Динамика пузырьковых кластеров

3
3.2 Сравнение колебаний одиночного пузырька и пузырька в моно-дисперсном кластере...............................................68
3.3 Сравнение колебаний пузырьков в моно- и полидисперсном кластерах ...........................................................72
3.4 Влияние диссипации на динамику пузырькового кластера ... 77
3.4.1 Монодисперсный кластер.................................78
3.4.2 Полидисперсный кластер.................................82
Глава 4. Исследование устойчивости пузырьковых кластеров 85
4.1 Диффузионная устойчивость.....................................85
4.1.1 Обзор работ, посвященных исследованию процесса диффузии газа....................................................85
4.1.2 Постановка задачи......................................87
4.1.3 Аппроксимация диффузионной задачи......................88
4.1.4 Численные расчеты для монодисперсного кластера ... 89
4.1.5 Двухфракционный кластер................................95
4.2 Устойчивость сферической формы пузырька.......................98
4.2.1 Обзор работ, посвященных исследованию несфсрических
колебаний пузырьков....................................98
4.2.2 Постановка задачи.....................................105
4.2.3 Мал ые возмущения поверхности пузырька без учета движения газа ..................................................107
4.2.4 Мальте возмущения поверхности пузырька с учетом движения газа .................................................1.15
4.2.5 Нелинейный аналог уравнения Плессета..................123
4.2.6 Исследование областей неустойчивых колебаний поверхности пузырька в кластере ...................................140
Заключение 149
Литература
150
4
Введение
В последнее время большое внимание уделяется исследованию явления кавитации — образования в капельной жидкости полостей, заполненных газом, паром или их смесыо (так называемых кавитационных пузырьков или каверн). Вообще говоря, кавитация бывает двух типов: гидродинамическая, где понижение давления, вызывающее образование пузырьков, происходит вследствие больших местных скоростей в потоке движущейся жидкости и акустическая, где понижение давления происходит из-за прохождения звуковых волн большой интенсивности. Последняя и имеется в виду в данной работе.
Интерес к акустической кавитации связан с сопровождающими ее физическими и химическими эффектами, такими как эрозия (механическое повреждение поверхности), шум, управление химическими реакциями, излучение света (сонолюминссценция), воздействие на биологические клетки и т.п. Так, например, при захлопывании пузырьков создаются кратковременные имнульсьг давления, которые способны разрушить даже очень прочные материалы. Удары при захлопывании пузырьков и микропотоки вблизи них могут вызывать также эмульгирование жидкостей и, поэтому, кавитация применяется для очистки поверхностей и деталей. Этот эффект используется и в биологии для уничтожения микроорганизмов, находящихся в водной среде, с помощью ультразвука, а также для выделения из животных и растительных клеток ферментов, гормонов и других биологически активных веществ. В медицине кавитация используется для транспорта лекарств через кожу пациента и дробления почечных камней, с помощью ультразвука. Захлопывание пузырьков сопровождается адиабатическим нагревом газа в пузырьках до больших температур, что является одной из причин сонолюминесценции. Кавитация сопровождается также ионизацией газа в пузырьках, что иозволя-
5
ет использовать это явление для управления химическими реакциями. Кроме того, возможно ес применение для дегазации жидкости: если жидкость насыщена газом, то газ диффундирует в пузырьки, всплывая, такие пузырьки уносят газ и уменьшают его содержание в жидкости. Благодаря этим эффектам, кавитация находит все более широкое применение для создания новых и совершенствования известных технологических процессов.
Основное внимание, вплоть до настоящего времени, уделялось исследованию динамики одиночного пузырька. Это связано, в первую очередь, с открытием явления однопузырьковой сонолюминесценции и появлением возможности регистрировать движение поверхности одиночного пузырька с помощью высокоскоростной фотографии. Прямых экспериментов по изучению динамики пузырьковых кластеров на сегодняшний день насчитываются единицы: исследования новосибирской научной группы (Институт гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО РАН) и немецкой научной группы (Третий физический институт, Университет г.Гёттингена). Поэтому исключительное значение приобретает математическое моделирование динамики пузырьков в кластере. Существующие теоретические исследования сводятся или к рассмотрению кластера как пузырьковой жидкости, без учета динамики индивидуального пузырька. или к рассмотрению одиночного пузырька, предполагая, что эффекты от индивидуальных пузырьков могут быть просуммированы, или к изучению нескольких (обычно — двух) взаимодействующих пузырьков и не дают полного описания систем с пузырьковыми кластерами.
