Теория электромагнитного взаимодействия атомов с мезо- и нанообъектами

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................6
ГЛАВА 1. АТОМНАЯ ОПТИКА ВБЛИЗИ НАНООТВЕРСТИЯ, ПОДСВЕЧЕННОГО ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ..................................18
§ 1. Свойства ближнего поля лазерного излучения вблизи
наноотвсрстия....................................................20
§ 2. Атомные ловушечные конфигурации в ближнем поле лазерного
излучения вблизи наноотверстия...................................31
§ 3. Селекция атомов в ближнем поле лазерного излучения вблизи наноотверстия..................................................42
1. Селекция атомного пучка, нормально падающего на отверстие с подсветкой. .............................................43
2. Влияние ближнего поля лазерного излучения на скорость истечение равновесного газа через круглое отверстие................57
3. Пример применения метола для разделение изотопов благородных газов....................................................61
§ 4. Фокусировка атомов в ближнем поле лазерного излучения вблизи наноотверстия..................................................65
1. Классическая динамика пучка в окрестности наноотверстия 69
2. Квантовая динамика пучка в окрестности наноотверстия.......85
§ 5. Основные результаты ГЛАВЫ 1................................107
ГЛАВА 2. ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМНОГО ДИПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МИКРОСФЕРЫ : ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ....................109
§ 1. Общий подход...............................................111
§ 2. Квазистатическое приближение...............................118
§ 3. Учет эффектов запаздывания.................................123
§ 4. Численные расчеты и иллюстрации............................133
§ 5. Изменение скорости спонтанных распадов атомного диполя в
нанопузырьках...................................................142
§ 6. Эксиплексы в системе атом + диэлектрическая микросферы.....155
§ 7. Основные результаты ГЛАВЫ 2................................172
ГЛАВА 3. ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМНОГО ДИПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МИКРОСФЕРЫ: СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ....................................................174
§ 1. Резонансный случай: классический подход....................176
§ 2. Квантование электромагнитного поля в присутствии
диэлектрической микросферы......................................192
§ 3. Динамика однофотонного континуума..........................200
1. Гамильтониан однофотонного континуума.....................200
2. Свойства однофотонного континуума при возбуждении атома...208
3. Свойства однофотонного континуума при возбуждении
микросферы....................................................212
§ 4. Вакуумное поле и Раби частота в случае атома снаружи микросферы.....................................................221
1. Радиальная ориентация дипольного момента...................221
2. Тангенциальная ориентация дипольного момента...............223
§ 5. Вакуумное поле и Раби частота в случае атома внутри микросферы.....................................................226
1. Радиальная ориентация дипольного момента...................227
2. Тангенциальная ориентация дипольного момента...............228
§ 6. Численные примеры и графики.................................231
§ 7. Основные результаты ГЛАВЫ 3.................................242
ГЛАВА 4. АТОМНЫЙ КВАДРУПОЛЬ ВБЛИЗИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МИКРОСФЕРЫ ........................................................247
§ 1. Ширина линии квадрупольного перехода ( квантовый подход) 249
§ 2. Ширина линии и сдвиг се частоты для квадрупольного перехода
(классический подход)............................................257
§ 3. Сравнение результатов классических и квантовоэлектродинамических вычислений..............................................268
§ 4. Градиентная сила для квадрупольных переходов................276
§ 5. Основные результаты ГЛАВЫ 4.................................284
ГЛАВА 5. РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ АТОМНЫХ ДИПОЛЕЙ, РАЗДЕЛЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЬЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МИКРОСФЕРЫ.......................................................285
§ 1. Динамика взаимодействующих осцилляторов , разделенных
сферической границей...........................................287
§ 2. Квазистатическое приближение..............................293
