Глава 2
Теоретические основы ФД ВУ
при выполнении приближенных вычислений
Оценивается достоверность контроля результатов приближенных вычислений.
Ставится задача повышения достоверности контроля путем снижения вероятности
отбраковки достоверных результатов. Предлагаются пороговый и вероятностный
подходы к ФД ВУ для снижения вероятности отбраковки достоверных результатов.
Развивается концепция использования ЕРК, учитывающих особенности организации и
функционирования ВУ, как основа для разработки и усовершенствования методов
контроля.
2.1. Оценка влияния неисправностей ВУ на достоверность результатов обработки
приближенных данных
2.1.1. Коэффициент достоверности результата обработки приближенных данных.
Приближенное данное характеризуется не только самим числом, но также абсолютной
погрешностью, с которой это число представляется. По абсолютной погрешности
определяется количество верных и неверных разрядов числа.
Под верными разрядами числа понимаются его старшие разряды, младший из которых
имеет вес, превышающий абсолютную величину абсолютной погрешности, а под
неверными разрядами – все остальные младшие разряды числа, подобно [104, 105].
Пусть приближенное число AП представляется в разрядной сетке с фиксацией
запятой после младшего разряда, т. е. целым числом, и масштабирующим
коэффициентом km как A, тогда по абсолютной погрешности
DA = AП km – A
можно судить о количествах nН и nВ неверных и верных разрядов записи числа A,
которые определяются соответственно по формулам
nН = Int (log 2 |DA|) + 1; (2.1)
nВ = n – nН, (2.2)
где Int (х) – целая часть числа х;
n = Int (log 2 |A|) + 1, n Ј nРС;
nРС – длина разрядной сетки.
Таким образом, приближенное число A содержит старшую верную часть A{1 ё nВ} и
младшую неверную часть A{nВ + 1 ё n} (разряды числа пронумерованы, начиная с
первого, старшего разряда).
Вычислительному процессу, выполняемому над приближенными данными, может быть
поставлен в соответствие вычислительный процесс, осуществляемый над
погрешностями исходных данных по формулам (1.1 – 1.3). По вычисленной
абсолютной погрешности DA результата A, согласно (2.1) и (2.2), определяются
его верная A{1 ё nВ} и неверная A{nВ + 1 ё n} части.
Определение 2.1. Результат, полученный на исправном ВУ, является достоверным,
если требуемое количество верных разрядов nТВ Ј nВ, частично-достоверным при
nТВ > nВ > 0 и недостоверным в случае nВ = 0.
Достоверность результата обработки приближенных данных, полученного на
исправном ВУ, может быть охарактеризована коэффициентом достоверности KD,
который определяется следующим образом:
KD = nВ / nТВ для nТВ > nВ;
KD = 1 для nТВ Ј nВ. (2.3)
Поскольку для достигнутого уровня точности измерений всегда существует
предельно малая абсолютная погрешность исходных приближенных данных, то по ним
определяется предельно большое значение nВ.MAX количества верных разрядов
результата обработки.
При nТВ > nВ.MAX достоверный результат принципиально невозможен для данного
уровня точности измерений.
При nТВ Ј nВ.MAX возможно получение достоверного результата при соответствующем
построении ВУ. Разрядная сетка ВУ должна иметь длину, которая является
достаточной для сохранения абсолютной погрешности исходных данных или
увеличивает их, не нарушая условия (2.3). В предельном случае разрядная сетка
должна обеспечить выполнение всех операций с полной разрядностью без
отбрасывания младших разрядов.
для одной и той же исправной схемы ВУ могут быть получены различные количества
верных разрядов и, соответственно, различные значения коэффициента KD
достоверности результата в зависимости от погрешностей исходных данных.
Согласно (1.2) и (1.3), абсолютные погрешности произведения и частного
определяются не только абсолютными погрешностями исходных данных, но также
значениями самих данных. Поэтому при обработке потока приближенных данных
абсолютные погрешности потока результатов, количества их верных и неверных
разрядов, а также коэффициенты KD достоверности результатов находятся в
определенном диапазоне значений. Для получения достоверных результатов
необходимо учитывать максимальную абсолютную погрешность и минимальное
количество получаемых при этом верных разрядов, что для выполнения условия
(2.3) ужесточает требования к выбору разрядной сетки ВУ по наихудшему случаю
возможных исходных данных.
С увеличением размерности вычислительной задачи растет объем выполняемых
вычислений, для одних и тех же погрешностей исходных данных поднимается уровень
абсолютной погрешности результата и в пределах его частичной достоверности
снижается коэффициент KD. Следовательно, для каждой ЭВМ класс решаемых задач
ограничивается по показателю объема выполняемых вычислений. При его превышении
ЭВМ не обеспечивает получение результатов с требуемым количеством верных
разрядов.
Очевидно, что ошибки, вызванные неисправностью ВУ, могут искажать результат в
пределах или за пределы допустимой абсолютной погрешности, т. е. быть
несущественными или существенными для достоверности результата. Все ошибки
рассматриваются как арифметические.
Определение 2.2. Ошибка, продуцируемая неисправностью ВУ, называется
существенной, если снижает количество nВ верных разрядов при KD < 1 или
количество nТВ требуемых верных разрядов при KD = 1, и несущественной в
противном случае.
Из определения следует, что для несущественной ошибки EA выполняется
DA + EA < wB, KD < 1;
DA + EA < wТВ, KD = 1, (2.4)
где wB, и wТВ – веса младших верных разрядов A{nВ} и A{nТВ} в имеющемся wB и
требуемом wТВ количествах верных разрядов резуль
- Київ+380960830922