Нелинейные движения заряженной поверхности жидкости. Влияние диссипации и релаксационных эффектов

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.........................................................4
4 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА
ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ........................9
1.1. Периодические волны на заряженной поверхности
жидкости (обзор).............................................9
1.2. Расчет нелинейных периодических волн на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости.......................19
1.3. Высшие нелинейные поправки к критическим условиям условиям реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости...........................................41
♦ 1.4. Нелинейный анализ пространственно-временной
эволюции сильно заряженной плоской поверхности идеальной жидкости. Закономерность формирования конуса Тейлора..............................................46
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННОЙ
КАПЛИ...........................................................69
2.1. Нелинейные колебания сильно заряженной капли
идеальной несжимаемой жидкости (обзор)......................70
^ 2.2. Теоретический анализ нелинейных колебаний сильно
заряженной капли вдали от положений резонансов..............79
2.3. Анализ возможности деления сильно заряженной капли
при нелинейных осцилляциях.................................100
2.4. Нелинейные резонансные осцилляции заряженной капли........105
2.5. Механизм подстройки условий внутреннего нелинейного резонанса, обеспечивающий рост амплитуды осцилляций основной моды............................119
2.6. Электромагнитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли..............................................123
2.7. Акустическое излучение нелинейно колеблющейся заряженной капли..............................................128
3
ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ГЛУБОКОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ........................................136
3.1. Ретроспектива............................................. 136
3.2. Решение задачи о расчете нелинейных волн типа Вилтона
в вязкой глубокой жидкости..................................146
3.3. Формы нелинейных периодических волн на свободной поверхности глубокой вязкой жидкости........................166
3.4. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой электропроводной жидкости.
Асимптотика малой вязкости..................................172
3.5. Влияние поверхностного электрического заряда на формы нелинейных периодических волн на заряженной
поверхности глубокой вязкой жидкости........................185
ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ.................................195
4.1. Теоретические аспекты применения закона сохранения количества вещества для субстанции, релаксирующей
на движущейся границе раздела двух жидкостей................195
4.2. Нелинейное взаимодействие релаксационных волн, связанных с перераспределением поверхностно-активных веществ, с капиллярно-гравитационными волнами на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости.................214
4.3. Влияние эффекта релаксации электрического заряда на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения заряженной поверхности жидкости..............233
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.............................................252
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............................................254
4
ВВЕДЕНИЕ
^ Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости
представляет значительный интерес, поскольку это явление лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. Затрагиваемая тематика до настоящего времени теоретически была корректно исследована только на уровне решения линейных по амплитуде отклонения формы поверхности от равновесной задач. Наиболее известные теоретические результаты по этой тематике ^ подтверждают традиционно принимаемые представления о процессе
экспоненциального роста амплитуд неустойчивых капиллярных волн. Однако, эксперименты свидетельствуют, что в реальной физической ситуации рельеф заряженной свободной поверхности жидкости в процессе развития ее неустойчивости формируется при участии самых разнообразных факторов, взаимодействующих между собой и не всегда строго отождествимых с конкретными физическими механизмами. В связи со сказанным, представляется весьма актуальным детальное теоретическое исследование закономерностей реализации неустойчивости заряженной
Ь} поверхности жидкости и построение модели формирования ее рельефа в
процессе развития неустойчивости, а так же закономерностей эволюции заряженной капельки, эмиттрированной на финальной стадии неустойчивости. Особенно важным вопросом является теоретическое изучение влияния релаксационных эффектов на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости. Задача описания спектра капиллярных движений жидкости с учетом релаксационных эффектов, связанных с наличием примеси, изменяющей плотность поверхностной энергии на свободной поверхности, даже в отсутствии поверхностного заряда представляет самостоятельный интерес ввиду устоявшихся представлений по
*
вопросу переноса жидкости одновременно на поверхности и в объеме, а так
же из-за присутствия в работах по этой теме ошибок на уровне формулировки задачи. Актуальным так же является исследование закономерностей реализации неустойчивости свободной поверхности жидкости с конечной проводимостью. Особое значение имеет вопрос теоретического исследования обозначенных задач в их нелинейной постановке. При этом нужно учитывать, что наиболее распространенный в настоящее время подход к нелинейному исследованию, как к задаче получения солитонного решения не всегда оправдан. Это весьма узкий взгляд на проблему, поскольку нелинейные несолитонные движения встречаются в природе не менее часто. Те немногочисленные работы последних лет, которые рассматривают именно несолитонные нелинейные решения, показывают, что даже естественные на первый взгляд задачи (например, колебания капель или распространение волн по поверхности глубокой жидкости), решенные в этом ключе, приводят к важным результатам и выявляют новые неисследованные стороны уже привычных явлений.