§ 3. Перенос энергии между осцилляторами (классическая теория).305
§ 4. Перенос энергии между осцилляторами (квантовая теория)....310
§ 5. Численные примеры и графики...............................313
§ 6. Основные результаты ГЛАВЫ 5...............................320
ГЛАВА 6. ИЗМЕНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМА, РАСПОЛОЖЕННОГО ВБЛИЗИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ........................................324
§ 1. Ширина линии атомного диполя в присутствии идеально
проводящей конической поверхности..............................326
§ 2. Сдвиг частоты атомного диполя в присутствии идеально
проводящей конической поверхности..............................333
§ 3. Основные результаты ГЛАВЫ 6...............................341
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................343
ЛИТЕРАТУРА......................................................348
— 6 —
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Одной из важнейших тенденций современной науки и техники является стремление понять свойства все меньших по размеру объектов и научиться использовать эти свойства в научных и практических целях. Основной целью здесь, по-видимому, является разработка принципов и методов, позволяющих детально (не статистически) исследовать и модифицировать структуры живого вещества на атомном и молекулярном уровне. С другой стороны, значительный интерес представляют попытки создания устройств нанометрового масштаба (источники излучения, элементы памяти, электронные ключи и др.), структура которых синтезируется атом за атомом. Эта возможность была впервые рассмотрена Р.Фейнманом в [1], где он сказал: “ Принципы физики, насколько я понимаю, не запрещают возможности построения любых объектов атом за атомом”. Результаты, получаемые в этих направлениях взаимозависимы и взаимообусловлены, так что уже можно говорить о возникновении новой науки - науки нанообъектов и нанотехнологий.
Исследования в этих направлениях ведутся весьма активно и в настоящее время уже продемонстрирована возможность создания лазера с одним атомом в резонаторе [2], микролазеров с низким уровнем генерации [3,4], позиционирование атома с нанометровой точностью с помощью сканирующего микроскопа [5], получен ряд интересных результатов по микроскопии с нанометровым разрешением [6] и др. В ближайшее время
— ? —
планируется проведение экспериментов по неразрушающему измерению числа фотонов в диэлектрической микросфере [7,8] и по демонстрации работы логических элементов квантовых компьютеров [9-11]. Заметим, что в основе всех этих эффектов лежит электромагнитное взаимодействие атома с объектами, размеры которых сравнимы (мезообъекты) или даже существенно меньше длины волны излучения (нанообъекты).
Несмотря на впечатляющие экспериментальные демонстрации, развитие этих направлений сталкивается с рядом фундаментальных проблем. К числу последних следует в первую очередь отнести следующие:
1. Возможно ли с помощью лазерного излучения сфокусировать атомы в нанометровые области?
2. Возможно ли создать для атомов трехмерные оптические ловушки суб-микронных размеров?
3. Возможно ли создание микроскопа (наноскопа), способного разрешать
о
атомы как по положению (с точностью 10 А и менее), так и по частоте перехода ( с точностью 0.1 эВ и менее)?
4. Как изменяются ширина линии и частота излучения атома вблизи мезо-и нанообъектов?
5. Как объяснить наблюдаемые спектры (дублетные и триплетные) флюоресценции в системе атом + резонатор?
6. Как влияют нанообъекты на запрещенные в дипольном приближении переходы?
Решение этих и подобным им проблем является предметом оптики нанообъектов или нанооптики.
Оптика нанообъектов является специфичной областью оптики и спектроскопии, так как имеет дело с объектами, размеры которых сравнимы (мезообъекты) или даже меньше характерных длин волн электромагнитного излучения (нанообъекты). Например, характерный радиус кривизны иглы сканирующего микроскопа - десятки и даже единицы нанометров. В результате оказывается, что многие оптические явления приобретают здесь черты не характерные для оптики макроскопических объектов.
Дело заключается в том, что в присутствии мезо- и нанообъектов в пространственной структуре электромагнитного поля важную роль приобретают быстроспадающие ближние поля, взаимодействие атомов с которыми существенно отличается от обычного взаимодействия атомов с распространяющимися (или стоячими) волнами. Более того, при некоторых условиях возможно даже резонансное взаимодействие атомов и мезообъек-гов. В результате существенно изменяется структура уровней атома, находящегося вблизи нанообъекта, со всеми вытекающими отсюда следствиями.
