с - к скачкам уплотнения, соответствующим точке Крокко; к - к fc-ому элементу ударно-волновой системы и с параметрам течения за ним;
/ - к скачкам уплотнения с предельным углом поворота потока; m - к параметрам на прямом скачке уплотнения; п - к параметрам за системой;
N - к параметрам скачка уплотнения, соответствующим критерию фон Неймана; р - к скачкам уплотнения, соответствующим точке постоянного давления;
Т - к “тройной точке” маховского отражения;
Г - к огибающей семейства ударных изомах; а - к скачку уплотнения;
v - к криволинейной акустической характеристике;
* - к скачкам уплотнения со скоростью течения за ними, равной скорости звука.
Верхние индексы относятся:
(d) - к скоростному напору;
(/)- к газодинамической переменной /;
(/) - к импульсу потока;
(/) - к скачку уплотнения;
(д) - к плотности потока массы;
lim - к предельному углу поворота в волне разрежения;
тах - к максимальному углу поворота в ударно-волновой системе;
(<р) - к угловой координате в полярной системе координат.
6
Введение
Неотъемлемым атрибутом многих течений газа, изучаемых в сверхзвуковой газовой динамике, являются образующиеся в сверхзвуковых потоках скачки уплотнения и волны Прандтля-Майера. Последовательно расположенные друг за другом, эти скачки и волны образуют ударно-волновые системы и называются элементами этих систем. Исследование особых свойств ударно-волновых систем, оптимизация и анализ взаимодействия (интерференции) их элементов имеют большое значение при исследовании сверхзвуковых течений в соплах, струях, каналах, воздухозаборниках воздушно-реактивных двигателей, разработке оптимальных форм летательных аппаратов и их несущих поверхностен. Большую сложность при анализе представляет взаимодействие элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями, особенно тс его формы, которые не локализуются в одной точке, а занимают некоторую (конечную или полубесконечную) область в поле течения. К таким взаимодействиям относится интерференция скачков с волнами Прандтля-Майера и волн Прандтля-Майера с поверхностями различной формы и природы. Эти виды взаимодействия значительно усложняют картину течения, но их практическая важность обусловливает необходимость их исследования и актуальность проведенной работы.
Первые работы по исследованию ударно-волновых систем относятся к 40-м годам XX века, принадлежат Г.И.Петрову и Е.П.Ухову [50] и, независимо от них, К.Осватичу (ссылка в [14]). Они посвящены созданию последовательностей скачков уплотнения, тормозящих сверхзвуковой поток до дозвуковых скоростей с наименьшими потерями полного давления. Тема этих исследований возникла вследствие необходимости конструирования эффективных сверхзвуковых воздухозаборников в первых воздушно-реактивных двигателях зарождавшейся сверхзвуковой авиации.
Аналитические и численные исследования ударно-волновых систем значительно упростились при введении соотношений на скачках уплотнения в современной, удобной для практики форме (Шуберт, 1943 г.). Решению задач о взаимодействии скачков уплотнения между собой, их регулярном и маховском отражении способствовала разработка теории “разветвленных” скачков (Г.Эгинк, 1943 г.; Л.Смит, 1945 г.; В.Бликни и А.Тауб, 1946 г.; [12,85,18]) и введение плоскости интенсивностей волн для их анализа (В.Вюст, [13]). Современные работы В.Н.Ускова и В.Н.Омельченко [42-47,22,34] позволяют обнаружить ударноволновые системы, оптимальные по различными критериям (например, доставляющие экстремумы статического давления, температуры, скоростного напора, суммарного угла поворота потока) при разнообразных ограничениях на составляющие их элементы.
Одновременно с исследованиями ударно-волновых систем рассматривались задачи о взаимодействии скачков уплотнения со слабыми возмущениями [71,73] и, в первом приближении, с волнами Прандтля-Майера [32,97]. Результаты теории ударных волн и их взаимо-
7
действия, полученные в 40-50-е годы, наиболее полно изложены в работах Р.Кураита и К.Фридрихса [32], Л.Д.Ландау [33], У.Д.Хейза и Р.Ф.Пробстина [71], Г.Г.Черного [73], Л.Б.Зельдовича [23].
Новое развитие теории интерференции скачков уплотнения (в частности, их тройных конфигураций) в 60-х годах связано с работами Л.Хендерсона [87-91]. Результаты целого ряда исследований, появившихся в это время, стали классическими [53,54,70]. Дальнейшие исследования взаимодействия скачков уплотнения между собой и с поверхностями были проведены И.И.Глассом, Г.Бсн-Дором, Х.Хорнунгом [92-94] и их учениками. В нашей стране исследованием взаимодействия скачков уплотнения и смежными проблемами занимались Т.В.Баженова и Л.Г.Гвоздева [8], Г.М.Арутюнян и Л.В.Карчевскнй [7], В.Н.Усков [5,54,64], А.Н.Крайко [11], М.С.Иванов [95]. В настоящее время локальную теорию интерференции газодинамических разрывов (в том числе и скачков уплотнения) можно считать в основном завершенной [5].