Цель работы состояла в теоретическом исследовании нелинейной стадии неустойчивости заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости и исследовании влияния эффектов релаксации заряда и поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости. Для достижения поставленной цели решались задачи:
- теоретический анализ нелинейной эволюции периодического возмущения, распространяющегося по заряженной поверхности идеальной глубокой капиллярной жидкости в поле сил тяжести.
- исследование критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения заряженной поверхности идеальной электропроводной жидкости.
- исследование физического механизма формирования эмитирующих выступов (конусов Тейлора) на заряженной поверхности жидкости.
- оценка характерного времени нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.
- построение теоретической модели нелинейных колебаний заряженной капли, эмиттрированной на финальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.
- исследование закономерностей распада нелинейно осциллирующей заряженной капли.
построение теоретической модели акустического и электромагнитного излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли электропроводной жидкости.
- Расчет нелинейных периодических волн на заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости с конечной вязкостью.
исследование влияния вязкости на форму капиллярно-
гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и зарождающихся на них эмиссионных выступов (конусов Тейлора).
- корректный вывод закона сохранения вещества для субстанции, релаксирующей на свободной движущейся поверхности жидкости.
- исследование нелинейной эволюции периодического возмущения заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости при наличии пленки поверхностно-активного вещества.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней
- впервые найдено решение задачи о расчете нелинейных
периодических волн на поверхности вязкой глубокой жидкости на основе нестандартного матфизического подхода;
- исследованы физико-математические закономерности нелинейной стадии реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, и прослежена пространственно-временная эволюция неустойчивых виртуальных деформаций свободной поверхности;
- впервые исследовано влияние эффектов релаксации заряда и
поверхностно-активных веществ на закономерности нелинейного
взаимодействия периодических волн на свободной поверхности заряженной жидкости;
впервые исследованы закономерности нелинейных осцилляций сильно заряженных капель при многомодовой начальной деформации, сопровождающихся нелинейным возбуждением трансляционной моды, приводящим к появлению монопольного и дипольного акустического и электромагнитного излучения.
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля и о роли вязкости жидкости и релаксационных эффектов в этих явлениях. Результаты теоретического анализа нелинейных волн на свободной поверхности вязкой глубокой жидкости и закона сохранения вещества на ней имеют фундаментальное значение, и являются существенно более корректными по сравнению с традиционными для известных монографий по гидродинамике. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложений. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения.
На защиту выносятся:
1. Метод решения задачи о расчете периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости.
2. Теоретическая модель влияния амплитуды начального возмущения на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.
Физический анализ нелинейной стадии пространственно-временной эволюции виртуальной деформации сильно заряженной свободной поверхности жидкости.
Теоретический анализ нелинейных осцилляций заряженной капли при многомодовой начальной деформации ее формы Исследование закономерностей реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод осцилляций заряженной капли: положения резонансов, характерное время и глубина взаимодействия.
Теоретический анализ особенностей акустического и электромагнитного излучений, генерируемых нелинейно осциллирующей заряженной каплей.