— 9 —
Целью настоящей работы является изучение динамики и спектроскопических свойств нейтральных агомов, обусловленных их электромагнитным взаимодействием с мезо - и нанообъектами. Источником электромагнитных полей оптического диапазона может быть как внешнее устройство (лазер), так и спонтанное излучение возбужденного атома, расположенного вблизи нанообъекта.
При этом основное внимание будет уделено исследованию взаимодействия атомов и фотонов с простыми по геометрической форме объектами типа диэлектрической сферы, конуса и малого отверстия в экране. Выбор таких объектов исследования связан как с возможностью изучить обусловленные ими эффекты с достаточной теоретической глубиной, гак и с тем, что такого рода объекты являются хорошими аппроксимациями реальных ситуаций. Так отверстие моделирует конец иглы туннельного сканирующего микроскопа, конус моделирует эту же иглу в больших масштабах. Диэлектрическая микросфера непосредственно является основным элементом микролазера с низким порогом генерации и экспериментальной установки по неразрушающему измерению числа фотонов в ней.
Диссертация состоит из введения 6 глав и заключения.
В 1 ГЛАВЕ диссертации рассматривается взаимодействие атома с внешним электромагнитным полем, образующемся при дифракции на малом по сравнению с длиной волны отверстии. Здесь находятся простые аналитические выражения для ближних нолей. Электрическая компонента
-10-
ближнего поля приводит к сдвигу уровней атома, зависящему от положения атома, и, в результате, к возникновению дипольной градиентной силы, действующей на атом. Основным направлением исследований 1 ГЛАВЫ является динамика нейтральных атомов вблизи отверстия, малого по сравнению с длиной волны, под воздействием градиентной дипольной силы. Оказывается, что образующееся ближнее поле может быть использовано для создания атомных ловушек, фокусировки атомных пучков с наномет-ровой точностью и неразрушающей селекции (по частоте перехода) атомов различных типов.
Еще более интересной оказывается проблема взаимодействия атома с его собственных полем излучения, модифицированным присутствием ме-зо- и нанообъектов. В ГЛАВАХ 2-4 рассматривается электромагнитное взаимодействие единичного атома с диэлектрической микросферой. Существует несколько причин, обуславливающих интерес к этой проблеме. Во-первых, микросферы являются высокодобротиыми резонаторами в оптической области и даже один фотон может приводить к большим электрическим полям вблизи поверхности микросферы. Во-вторых, атом в области таких больших полей эффективного взаимодействует с ними даже в случае малого числа фотонов. Более того, атом может эффективно взаимодействовать даже с вакуумным полем (вакуумное Раби расщепление).
При исследовании проблемы взаимодействия атома и диэлектрической микросферы удобно рассматривать два случая: случай слабого нере-
—и —
зонансного взаимодействия и случай сильного резонансного взаимодействия. Случай слабого взаимодействия реализуется тогда, когда атом расположен далеко от поверхности микросферы или частота перехода в нем далека от резонансных частот микросферы. В этом случае применима теория возмущений, а характеристики системы атом + микросфера + электромагнитное поле только количественно отличаются от случая, когда микросфера и атом удалены на бесконечное расстояние. Результаты исследования этого режима представлены в ГЛАВЕ 2, где с помощью оригинального подхода найдены явные выражения для сдвига частоты и изменения ширины линии и показано, что даже в режиме слабого взаимодействия возможны существенные изменения этих характеристик.
Случай сильного взаимодействия реализуется при приближении атома к поверхности микросферы или при совпадении частоты перехода с частотой высокодобротной моды микросферы. В этом случае ситуация меняется качественно и, в частности, возможно эффективное поглощение микросферой фотона испущенного атомом и наоборот.