Задачи о взаимодействии элементов ударно-волновых систем, не локализованном в одной точке, обладают большей сложностью и вызывают повышенный интерес. Взаимодействие скачка с последующей догоняющей волной исследовалось М.ДжЛайтхиллом и Г.Г.Черным [74] в связи с построением оптимальных головных частей летательных аппаратов, а взаимодействие волны со скачком - в работе [32], где впервые предложено использовать дифференциальные условия динамической совместности, связывающие производные от параметров газа на сторонах искривленного скачка в неравномерном потоке. Эти условия получены, в частности, В.В.Русановым [56], а в современном, наиболее удобном для практики виде - в работах В.Н.Ускова [5]. Полного теоретического анализа взаимодействия скачков и волн между собой, по-видимому, не проводилось, из-за чего поиски наиболее приемлемой модели этого взаимодействия продолжаются и в наше время [96].
Для анализа взаимодействия изоэнтропных волн Прандтля-Майера с поверхностью используются методы, основанные на касательном преобразовании Лежандра [41,72], введении дополнительной связи между функцией Прандтля-Майера и углом Маха [17], применении численных методов. Недостатки этих подходов заключаются или в необходимости перехода от переменных годографа на физическую плоскость, или в узости диапазона чисел Маха течения, или в сложности теоретического анализа численных результатов. Поэтому требуется создание универсальной приближенно-аналитической модели, пригодной для исследования отражения волн в широком диапазоне чисел Маха при заданных, достаточно произвольных свойствах отражающей поверхности.
Цель настоящей работы - провести теоретический анализ не локализованных в одной точке процессов взаимодействия элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями, показать практическое значение полученных результатов, в частности, в сверхзвуковой аэродинамике и газовой динамике струйных течений.
8
Работа состоит из пяти глав, заключения и приложения, содержит 163 страницы, 40 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 101 наименования.
В главе 1 приводятся определения ударно-волновых систем и структур, понятие об их оптимальности и примеры течений с их образованием, обосновывается необходимость их анализа. Для анализа ударно-волновых систем предлагается использовать условия динамической совместности [5], которые выражают связь между параметрами газа и их производными на сильных и слабых газодинамических разрывах, а также в поле течения волны Прандтля-Майера.
В главе 2 решаются задачи о воздействии волны Прандтля-Майера на догоняющий скачок уплотнения и о взаимодействии скачка уплотнения с последующей волной. Предлагаются достоверные приближенные методы анализа взаимодействия. Один из этих методов основан на решении задачи взаимодействия скачка со слабым разрывом и допущении о прямолинейности результирующего скачка, а второй - на предположении о равенстве статических давлений и коллинеарности линий тока за исходящими волнами. С помощью данных методов определяются параметры исходящих из области взаимодействия скачков и волн, критерии смены их типа, свойства формы взаимодействующего скачка, другие особенности взаимодействия. Результаты дайной главы изложены в работах [76,37-40].
В главе 3 разрабатываются приближенно-аналитические модели взаимодействия волн Прандтля-Майера с поверхностями различной формы и природы. Проверка этих моделей производится при решении задач о падении волны разрежения на твердые прямолинейные и искривленные стенки, свободную поверхность, границу области квазиодномерного течения. Производится параметрический анализ решения задачи о сопряжении квазиодно-мерной области с волной Прандтля-Майера. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [66,75].
Главы 4 и 5 посвящены приложениям полученных решений задач взаимодействия в сверхзвуковой аэродинамике и газовой динамике струйных течений.
В главе 4 исследуются ударно-волновые системы, возникающие при сверхзвуковом обтекании простейших тел (одиночной пластины, пластины с передним щитком, многоугольных профилей). Выявляется связь между оптимальными свойствами образующихся систем и особенностями взаимодействия их элементов. Основные результаты этой главы изложены в работах [15,49,67,77].
В главе 5 решения задач о взаимодействии элементов ударно-волновых систем применяются для построения приближенно-аналитической модели течений в плоской перерас-ширенной струе и в сужающемся канале между двумя клиньями. Исследуемое поле течения разбивается на несколько областей, в каждой из которых решается модельная задача взаимодействия. В результате определяется форма всех имеющихся газодинамических разрывов и
9
структура течения в целом. Производится также анализ тройных конфигураций скачков уплотнения, возникающих при маховском отражении со сверхзвуковым течением за отраженным скачком. Основные результаты этой главы отражены в работах [16,48,68].