Исследование влияния эффектов релаксации поверхностноактивных веществ и электрического заряда на характер нелинейного взаимодействия периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости жидкости.
ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
[1-6]
1.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ (ОБЗОР)
Началом теоретического исследования периодических волн на заряженной поверхности жидкости является работа Я. И. Френкеля [7], в которой исследован вопрос об условиях реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностно распределенного электрического заряда. За год до работы Френкеля Тонкс провел грубую оценку условий реализации этой неустойчивости [8]. Он получил критерий неустойчивости заряженной поверхности жидкости, сравнивая лапласовское давление под искажением, в виде сферического сегмента, рельефа плоской поверхности с давлением на него однородного электростатического поля, направленного перпендикулярно невозмущенной поверхности.
На практике, неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда проявляется в том, что при превышении поверхностной плотностью заряда некоторого критического значения, с поверхности жидкости начинается сброс электрического заряда в виде большого числа маленьких сильно заряженных капелек [9]. Сначала на поверхности образуются конусообразные выступы, - конусы Тейлора. Затем с
10
вершин этих выступов электрическое поле начинает отрывать заряженные капельки [ 10-23].
Френкель предложил свой критерий неустойчивости с помощью более корректного чем у Тонкса метода, идея которого принадлежит Рэлею [24]. Френкель рассмотрел в линейном по амплитуде волны приближении задачу определения спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной, идеально проводящей бесконечно глубокой жидкости. В системе координат 0ХУ2 с осью 02, направленной вертикально вверх, и плоскостью ОХУ, совпадающей с равновесной плоской # поверхностью жидкости, полная математическая формулировка
этой задачи имеет вид [8,25]:
г> 0: ДФ = 0;
г<0: А<р = 0;
г = 0: ^ =
дг дг
Л»
, г? дф д2$ . -Р£$-Р—-к* — +гт4 = °;
дг ог дх1 Ф-4;гк:0£ = 0;
г-> со: | УФ |—> 0;
г —> -оо: |у^|-»0.
Здесь Г- время; £ = £(/,*) - отклонение свободной поверхности жидкости от плоской равновесной формы; к0- поверхностная плотность электрического заряда в равновесном состоянии; р и у -плотность и коэффициент поверхностного натяжения жидкости
11
соответственно; g - ускорение поля силы тяжести; (р-(р^^х,г) потенциал поля скоростей в жидкости, обусловленный возмущением ее свободной поверхности; Ф = Ф(/,д:,2) - добавка к величине электрического потенциала над поверхностью жидкости, вызванная отклонением формы этой поверхности от равновесной плоской. Для простоты, движение жидкости считается не зависящим от координаты у.
Решение задачи Френкеля в комплексной форме имеет вид
Безразмерный параметр W > 0 в дальнейшем будет называться параметром Токса-Френкеля. Он равен отношению электрических и лапласовских сил на свободной поверхности и определяется выражением:
Общим решением задачи Френкеля является суперпозиция синусоидальных дисперсивных волн различных длин Я = 2л/к , где к- волновое число. Свободная поверхность жидкости подвержена виртуальным тепловым возмущениям, которые в фиксированный момент времени образуют рельефную структуру с характерной высотой складок ~л/к Т/Г, где к = 8.31 • 107 эрг /(моль • град) -постоянная Больцмана. Согласно принципам гармонического анализа, такой рельеф можно представить суперпозицией «простейших гармонических складок». Решение Френкеля
[8,25]:
;
12
показывает, как такие простейшие возмущения, называемые в дальнейшем модами, будут эволюционировать во времени:
При 0 < IV <2 амплитуда всех возможных тепловых
для которых амплитуды возмущений экспоненциально растут во времени. В рамках линеаризованного подхода это нарастание не ограничено.
Складывается следующая картина явления.
