РОЗДІЛ 2
Різницеві рівняння на напівосі
В даному розділі отримано необхідні та достатні умови існування обмеженого
розв`язку різницевого рівняння загального вигляду із закріпленим кінцем.
Частинні випадки доведеної теореми 1.2 – теореми 5 та 6 статті [13] і лема 1 з
роботи [36]. Нехай В – комплексний банаховий простір, А – фіксований оператор з
. Кім В.С. довів, що
для будь-якої функції u(m), яка задовольняє умову: u=(u(0), u(1), …) , B=C
будь-який розв`язок рівняння
обмежений при тоді і тільки тоді, коли r(A)<1.
Томілов Ю.В. довів, що
для того, щоб послідовність елементів із В, яка визначається рівністю
була обмеженою для довільних і обмеженої послідовності , необхідно та
достатньо, щоб
Також Томілов Ю.В. отримав (стаття [36])
ТЕОРЕМУ 1. Для того, щоб послідовність елементів із , яка визначається рівністю
була обмеженою для будь-яких і обмеженої послідовності , необхідно і достатньо,
щоб
1) ;
2)
У випадку двох замкнених операторних коефіцієнтів різницеве рівняння
досліджувалося Бенабдаллахом М., Руткасом А.Г., Соловйовим А.А.[33, 34]. Для
рівняння з початковими умовами був отриманий розв’язок у явному вигляді.
Також в другому розділі доведено теорему 2.3 - критерій існування єдиного
обмеженого розв`язку різницевого рівняння загального вигляду на напівосі без
початкових умов. Дане твердження узагальнює лему 2, яка доведена Гайшуном І.В.
в роботі [28]. А саме
лема 2. Якщо спектр оператора точковий, то для будь-якої обмеженої в В функції
, дискретне рівняння
має єдиний обмежений розв`язок тоді і тільки тоді, коли множина не
перетинається із замкненим одиничним кругом комплексної площини.
Узагальнення полягає в тому, що, по-перше, замість одного операторного
коефіцієнта розглянуто їх нескінченну кількість, а по-друге, не вимагається
точковість спектру оператора, як у роботі Гайшуна І.В.[28].
До близьких результатів належать також результати Слюсарчука В.Ю. Зокрема [18],
нехай Е – комплексний банаховий пpостір, - множина векторів , де ,; M - простір
обмежених на Е – значних функцій x з нормою ; [M] - алгебра лінійних
неперервних операторів, MM, - спектр [M]. Нехай і задовольняють співвідношенню
,,,.
ТЕОРЕМА. Рівняння
має єдиний розв`язок M для будь-якої функції M тоді і тільки тоді, коли
Ще один споріднений результат [42]. Нехай - обмежена послідовність в і нехай
наступна матриця
задовольняє спектральну умову: для довільного власного значення , ,
справджується, що , і жорданові блоки для С, що відповідають власним значенням
, , мають розмір . Тоді будь-який розв`язок задачі
, ,
де - матриці в , , ( - можливо вироджена матриця) буде обмеженим.
Теорему 2.2 можна знайти в [50 ], а доведення теореми 2.3 у випадку двох
операторних коефіцієнтів – у роботі [47].
2.1. Позначення та допоміжні твердження
Нехай - комплексний банаховий простір з нормою і нульовим елементом , -
банаховий простір лінійних обмежених операторів, які діють з в , з нормою, яка
також позначається , – одиничний, - нульовий оператори в , - спектр оператора
з.
Означення 1. Нехай Ф – деяка множина індексів, . Набір елементів банахового
простору В називається обмеженим в В, якщо
Означення 2. Послідовність операторів називається - періодичною, , якщо
Аналогічно вводиться означення - періодичності операторів .
Покладемо
; ; .
Нехай послідовність - фіксована. Розглянемо різницеве рівняння
(2.1)
відносно послідовності для заданої довільної обмеженої послідовності .
Означення 3. Будемо говорити, що різницеве рівняння (2.1) задовольняє умову
існування єдиного обмеженого розв’язку (у подальшому умову ІЄОР), якщо для
довільної обмеженої послідовності рівняння (2.1) має єдиний обмежений
розв’язок .
Нехай - фіксований оператор, - довільний елемент В, фіксований. Розглянемо
різницеве рівняння
(2.2)
відносно послідовності для заданої довільної обмеженої послідовності .
Зрозуміло, що рівняння (2.2) завжди має єдиний розв’язок.
Означення 4. Будемо говорити, що різницеве рівняння (2.2) задовольняє умову
існування обмеженого розв’язку (у подальшому умову ІОР), якщо для довільної
обмеженої послідовності та для довільного рівняння (2.2) має обмежений
розв’язок .
Аналогічно вводяться означення умови ІОР чи умови ІЄОР для будь-якого
різницевого рівняння.
У подальшому використовується така теорема:
ТЕОРЕМА 2.1. Якщо функція є аналітичною в крузі , де і фіксоване, то різницеве
рівняння (2.1) задовольняє умову ІЄОР тоді і тільки тоді, коли для довільного
оператор має обмежений обернений оператор.
Детальне доведення теореми 2.1 можна знайти в роботі [25].
2.2. Різницеве рівняння загального вигляду на напівосі з початковими умовами
Розглянемо різницеве рівняння
(2.3)
відносно послідовності {} для заданих довільних обмежених послідовностей {}, {}
та фіксованої послідовності операторів , для яких виконується таке припущення.
Припущення 1. Функція
(2.4)
є аналітичною в крузі , де і фіксоване.
Якщо виконується припущення 1, то
K:=. (2.5)
Проведемо дослідження необхідних та достатніх умов на оператори , при яких
рівняння (2.3) задовольняє умову ІОР. Відповідь містить
ТЕОРЕМА 2.2. Різницеве рівняння (2.3) задовольняє умову ІОР тоді і тільки тоді,
коли для довільного , , оператор
(2.6)
має неперервний обернений оператор .
Доведення. Необхідність. Доведення необхідності складається з двох етапів.
1-й етап. Нехай рівняння (2.3) задовольняє умо
- Київ+380960830922