В приложении даны формулы, полученные в [5] и выражающие дифференциальные условия динамической совместности на скачках уплотнения. Эти соотношения активно используются в данной работе, но их большой объем заставляет поместить их за пределами основной части диссертационного исследования.
На защиту выносятся:
1. Результаты решения задачи о воздействии волны разрежения или сжатия Прандтля-Майера на догоняющий скачок уплотнения. Аналитические соотношения, описывающие особенности формы скачка, тип отраженной волны и критерии его (возможно, неоднократной) смены, возможность вырождения взаимодействующего скачка в слабый разрыв или же перехода потока за ним от сверхзвуковых к дозвуковым скоростям.
2. Результаты анализа взаимодействия скачка уплотнения с последующей догоняющей волной разрежения или сжатия Прандтля-Майера. Аналитические решения, описывающие форму взаимодействующего скачка, тип отраженной волны и возможность его смены, вырождение взаимодействующего скачка в слабый разрыв.
3. Общая методика решения на физической плоскости задачи об отражении волн Прандтля-Майера от поверхностей различной формы и природы. Результаты анализа сопряжения волны Прандтля-Майера с областью квазнодномерного течения, отделенной тангенциальным разрывом.
4. Методика использования результатов анализа возникающих ударно-волновых систем и взаимодействия их элементов в задачах оптимизации тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком.
5. Приближенно-аналитические модели плоскопараллельных течений с нерегулярным (маховским) отражением возникающих скачков уплотнения.
Практическая ценность работы состоит в том, что произведен теоретический анализ не локализованных в одной точке взаимодействий элементов ударно-волновых систем между собой и с различными поверхностями и показано прикладное значение полученных результатов. Результаты работы могут быть применены, в частности, при оптимизации формы летательных аппаратов, газодинамическом конструировании сверхзвуковых воздухозаборников, разработке аппаратов струйных технологий, расчетов взаимодействия элементов конструкций со сверхзвуковыми потоками.
По материалам диссертационного исследования опубликовано 3 статьи в научных журналах “Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика”, “Известия Тул-ГУ”, сборнике “Механика и процессы управления” Уральского отделения РАН.
Основные результаты работы доложены и обсуждены на Всероссийских молодежных научных конференциях “XXIII Гагаринские чтения” и “XXIV Гагаринские чтения” (Москва,
Ю
1997, 1998); Международной молодежной научной конференции “XXV Гагаринские чтения” (Москва, 1999); XVII Всероссийском и XVIII Международном семинарах ‘Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах” (Санкт-Петербург, 1997, 2000); Всероссийских молодежных научных конференциях “II Королёвские чтения” и “VI Королёвские чтения” (Самара, 1997, 2001); Юбилейной молодежной научной конференции “Неделя науки - 98” (Санкт-Петербург, СПАГА); Второй (Санкт-Петербург, 1998) и Третьей (Истра-Москва, 1999) Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях; Десятой юбилейной международной конференции но вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999); VIII и X международных научно-технических конференциях ученых Украины, России и Белоруссии “Прикладные проблемы механики жидкости и газа” (Севастополь, 1999, 2001); научных семинарах кафедры плазмогазодинамики и теплотехники БГТУ под руководством проф. В.Н.Ускова (Санкт-Петербург, 2001, 2002); научном семинаре кафедры гидроаэромеханики СПбГУ под руководством проф. С.К.Матвеева (Санкт-Петербург, 2002).
11
Глава 1
Ударно-волновые системы и их элементы 1.1* Ударно-волновые системы и их оптимальность
Ударно-волновой системой [9,42-47] называется упорядоченное множество Sn = } из п ударных (>у = ]) и изоэнтропных (и> = г) волн, последовательно рас-
положенных в сверхзвуковом потоке (рис. 1.1).
Рис.1.1
Ударные и изоэнтропныс волны, составляющие систему, называются ее элементами [42,43]. В работе исследуется плоское установившееся сверхзвуковое течение совершенного нсвязкого газа. Элементы ударно-волновых систем в этом течении - неподвижные ударные волны (скачки уплотнения) и изоэнтропные волны Прандт-ля-Майера.
Система Бп преобразует множество газодинамических переменных F = {р,р9Т,рУ2 ,ра9р0,р0,Т09р0а0,...}, характеризующих поток перед системой, во множество ^ = {рп,рп,Тп,рпУ^рпап,р0п,р0пУТ0п9р0па0п,..] переменных,
12
присущих потоку за ней. Элементы множеств Т7 и Рп связаны соотношениями на скачках и волнах [5,64]. Обозначение 1к^ = /к //*_, используется для отношения газодинамических переменных / на скачке или в волне гк.