Если 0 < IV < 2, то на свободной поверхности лапласовские силы преобладают над электрическими на вершинах возмущений всех возможных мод. Поэтому плоская равновесная форма свободной поверхности оказывается устойчивой по отношению к любым виртуальным возмущениям.
Для каждой моды с волновым числом к имеется свое пороговое значение параметра Тонкса-Френкеля
при котором на гребнях возмущения лапласовские и электрические силы в точности уравновешиваются. Любое, даже малое, превышение параметром IV порогового значения приводит к нарушению равновесия в сторону доминирования электрических
возмущений остается малой - ^кТ/у. При W>2 существует интервал волновых чисел:
сил, стремящихся увеличить амплитуду возмущения. Мода с волновым числом
имеет самый низкий порог IV = IV. по условиям реализации неустойчивости, и называться основной. Интересно отметить, что рассуждения Тонкса приводят к условию реализации неустойчивости № >\, что вдвое меньше, чем у Френкеля.
Модель Френкеля не дает полного представления о неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда. Она описывает только начальную стадию неустойчивости и предсказывает нестабильность возмущений малой амплитуды. Из решения Френкеля следует, что отклонение формы закритически заряженной поверхности жидкости от равновесной за малое время от момента появления заряда на свободной поверхности превысит амплитуду термокапиллярных колебаний. Вопрос о дальнейшей эволюции возмущения модель Френкеля не решает. Тем не менее, предложенный Френкелем критерий неустойчивости малых возмущений IV >2 принят за условие реализации практически наблюдаемой неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда [7,9-22]. Четкое теоретическое обоснование этого факта, так же как и его корректная экспериментальная проверка в научной литературе не представлены. Для детального исследования вопроса необходим анализ задачи Френкеля в нелинейной по амплитуде волнового движения постановке. Проведение такого анализа является весьма актуальным вопросом современной электрогидродинамики.
До настоящего времени в научном мире сохраняется устойчивый интерес к задаче Френкеля [7]. Эта задача решалась в самых разнообразных постановках. Было исследование влияние вязкости жидкости и ее глубины на закономерности реализации неустойчивости [26-34]. В связи с тем, что на закономерности распространения волн на поверхности жидкости существенное влияние оказывают поверхностно активные вещества [35-42], в работах [43-50] было исследовано влияние этих веществ на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического. В [51-60] анализировалось влияние эффектов, обусловленных релаксацией заряда. В моделях [61-63] проведен анализ совместного влияния эффектов, связанных с релаксацией заряда и поверхностно-активных вещества. В [64-72] было исследовано влияние внешней среды на закономерности реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.
Главный вывод, следующий из процитированных работ, состоит в том, что диссипация и релаксационные эффекты на начальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости сказываются на величине инкремента развития неустойчивости, но не изменяют условие ее реализации. Поле флуктуационных сил и влияние внешней среды, проявляющееся в наличии тангенциального скачка в поле скоростей или в импульсном влиянии на свободную поверхность, снижают условия реализации неустойчивости по линейному приближению.
Однако, все работы [26-72] выполнены в линейном приближении по амплитуде волны и не дают ответа на вопрос, как происходит формирование эмиссионных выступов, и как различные физические факторы влияют на этот процесс. Моделирование
нелинейной стадии развития неустойчивости Тонкса-Френкеля является одной из актуальных проблем современной электрогидродинамики.
Периодические капиллярно-гравитационные волны, возникающие в линеаризованной задаче Френкеля, объясняют начальную стадию развития неустойчивости Тонкса-Френкеля. За начальной стадией неустойчивости следует этап усиления влияния нелинейных членов, присутствующих в полных уравнениях и граничных условиях задачи. Поэтому следующим последовательным этапом улучшения модели Френкеля должно быть теоретическое исследование нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости.