В связи с этим представляется необходимым построение более адекватной математической модели пузырькового кластера в жидкости и проведение, на ее основе, численных расчетов динамики как индивидуальных пузырьков в кластере, так и кластера в целом. Такая модель должна включать в себя, также, и возможность всестороннего исследования динамики пузырьковых кластеров при внешних воздействиях, в частности, в акустических полях.
Таким образом, задача моделирования поведения пузырьковых кластеров является актуальной задачей как механики, так физики и химии.
Целями диссертационной работы являются:
• разработка математической модели, описывающей динамику нелинейных колебаний газовых пузырьков в кластере под действием акустического поля;
6
• получение системы уравнений, описывающих нссфсрическис колебания газового пузырька в жидкости, которая учитывает нелинейные члены для амплитуды возмущения поверхности пузырька;
• анализ эффектов взаимодействия пузырьков в полидисперсном кластере, а также исследование диффузионной устойчивости и устойчивости сферической поверхности пузырька в кластере.
Научная новизна работы состоит в
• разработке математической модели пузырькового кластера, способной описать как сферически-симметричные движения пузырька в кластере, так и нссфсричсские колебания, с учетом тепло- и массопереноса;
• получении системы уравнений, описывающей несферические колебания пузырька, которая учитывает члены до второго порядка малости по амплитуде возмущения поверхности пузырька;
• проведении комплексных численных расчетов динамики пузырька в кластере, а также исследовании его диффузионной устойчивости и устойчивости сферической поверхности при воздействии акустическим полем.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью математической постановки задачи, основанной на применении законов сохранения механики сплошных сред, согласованием с известными экспериментальными данными и проведением сравнительных тестовых расчетов со случаем одиночного пузырька, достоверность которых подтверждается экспериментальными исследованиями.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для объяснения явлений, возникающих в пузырьковых кластерах в акустическом поле, а также дают основу для дальнейшего развития модельных представлений кластера и проведения более детальных исследований.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 159 страниц, в том числе 60 рисунков. Список литературы состоит из 128 наименования.
Во введении показана актуальность темы исследований, сформулированы цели, отмечены научная новизна, достоверность результатов и практическая ценность работы, а также кратко изложена структура диссертации.
В первой главе приводится обзор теоретических и экспериментальных ра-
7
бот, посвященных исследованию динамики пузырьковых облаков (кластеров) в жидкости. Предложена и обоснована математическая модель для моно- и полидисперсного кластера, описывающая сферически-симметричные колебания пузырьков в кластере и самого кластера.
Во второй главе приводится алгоритм численной реализации задачи теп-лопереноса для пузырькового кластера. Проводится сравнительный анализ различных моделей, описывающих систему пузырьковый кластер-жидкость, в зависимости от приближения уравнения газовой динамики.
В третьей главе аналитически исследуется динамика пузырька в кластере в случае малых колебаний. Математическая теория консервативной системы с несколькими степенями свободы применяется к анализу колебаний пузырька в кластере около устойчивого положения равновесия. Результаты, полученные для монодисперсного кластера, сравниваются с одиночным пузырьком. Также проводится сравнительный анализ динамики пузырьков в моно- и полидисперсном кластере. Разобраны различные режимы управления колебания пузырьков («баскетбольный» режим, периодический и т.п.) и исследовано влияние диссипации на динамику кластера.
В четвертой главе рассматривается задача устойчивости пузырьковых облаков. Приводится обзор работ, посвященных исследованию диффузионной устойчивости и устойчивости сферической поверхности пузырька. Для диффузионной устойчивости находятся условия, при которых в системе существует равновесие, а именно: масса газа в пузырьке за период колебания не меняется. Показываются выводы уравнений несферических движений пузырька при различных ограничениях, а также выводится система уравнений, учитывающая члены до второго порядка малости по амплитуде возмущения поверхности пузырька. Рассчитаны области устойчивых колебаний поверхности пузырьков в кластере в фазовой плоскости (АР, ао), где АР — амплитуда акустического поля, ац — начальный радиус пузырька.
В заключении кратко формулируются основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.
Аппробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры механики сплошных сред математического факультета Башкирского Государственного Университета и Института Механики УНЦ РАН под руководством профессора И. Ш. Ахатова, на семина-
8
ре кафедры математики УГАТУ под руководством профессора В. А. Байкова, на IV Всероссийской школе-ссминарс «Современные аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП-98) под председательством академика РАН А. Ф. Сидорова (Уфа, 1998), на XXII и XXIV школах-семинарах по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа под председательством академика Азербайджанской Академии Наук А.Х. Мир-заджанзаде (Уфа, 1998, 2001), на Международном симпозиуме по Нелинейной акустике (ISNA-15) (Германия, г. Геттинген, 1999), на рабочем семинаре Третьего Физического Института Геттингенского Университета под руководством профессора В. Лаутерборна (Германия, г. Геттинген, 1999), на Международной конференции по механике многофазных систем (ICMS’2000), посвященной 60 -летию академика РАН Р. И. Нигматулина (Уфа, 2000), на VI-м рабочем семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск. 2000), на семинаре «Динамика коллапсирующих пузырьков» в рамках проекта Минатома (Уфа, 2001), на Международной конференции по многофазным течениям (ICMF’2001) (США, г. Нозый Орлеан, 2001), на Восьмом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на Международной конференции «VI Забабахинские научные чтения» (Снсжинск, 2001).
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 10 работах.
Автор искренне благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н. профессора И. Ш. Ахатова за постановку задачи о динамическом поведении пузырькового кластера и постоянное обсуждение результатов работы, своего научного консультанта чл.-корр. РАН. профессора М. А. Ильгамова за постановку задачи по несферическим колебаниям пузырька и постоянное внимание к работе, академика Р. И. Нигматулина, доцента С. Ф. Урманчеева. доцента
Н. К. Вахитову, K.P. Хуснутдинову и A.C. Топольникова за ценные замечания к работе.
9
Глава 1
Обзор литературы и математическая хмодель пузырькового кластера
1.1 Теоретические исследования динамики пузырьковых кластеров
Для понимания проблем, связанных с кавитацией, а также с явлениями, со-првождающими кавитацию (эрозия поверхности, шум, многопузырьковая сонолюминесценция и т.п.), необходимо детальное изучение динамики пузырьковых кластеров (или, как их еще называют, — пузырьковых облаков). Все теоретические работы, посвященные решению данных вопросов, можно разделить на несколько групп (см. схему, изображенную на рис. 1.1).
Во-первых, можно разделить все теоретические работы на две основные
Рис. 1.1: Классификация основных теорий, изучающих динамику пузырьковых кластеров
10
группы: основанные на предположении тепловой природы кавитации, так называемые тепловые теории, и на предположении электрической природы данного явления, так называемые электрические теории (см. 115]).
Во-вторых, в рамках первой группы можно выделить два подхода к изучению пузырьковых облаков: анализ макроскопического движения пузырькового кластера путем осреднения уравнений сохранения импульса и массы жидкости и газа (другими словами, смесь жидкости и газовых пузырьков рассматривается как сплошная среда) и анализ микроскопических движений индивидуальных пузырьков в кластере. Разберем каждый из этих подходов подробнее.
Подход, в котором смесь жидкости и газовых пузырьков рассматривается как сплошная среда, был одной из первых попыток исследования динамики пузырьковых кластеров. Обосновывается он следующим образом (см., например, [120)). Если ощутимые изменения количественных величин, таких как скорость и давление, имеют место на расстояниях, ббльших по сравнению с расстояниями между пузырьками, тогда массовой плотностью среда жидкость-газовые пузырьки обязана жидкости, а сжимаемостью — газовому содержанию. Кроме того, если все участвующие частоты являются значительно меньше самой низкой резонансной частоты, имеющей место в распределении пузырьков, тогда важно только общее газовое содержание в единицу объема, а не распределение этого газового содержания по пузырькам определенного размера. Таким образом, при данных предположениях среда может быть рассмотрена как однородная. В рамках данного подхода строятся теории, аналогичные теориям для однофазных сжимаемых жидкостей, в которых эффекты динамики индивидуального пузырька не включены, а также на основе данных теорий проводятся различные исследования. Так, например, в [67] выводится выражение для скорости звука в смеси жидкость-газовые пузырьки. Предполагая, что давления в смеси и в газе равны между собой, не беря во внимание диссипацию энергии, связанную с вязкостью, а также разность скоростей между фазами, в данной работе делается вывод, что распространение волн в жидкости, содержащей газовые пузырьки, является изотермическим.