Необходимым условием существования ударно-волновых систем является наличие сверхзвукового потока перед всеми ее элементами ( Мк > 1 при к = 1,.., /7-1).
Если удается подобрать параметры скачков и волн в системе таким образом, что отношение /^ = /„// какой-либо из переменных за системой и перед ней достигает экстремума, соответствующую систему называют оптимальной [43,44]. Оптимальной называют [9,42] также систему с экстремальным значением какого-либо из
коэффициентов восстановления - отношения КУ* = /„//о газодинамической переменной / за системой к соответствующему параметру торможения невозмущенного потока.
1.2. Интенсивности элементов ударно-волновых систем. Соотношения на скачках и волнах
Интенсивностью Jk элемента щ системы Бп называют отношение статических давлений потока за этим скачком (волной) и перед ним:
Л = Рк /Рк-\ •
Интенсивность Jk связана с отношением Ек =Рь/Рк-\ плотностей газа: на скачке - адиабатой Ренкина-Гюгонио
1[р) = Ек = (Л+*)/(! + £/*), £ = (/-1)/(г + 1), (1.1)
в волне Прандтля-Майера - адиабатой Лапласа-Пуассона
Ек = 4Г ■ (1.2)
Уравнение Менделеева-Клапейрона позволяет связать интенсивность элемента системы с отношением температур газа
откуда
®k=Jk{l + zJk)/{Jk+e)
на скачке уплотнения, и
13
в волне Прандтля-Майера.
Аналогичным способом выражается через интенсивность элемента системы отношение скоростей звука
~~ ак 1ак-\ - ^ к /Ек
и акустических импедансов на нем
№ ~гк12к-\ = Рка к/Рк-\ак-\ = 4^ к ^к *
Отношение = Рок /Ро(к-1) называется коэффициентом потерь полного
давления. Будучи связан с интенсивностью скачка или волны формулой
і[Ро) ={іЕ-уІ
_у\(\-с)!2с
коэффициент потерь меньше единицы на скачке ]к и тождественно равен единице в
волне гк.
(1.3)
Связь чисел Маха на скачке и в волне записывается в единой форме [42]
1 + є(м2к-І) =^_
\ + £{м1_х-\) Ек
Однако зависимость Ек^к) на скачках (1.1) и в волнах (1.2) различна. Поэтому число Маха за скачком уплотнения находится из (1.3) по формуле
_ /(л+4^2-і-(і-4л2-і)
Л (1+^4
а за волной Прандтля-Майера - из зависимости
мк =
(1.4)
7-1
1 +
(1.5)
Связь чисел Маха (1.5) на изоэнтропной волне гк записывается также в форме
^=я(мк)/я(мы), (1.6)
\-г/(г- О
- известная изоэнтропная функция.
где п{М) = [\ + ^-М
Отношения секундных расходов q = рУ, скоростных напоров с! = рУ2, им-пульсов потока / = р + рУ на скачке или в волне гк выражаются с помощью (1.1-1.2) и (1.4-1.6) через число Маха М*_, и интенсивность Jk:
14
(1.7)
т{а) _ РкУк _ г ■* *
0.8)
7(0. Рк+РіК2 _^ і + уМІ
к Рм+РмГІх *1 + уМІх
(1.9)
1.3. Поворот потока на скачках н в волнах. Плоскость интенсивностей волн
Прохождение потока через скачок или волну сопряжено с его поворотом. Мо
- интенсивность прямого (нормального к направлению потока) скачка.
Производные от (положительного) угла поворота потока по интенсивности скачка и числу Маха перед ним выражаются соотношениями
Связь (1.10) между интенсивностями скачков и углами поворота потока на них отображается графически на плоскости интенсивностей волн (/?; Л = 1п У) в виде изомах, или сердцевидных кривых (рис. 1.2). Каждая сердцевидная кривая отображает множество скачков уплотнения, которые могут’ возникнуть в потоке с некоторым числом Маха. Например, сердцевидные кривые 1-4 соответствуют значениям М = 1.2, 2, 3 и 5 соответственно. Здесь и далее все расчеты проведены при у = 1.4, если не оговорено иное.
дуль угла поворота на скачке уплотнения в потоке с числом Маха М и интенсивностью У
(1.10)
где
д/3Ь) (1 - гг)[(У + 2є +1ІМ2 -1)- (./ - іХУ + 2)]
Ы 2^ + фт - У)[(У + є)М2-( 1 - єр2 - і)]’
(1.12)
15