Анализ наиболее часто цитируемых обзоров по распространению нелинейных волн на поверхности жидкости [73-75] показывает, что методы исследования нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн начали разрабатываться еще до появления работы Френкеля. Первая теоретическая работа по этой теме выполнена в начале двадцатого столетия Вилтоном [76,77] методом прямого разложения основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости и граничных условий к ним по малому параметру, равному отношению амплитуды волны к ее длине. Во второй половине двадцатого века, после того как Брезертон [78] и Саймонс [79] сформулировали методы нелинейного анализа периодических волн, процедура решения Вилтона была улучшена с помощью метода разных масштабов. Наиболее известные теоретические и экспериментальные результаты в области исследования периодических нелинейных капиллярно-гравитационных волн на
поверхности жидкости принадлежат Мак-Голдрику [80-83] и Найфэ [84-86]. Акцент в исследованиях Мак-Голдрика и Найфэ сделан на исследование резонансного взаимодействия волн [79]. Приведенные в работах [76,77,80-86] выражения для профиля волны £ = £(*,/) во втором приближении по ее амплитуде волны в обозначениях, использованных при обсуждении задачи Френкеля, имеют следующую структуру:
£ = асо$(кх-й)()+а2 ^+ а \ соз(2(£ х-со Г))+...; а =1-5-,
0.5-а к \pg
где а и к - постоянные, определяемые из начальных условий, а значение о постоянно по Вилтону, но являются медленно меняющейся функцией времени по Мак-Голдоику и Найфэ: со = со0{\. + <5а2/). Значение параметра 6 определяется с помощью стандартной процедуры устранения секулярных членов в задаче третьего по амплитуде порядка малости. Независимо от метода
решения, при к = 1 / у!2 а отношение слагаемого второго по а
порядка малости в выражении для профиля волны к предыдущему слагаемому стремится к бесконечности. Найфэ [85] и Мак-Голдрик [82] связали этот факт с вырожденным трехмодовым резонансным взаимодействием капиллярных и гравитационных волн, а для построения пригодного в использовании профиля волны применили в этой ситуации плохо обоснованные приемы [82,85]. На самом деле, при выполнении условий резонанса [78,79] в уравнениях движения колебательных систем весьма существенную роль играют члены уравнений, отвечающие за диссипацию энергии. Модели
Мак-Голдоика и Найфэ при резонансном значении к = 1 / у]2а дают неверную картину явления из-за несовершенства модели идеальной жидкости, а не по причине неправильности методики решения . При
нерезонансных значениях волнового числа методика Мак-Голдрика и Найфэ может быть взята за основу построения модели нелинейных периодических волн на поверхности заряженной жидкости. В связи со сказанным, первая часть настоящей диссертации посвящена теоретическому исследованию нелинейных периодических волн на поверхности заряженной жидкости методами, предложенными в работах Мак-Голдрика [80-83] и Найфэ [84-86].
Важно подчеркнуть, что название заявленной для исследовательской темы - «Периодические капиллярно-гравитационные волны на заряженной поверхности жидкости». Большинство традиционных исследовательских направлений, связанных с изучением волн на поверхности жидкости, весьма далеки от рассматриваемой темы, несмотря на созвучность названия.
К таким направлениям относятся следующие.
Гравитационные волны [87-93] уже в линейном по амплитуде волны приближении не имеют на зависимости фазовая скорость от волнового числа точки минимума, а на зависимость частота волны от волнового числа не имеют точки перегиба. Благодаря этому, трехмодовое резонансное взаимодействие, характерное для капиллярно-гравитационных волн, невозможно для чисто гравитационных волн. Кроме того, наиболее неустойчивая по Френкелю мода является волной, на гребнях которой капиллярные силы и силы гравитации по порядку величины сравнимы, что не позволяет считать наиболее неустойчивую моду чисто гравитационной.
По аналогичной причине вне области интересов настоящей работы лежат исследования по чисто капиллярным волнам [94].
Исключим из рассмотрения модель мелкой воды [95-99], считающуюся пригодной, только если отношение длины волны к толщине жидкой пленки является малым параметром задачи, и связанные с ней солитонные модели распространения возмущений по поверхности жидкости [98-100].