Работа |44| одна из первых, в которой исследуются ударные волны в смеси жидкость-малые газовые пузырьки. В рамках теории однородной жидкости,
11
в которой все эффекты, связанные с пузырьками пренебрежимы по сравнению со сжимаемостью, авторы данной работы установили соотношение Гюго-ньо, а также выражение, связывающее отношение давления за и перед ударной волной и число Маха (скорость распространения ударной волны к скорости звука). Причем, как они показали, последнее выражение хорошо согласуется с экспериментальными результатами. В экспериментах, представленных в [44], имеют место пузырьки размера порядка 10“4 м, чтобы удовлетворить предположению равновесия температуры между жидкостью и газом. Тогда из-за большой разницы в теплоемкости между этими средами рост температуры мал, следовательно, смесь может быть рассмотрена как изотермическая (если не считать рост энтропии через ударную волну). Соотношение Гюгоньо в случае ббльших пузырьков, когда они могут быть расценены как теплоизолированные, было получено в работе [97]. Здесь также был рассмотрен эффект диффузии газа из пузырька в жидкость и сделан вывод, что количество растворенного газа незначительно, за исключением, возможно, очень сильных ударных волн, где пузырьки распадаются на более мелкие.
Когда описанное выше условие на частоты не выполняется, необходимо рассмотрение взаимодействия индивидуальных пузырьков с жидкостью и через жидкость между собой. Для этого предлагались различные теории. Для рассмотрения поведения пузырькового облака в работе [127) была разработана статистическая модель смеси жидкость-пузырьки, характеризующаяся функцией распределения, которая описывает число (или объем) пузырьков в единице объема заданного типа в локальных областях смеси. В классической статье [59[ динамика индивидуальных пузырьков исследовалась также путем рассмотрения их как случайно распределенных разбросанных точек. Предположив, что система эргодическая (то есть справедлива эргодическая гипотеза — средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим значениям), был получен коллективный эффект реакции динамики пузырьков на течение с помощью общего осреднения по всевозможным конфигурациям.
Позднее более общие эквивалентные модели течения дисперсионной двухфазной смеси, включающие эффекты динамики пузырька, сжимаемость жидкости и относительное движение, были разработаны с помощью осреднения уравнений сохранения по объему [36) или по времени [69) для каждой от-
12
дельной фазы. Эти модели применялись при описании распространения как бесконечно малых возмущений, так и одномерных возмущений конечной амплитуды через жидкость, содержащую маленькие газовые пузырьки (пузырьковую жидкость) [45], [60], [80], [93]. В работах [45], [84] были проведены измерения декремента затухания. Экспериментальные данные, показывающие поведение фазовой скорости и декремента затухания в пузырьковой воде как функцию частоты, приведены в работе [60]. В этих работах было показано, что распространение звуковых волн в воде, содержащей воздушные пузырьки, зависит от частоты, то есть среда — дисперсионная. Разброс экспериментальных данных может быть объяснен нестабильностью концентрации газа и полидисперсностью среды. Так, в [28] показано, что в полидисперсной смеси с конечным числом радиусов пузырьков зависимости фазовой скорости и декремента затухания имеют нерегулярный характер. В работе [93] исследовалась ударная волна, проходящая через длинную трубку с пузырьковой жидкостью. Наблюдалось постепенное изменение в структуре ударной волны, которое авторы объясняют движением пузырьков относительно жидкости. Так же они утверждают, что влияние этого движения на структуру ударной волны подобно влиянию тепловой релаксации на газодинамические ударные волны: соответствующее время релаксации является временной вязкой силой в жидкости при изменении скорости пузырька на скорость жидкости.
В работе |19] подробно описана волновая динамика пузырьковых жидкостей. Здесь отмстим только работы [5], [6J и 117), авторы которых одни из первых провели численное моделирование и исследование одномерных нестационарных движений пузырьковых сред при сильных возмущениях с учетом тепловых эффектов. На основе двухтемпературной односкоростной схемы с несжимаемой несущей жидкостью получено, что эволюция структуры ударной волны и затухание коротких импульсов в пузырьковой смеси зависит от коэффициента температуропроводности газа в пузырьках.