В ГЛАВЕ 3 представлены результаты исследования режима сильного взаимодействия в системе атом+микросфера. В §1 проблема рассматривается с классической точки зрения. В §2 рассматриваются особенности квантования электромагнитного поля в присутствии диэлектрической микросферы. В §3 исследуются динамические свойства однофотонного континуума, то есть подпространства состояний, соответствующего одному фо-
-а-
тону в квантованной моде (или в виде энергии возбужденного атома). Здесь находится спектр гамильтониана однофотонного континуума и показывается, что в нем формируются две дискретные составляющие, ответственные за вакуумное Раби расщепление. В этом разделе исследуется динамика формирования синглетного, дублетного и триплетного спектра фотонов при различных способах возбуждения системы атом + микросфера. В §4,5 полученные результаты применяются для нахождения явных выражений для вакуумного поля и вакуумной частоты Раби при различных ориентациях и положениях атома. В §6 представлены результаты численных расчетов.
В ГЛАВЕ 4 методики разработанные в ГЛАВАХ 2,3 применяются к исследованию квадрупольного взаимодействия единичного атома с ди-элекгрической наносферой. Здесь показывается, что за счет кривизны поверхности существенно меняются правила отбора и скорости квадруполь-ных переходов могут приближаться к скорости дигюльных переходов.
В ГЛАВЕ 5 в рамках как классического, так и квантового подходов исследуется проблема переноса энергии между двумя атомами, разделенными поверхностью диэлектрической наносферы. Найдено дисперсионное уравнение этой системы. Исследование этого дисперсионного уравнения в квазистатическом приближении показало, что поведение собственных частот в зависимости от параметров системы имеет сложный характер и что при специальном выборе последних возможно обеспечение полного резо-
-в-
нанса. На основании этих решений найдены зависимости скорости переноса в зависимости от параметров системы. Показано, что при приближении внутреннего атома к поверхности может происходить резонансное усиление взаимодействия и существенное увеличение скорости передачи возбуждения от одного атома к другому. Аналогичные результаты получаются при использовании квантово-механической матрицы плотности для описания взаимодействия атомов.
В ГЛАВЕ 6 представлены результаты исследования ширины линии и сдвига частоты излучения атома, расположенного вблизи идеально проводящего острия или внутри конической полости в идеальном проводнике. Показано, что влияние острия на атом, расположенный на фиксированном расстоянии от вершины, уменьшается по мере уменьшения угла его раствора. С другой стороны, ширина линии атома в конической полости может как сильно увеличиваться, так и сильно уменьшаться в зависимости от положения атома и угла раствора полости. Полученные результаты могут оказаться полезными при проектировании наноскопов ближнего поля со спектральной селективностью.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ приводятся основные результаты.
В основу настоящей работы положены исследования автора по оптике нанообъектов, опубликованные в 1994 -1999 гг.
-\ч-
Научная новизна работ, представленных в диссертации, заключается как в самой постановке исследований по взаимодействия атомов с нанообъектами, так и в получении целого ряда результатов в этой области. Наиболее существенные из них перечислены в разделах ‘‘Основные положения, выносимые на защиту” и “Основные результаты”(ЗАКЛЮЧЕНЙЕ). Подчеркнем новизну лишь следующих основных положений, доказанных в исследованиях:
■ ближнее поле в окрестности малого отверстия способно фокусировать нейтральные атомы в нанометровые области;
■ скорости квадрупольных переходов вблизи нанообъектов могут приближаться по порядку величины к скоростям дипольных переходов;
■ спектр однофотонной флюоресценции атома вблизи мезообъектов может иметь синглетный, дублетный или триплетный вид.
Совокупность проведенных исследований можно рассматривать как новое научное направление в оптике - нанооптику.
Научная и практическая ценность диссертации заключается прежде всего в том, что разработанные подходы и найденные решения являются основой для дальнейших исследований в области нанооптики. Ряд полученных результатов может найти практическое применение в ближайшем будущем для расчетов одноатомных лазеров с низким порогом генерации, для создания наноскопа со спектральной селективностью, для создания
—15—
квантовых логических элементов для квантовых компьютеров, в устройствах синтеза электронных наносхем. Кроме того полученные результаты позволили количественно объяснить экспериментально обнаруженное аномальное увеличение времени жизни молекул N0 в матрицах благородных газов.