Интересно отметить, что попытки теоретического исследования нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной жидкости без использования модели мелкой воды уже предпринимались в работах [101-105]. В этих работах содержалась попытка обобщить задачу Найфэ [86] на случай заряженной поверхности проводящей жидкости, являющейся нижним электродом конденсатора с плоской верхней обкладкой, расположенной горизонтальной. Эти работы содержат большое число математических выражений, составляющих формальное решение, но в них нет ни одного физически четкого вывода о значении полученных результатов для исследования неустойчивости Тонкса-Френкеля. Авторы работ [101-106], по-видимому, не знакомы ни с теоретической работой Френкеля [7], ни с экспериментальными работами, в которых неустойчивость Тонкса-Френкеля наблюдалась [9-22,10-12], и плохо представляют, над моделью какого явления работают. Поэтому результаты работ [101-106] на настоящий момент не имеют правильной физической трактовки. Более того, в работе [104] для исследования влияния нелинейности волны на критические условия реализации неустойчивости используется необоснованная методика построения разложения, приводящая к ошибочному результату.
1.2. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЛН НА ЗАРЯЖЕННОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.
1.2.1. Изучение критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями феномена [11-23]. Тем не менее, большая часть проведенных теоретических исследований, основанных на изучении устойчивости капиллярно-гравитационных волн, выполнена в линейном по амплитуде волны приближении, хотя нелинейная суть феномена, основанная на нелинейности основных уравнений гидродинамики, очевидна и подтверждается известными экспериментами [9-23]. Отметим, что методы асимптотического анализа нелинейных периодических волн достаточно хорошо разработаны в связи с исследованиями нелинейных капиллярно-гравитационных волн на незаряженной поверхности жидкости (см., например, [80-86] и указанную там литературу) и могут быть успешно использованы для анализа обсуждаемой проблемы. Этому и посвящено настоящее рассмотрение. Следует, однако, оговориться: нелинейные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости в недавнее время изучались [98-110], однако, ориентированы цитируемые работы на поиск солитонных решений, а использованные в них методы не позволили получить нелинейных поправок к частотам и критическим условиям реализации неустойчивости.
1.2.2 Пусть идеальная, идеально проводящая несжимаемая, жидкость плотностью р с коэффициентом поверхностного натяжения /у заполняет в поле сил тяжести полупространство г < 0 декартовой системы координат, орт е2
которой направлен против направления ускорения силы тяжести ег 11 §. Примем также, что свободная поверхность жидкости заряжена и в ее окрестности существует однородное электростатическое поле Ео, направленное
параллельно орту ег.
20
Будем рассматривать плоскую волну, бегущую по свободной поверхности граничащей с вакуумом жидкости вдоль направления орта ёх, * тогда деформация свободной поверхности жидкости, связанная с бегущей
волной, поле скоростей волнового движения, распределение давлений и электрического поля в окрестности искаженной волновым движением свободной поверхности жидкости будут зависеть кроме времени / только от координат х и г. Уравнение свободной поверхности жидкости, искаженной волновым движением малой амплитуды, представим в видег = #х,1).
Поставим перед собой цель: найти в четвертом порядке малости по амплитуде волны, которую будем считать малой по сравнению с ее длиной, профиль бегущей волны, не изменяющийся во времени, и нелинейную по амплитуде поправку к частоте. Отметим, что чисто синусоидальный профиль сохраняется во времени только для волн бесконечно малой амплитуды и не является стационарным уже при расчетах второго порядка малости, поэтому в классических работах по теории волн конечной амплитуды в идеальной несжимаемой жидкости [80-92] задача расчета волны конечной амплитуды во втором порядке малости трактуется как задача определения профиля волны, не изменяющегося с течением времени. Как будет показано ниже, появление в расчетах более высокого порядка малости, чем второй, нелинейной квадратичной по малому параметру поправки к частоте приведет к тому, что фазовые скорости линейной по малому параметру волны и нелинейных поправок к ней будут различны. Это означает, что говорить о стационарном во времени профиле волны конечной амплитуды можно лишь на весьма ограниченных интервалах времени.