Одним из первых, кто сфокуспровал свое внимание не на пузырьковых жидкостях, а непосредственно на динамике пузырьковых кластеров (то есть пузырьки находятся не по всему объему жидкости, а сосредоточены в ее конечном объеме) был ван Вингарден (van Wijngaarden). В своей работе [119] он анализировал коллапс большого числа пузырьков, близких к гладкой стсике, и установил, что возрастание давления при стенке является результатом эф-
13
фекта взаимодействия. Основная идея данной теории может быть представлена следующим образом. В смеси жидкость-пузырьки определяется давление и скорость, которые являются средними по области, содержащей много пузырьков. Задается отношение между объемом пузырька и его давлением. Сохранение массы смеси описывается в терминах скорости изменения объема пузырьков, а сохранение момента импульса выражается в терминах среднего давления. Стыковка между средним давлением и давлением в пузырьке описывается полным нелинейным уравнением для динамического поведения пузырька. При этом предполагается малое объемное содержание газа. Затем среди нелинейных членов в уравнении инерции оставляют только члены, которые появляются из уравнения для динамического поведения индивидуальных пузырьков, поскольку, как утверждается, они являются преобладающими. Работы [120], [121] этого же автора посвящены исследованию пузырьковых течений. Здесь предлагается набор эвристических эффективных уравнений для пузырьковых жидкостей. Как и в работе [119], уравнения осреднены по пространству. Система замыкается уравнением Рэлся-Плессста, описывающего динамику индивидуальных пузырьков. В работе |43| показано, что при рассмотрении акустических волн в пузырьковых жидкостях, эти уравнения точны в пределе малой объемной фракции пузырьков. Исследования [120] показали, что в случае смеси жидкость-пузырьки, помимо двух параметров, присутствующих в теории длинных волн в воде, которые описывают амплитудную дисперсию и частотную дисперсию, существует также третий параметр: отношение между объемом жидкости и газовой фракцией. В случае, когда этот параметр порядка единицы, два других являются того же порядка малости, и уравнения становятся уравнениями типа Буссинеска для волн в воде. Работа [121| имеет дело с теоретическими и экспериментальными исследованиями различных аспектов распространения волн давления малой амплитуды в пузырьковых жидкостях. При рассмотрении жидкости различается жидкость в облаке и окружающая жидкость. В данной работе утверждается, что сжимаемость смеси жндкость-газовые пузырьки происходит, главным образом, из-за газовых пузырьков, если объем, занимаемый пузырьками, не очень маленький. Поэтому сжимаемостью жидкости внутри облака пренебрегают. В работе [122] дастся расчет скорости, которую приобретает облако одинаковых газовых пузырьков, когда жидкость, в которую
14
погружено облако, импульсивно ускоряется.
В работе [1] рассматривается рой пузырьков (воздушная подушка), образующийся в трубе, заполненной жидкостью и стоящей на вибростенде, который совершает колебательные движения в вертикальном направлении с заданной амплитудой и частотой, и исследуется устойчивость этого роя. Начальная стадия, связанная с кавитацией, при которой происходит захват пузырьков воздуха с поверхности жидкости и движение их вниз, образуя на дне большое скопление пузырьков, не рассматривается. Рассматривается вторая стадия — поведение уже образовавшегося роя пузырьков в жидкости. При этом предполагается, что подушка является единым пузырем, имеющим цилиндрическую боковую поверхность и плоские торцы, что исключает возможность изучения взаимодействия между пузырьками и движение их внутри этой воздушной подушки. В такой постановке задачи изменяется только высота подушки и исследование ее на устойчивость — это нахождение таких условий, при которых подушка не всплывает. Сравниваются результаты экспериментальных исследований и теоретических расчетов.
Значительный вклад в исследование кол л апси ру ющих облаков был внесен Мёрхом (M0rch) и его соавторами [62], |63], [85], [86], [87], [88]. Он предположил, что коллапс облака пузырьков вызывает образование ударной волны, которая распространяется внутрь облака, и что геометрическая фокусировка этого удара в центре облака создает шумовой и разрушительный потенциал, связанный с коллапсом облака. D статье [63] для объяснения разрушительной способности кластера была выдвинута идея совместного коллапса кавитационных пузырьков. Вообще существуют две модели совместного коллапса: одна предполагает, что ударные волны от коллапса индивидуальных полостей накладываются друг на друга и формируют одиночную ударную волну высоко интенсивного разрушения; другая предполагает, что коллективный коллапс увеличивает давление, при котором последние полости кол-лапсируют, и что струи жидкости, формируемые асимметричным коллапсом полостей, близких к твердому телу, и есть источник разрушения. В соответствии с первой идеей, изложенной в [118], ожидается, что совместный коллапс будет формироваться следующим образом. Когда первые полости в кластере ксшлапсируют, испускаемые ударные волны инициируют коллапс других полостей. Ударные волны от коллапса индивидуальных полостей переносят-