Основные положения, выносимые на защиту.
Автор выносит на защиту результаты исследований, в результате которых решен ряд проблем физики электромагнитного взаимодействия атомов с мезо- и нанообъектами, имеющих теоретическое и практическое значение.
1. Нахождение простых аналитических выражений для ближнего поля в окрестности малого по сравнению с длиной волны отверстия.
2. Нахождение истинно 3-х мерных ловушечных конфигураций для нейтральных атомов вблизи малого отверстия.
3. Способ неразрушающей селекции нейтральных атомов градиентной силой, возникающей в ближнем поле, образующемся при дифракции на малом отверстии.
4. Способ фокусировки пучков нейтральных атомов в область диаметром порядка 1 нм на основе ближнего поля, образующегося при дифракции на малом отверстии.
-І6-
5. Методика разложения электромагнитных полей дипольного и мультипольного источника по векторным сферическим гармоникам, в системе координат с центром, не совпадающим с центром диполя (мультиполя).
6. Анализ сдвига частоты и изменения ширины линии спонтанного излучения атома, помещенного как снаружи, так и внутри диэлектрической микросферы.
7. Анализ сдвига частоты и изменения ширины линии спонтанного излучения атома в присугствии идеально проводящей конической поверхности.
8. Анализ скорости радиационного распада возбужденного атома, расположенного в нанопузырьке с диэлектрическими стенками конечной толщины.
9. Анализ динамики центра масс возбужденного атома с произвольной ориентацией дипольного момента вблизи диэлектрической микросферы.
10.Теория сильного взаимодействия двухуровневого атома с континуумом квантованных мод электромагнитного поля, попадающих в контур резонансной моды диэлектрической микросферы (моды шепчущей галереи).
11.Явные выражения для вакуумной частоты Раби, для спектров излученных фотонов при различных режимах возбуждения системы атом + микросфера.
12.Анализ влияния кривизны нанообъектов на вероятности дипольных и мультипольных переходов.
-w-
13.Вероятность квадруполыюго перехода в атоме, расположенном вблизи наносферы может увеличиваться на несколько порядков и сравниваться по величине с вероятностями дипольных переходов.
14.Анализ переноса энергии между двумя атомными диполями, разделенными поверхностью диэлектрической микросферы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 статьях в ведущих отечественных и зарубежных журналах.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Физического Института им. П.Н. Лебедева РАН, Института Общей Физики РАН, Института Спектроскопии РАН, Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова, Университета Парижа (Север), на международных конференциях: "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics ", St. Petersburg, Russia, 1995, “International Symposium on Nanostructures: Physics and Technology” (St. Petersburg, Russia, 1997), "8 European Research Conference on Quantum Optics" (Castelveccio Pascoli, Italy, 1997), “VII Seminar on Quantum Optics” (Raubichi, Belarus, 1998), "9 European Research Conference on Quantum Optics" (Castelveccio Pascoli, Italy, 1998).
Все результаты, представленные в диссертации, получены лично автором. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, шести глав, объединяющих 33 раздела, Заключения, 2 таблиц, 77 рисунков, а также списка цитируемой литературы, включающей 185 названий. Общий объем работы - 367 стр.
ГЛАВА 1. АТОМНАЯ ОПТИКА ВБЛИЗИ НАНООТВЕРСТИЯ, ПОДСВЕЧЕННОГО ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ.
В 1929 году Штерн и его коллеги [12-14] заложили основу атомной оптики, продемонстрировав отражение и дифракцию атомов металлическими и кристаллическими поверхностями.
В настоящее время благодаря развитию мощных перестраиваемых лазеров техника манипулирования траекториями атомов с помощью лазерного излучения является достаточно хорошо разработанной областью физики [15,16]. При этом основные усилия были направлены на исследование атомной оптики в свободно распространяющихся лазерных полях, в то время как важная область сильно ограниченных лазерных полей не была изучена. Мы имеем в виду так называемые ближние поля, в которых характерные пространственные масштабы малы по сравнению с длиной волны в свободном пространстве.