1.2.3. Учитывая вышесказанное, математическая модель феномена может быть сформулирована в виде краевой задачи следующим образом:
г>4: У2Ф = 0; (1)
г <4-. У> = 0; (2)
Л
21
д(р р
р=р>-р&-р--^
їй)
р +
(УФУ
8/г
д£ [ д£д(р_д(р дг дх дх дг ’
2Х-3/2
~У
д €
дх
і +
К
дх
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ф = 0;
г —> оо: УФ -> -Е0е.;
г -> -со: V (р —> 0.
Для однозначной разрешимости обсуждаемой задачи необходимо сформулировать еще и начальные условия. Однако в задачах подобного рода проблема выбора начальных условий оказывается довольно тонким вопросом, поскольку произвольное наперед заданное начальное условие может привести к неоправданному увеличению громоздкости решения. Поэтому в классических построениях периодических волновых профилей на поверхности идеальной жидкости начальное условие выбирается так, чтобы аналитическое описание решения было наименее громоздким. Фактически, требование определения начального условия заменяется принципом: искать решение наименее
громоздкое в смысле математического описания. Именно такой подход используется в настоящей работе.
Будем полагать, что в нулевом приближении свободная поверхность находится в невозмущенном состоянии и описывается уравнением г = О, жидкость покоится, а электрическое поле однородно во всем пространстве:
&-0;
УфоЕ ~Еое,;
— - о
А> = -
8 я
Подставляя эти выражения в (1)—(8), получим:
Ф0 = -Е0г.
1.2.4. Разобьем решаемую задачу по порядкам малости. Но предварительно исключим из рассмотрения функцию давления р(г,ґ) ,
подставив выражение для давления (3) в динамическое условие (5), которое тогда примет вид:
Е0 д(р р
\дх)
+
= -у
дх‘
1 +
д<р' 2\
дг )
гд£ 2\
\дх, у
_1_
%7Г
(дФ^2 (дФ]
Ль) )
2 \
Неизвестными функциями в задаче являются возмущение свободной поверхности £, потенциал скорости у и электрический потенциал Ф. Искать их будем в виде разложений по малому параметру:
Ф - -Е^ і + єФі + + + 0(в^ )
2 3 4 5
(р - со, + є <р^+є (р. + є <р+0(є ).
1 2 3 4 ’
(9)
(10)
(И)
ІП -0(1); Фп~0(1); <рп~0(1);
где є - малый безразмерный параметр, определяемый как произведение амплитуды волны а на волновое число к.
Решать задачу будем методом многих масштабов теории возмущений. Для этого примем, что неизвестные функции 6. фп, Фп зависят, помимо координат х и г, от разных временных масштабов: от основного То = I и более медленных Т\ = є /, Т2 - є2 /, Г3 = еъ г, то есть
%п ~ ^п(Ео^1 •Т2,Т$*Х) > ^п ~ <^}п(^0,'^1,Т2,^3,хр2) *
<Рп =(рп(то>Т1>Г2'Т3'х>2) •
С учетом этого оператор дифференцирования по времени примет вид:
Граничные условия на свободной поверхности жидкости разложим по амплитуде отклонения поверхности от равновесной плоской (по е) в окрестности г= 0. Точнее говоря, все величины, входящие в условия (4)-{6) и зависящие от 2, разложим в ряд Тэйлора в окрестности г-0. Также разложим по степеням малого параметра величины (д%1д{) и (д2$/дх2У( 1 + (д£/дх)2)ш. При разложении частных производных по времени (<9£/<9г) и (д(р/д1) будем учитывать выражение (12). Подставляя разложения (9>—(11) в (1), (2), (7), (8), собирая слагаемые при одинаковых степенях е и приравнивая их нулю, разобьем задачу на порядки малости от первого до четвертого.
1.2.5. Математическая формулировка задачи первого порядка малости имеет вид:
г>0: У2Ф, = 0;
г < 0 : V 2(р\ = 0;
гт0 дг ’ рдТц 4л- дг +/^2
Ф,-ЗД=0;
г —> со: \7ф,->0;
г —> —со: V (р1 —> 0.
Решение задачи первого порядка малости легко получается классическими методами [80-86]:
£,=-£-ехр( №) + -£• ехр(-1в);
I 2 2
10) ш —
(р^- £ • ехр(кг) • ехр(АО) +-£ • ехр( кг) • ехр(-АО)^
2 к 2 к
Е Е —
Ф. = ——£■ • ехр() • ехр(i0) + -^-£ • ехр(-кг) • ехр(-10);
1 2 2
24
Теперь можно сформулировать начальное условие, с которым будет проводиться дальнейшее рассмотрение. Примем, что все нелинейные поправки к профилю волны, получающемуся в первом порядке приближений (к функции С будут функциями аргумента (т-0), где целое число т > 1. Иными
словами, примем, что амплитудные множители при возможных нелинейных поправках к профилю волны с аргументом 0 =0 равны нулю. Начальное условие такого вида использовалось ранее в [80-86] и выяснилось, что оно обеспечивает достаточно простой вид получающихся решений.
1.2.6. Математическая формулировка задачи второго порядка малости получится в виде:
г > 0: У2Ф2=0;
2 < 0 : = 0;
0. д<р2 = дУ, д£х д<рх д,
дТ0 02 1 022 07] дх дх
д(р2 Е0 дФу д242 д<р. д2(р,
- - р —^ 2- + у —= р —-1- + рЕ. +
И дТ0 4л- 02 Г дх2 и дТх УЪ'дгдТ0
2
дг )
(дФ
2\дх ) Ъл\ дг ) 4л дг 8л- у дх ) ' Ф2-£0<Г2 = -£,^;
2 —> оо: УФ2 —> 0;
2 —> -оо: V (р2 -> 0.
Решение сформулированной задачи легко находится:
к(2п(к2г + КР)-Е02к) 2 , „,„чч
42 ~----------------9------(С ' ехР( 2гв) + 4 -ехр(-210));
Ъл(pg-2yk )
ц>2 — “7 ^ ^блг ку_——)_ (^2 , ^ ^210)-• ехр(-210)) • 2А?Л’
Ъл(р%-2укг)
25
Епк -Ф2=-£-££+
ЕЛ(2л(-к2у + 2%р)-Е2к) 7 _2
+ —-----------------=- (<% ехр(21 в) + £ ехр(-21 в)) • ехр(-2кг).
8я( РК~2у к )
1.2.7. Математическая формулировка задачи третьего порядка малости имеет вид:
г>0: У2Ф3=0;
г < О : V2(рг = 0;
д£ д(р
г = 0: 3---------3_=а ; Ф -Е г = /2 •
дТ дг 31 3 0 3
О
2
д(р Е дФ д £
3 в\ д* дх2 32
2 -» оо: УФ3 -> 0 ;
г —> -00 : —> 0.
Выражения для функций неоднородностей О , £2 , О в правых
31 32 33
частях граничных условий на свободной поверхности, определяющихся решениями первого и второго порядков малости, приведены в «Приложении А».
Решение получившейся неоднородной задачи можно получить после математически несложной, но громоздкой процедуры:
Ъ=Х-(С3- ехр(31 ■ в)+? • ехр(-3/ • в ));
к2 (32а2 кV2 + 32акЩ1 - а2к2Ш ) + баг4*4 + 21а2*2 + 6)
X — 9 9 9 ? ’
32(4 - 2а к ) (I - За к )
4