Тот факт, что ближние поля имеют более сложную структуру по сравнению со свободно распространяющимися полями, был известен довольно давно. Герц впервые отметил, что поле диполя в области малых расстояний спадает по закону 1/г3, а не 1 /г. Это означает, что поле вблизи диполя гораздо сильнее того, что можно было бы предположить экстраполируя наблюдения в дальней зоне. Зоммерфельд [17] вычислил влияние
-19 -
ближнего поля на характеристики излучения дипольной антенны вблизи поверхности.
В классической оптике ближние поля не играли важной роли, хотя и использовались для объяснения важных эффектов при рассеянии света на малых частицах [18] или при прохождении света через малые отверстия [19]. В настоящее время оптика ближних полей представляет значительный практический интерес, так как, например, на их свойствах основаны так называемые микроскопы ближнего поля, позволяющие достигать разрешения 20 нм и более (см., например, [20]).
Синтез атомной оптики и оптики ближнего поля лазерного излучения позволяет в принципе управлять движением атомов с нанометровой точностью. В первой главе будут представлены результаты исследования движения нейтральных атомов под действием градиентной силы в ближнем поле, возникающем при дифракции лазерного излучения на малом по сравнению с длиной волны отверстии в металлической плоскости. Пространственная структура возникающего при этом ближнего поля весьма замечательна и при водит к целому ряду новых эффектов нанооптики атомов [21-31]
-20-
§ I. Свойства ближнего поля лазерного излучения вблизи наноотверстия
Точное формальное решение задачи о дифракции плоской волны на круглом отверстии было получено в 50 годах целым рядом авторов [32-34]. Найденные решения выражались в виде рядов сфероидальных функций или гипергеометрических полиномов, плохо сходящихся в коротковолновом пределе. В случае длинноволнового предела были получены выражения для поля в волновой зоне с точностью до членов (ка)6 [35]. Однако, даже в области больших длин волн ( или малых отверстий ), насколько это известно автору, простых выражений для распределения поля в окрестности отверстия до настоящего времени получено не было. (Численные расчеты для некоторых частных конфигурации были проделаны в [36]).
В настоящем параграфе будут получены простые (через элементарные функции) выражения для поля в окрестности малого отверстия. При этом мы ограничимся лишь случаем нормального падения плоской монохроматической волны с зависимостью от времени ехр(ЧсоО на круглое отверстие радиуса а в идеально проводящем экране. Геометрия задачи показана на Рис.1, на котором схематически показано , что полное электромагнитное поле вблизи наноотверстия может быть представлено в виде падающего, отраженного и ближнего поля.
падаюшая
волна
отраженная
волна
ближнее
поле
/
ближнее
поле
наноотверстие
Рис.1. Геометрия задачи о нанооптике атомов в ближнем поле лазерного излучения.
-22-
Для нахождения этих выражений мы воспользуемся подходом [19], в соответствии с которым считается, что по поверхности отверстия текут (“фиктивные”) магнитные токи, которые определяют рассеянное поле.
Под рассеянным полем мы будем понимать ту часть полного электромагнитного поля , которая определяется соотношением
Е = Е0 + Е,; Н = Н0 + Н, (1.1)
где Ео и Но поля, существовавшие бы при полном отсутствии отверстия и отличные от нуля лишь при ъ < 0. Для определенного таким образом рассеянного поля должны выполняться граничные условия (см. Рис.1):
Еялм(х,у,г = (Г) =0 вне апертуры
Н„(х,у,г = 0*) =0 вне апертуры
= 0*) =0 на апертуре
= =^яо.и. на апертуре
(1.2)
Обычные выкладки показывают [37], что рассеянное электрическое и магнитное поля выражаются через магнитные токи следующим образом:
Е,(К)=Д[К(г')УФ]Л (1.3)
и, (К) = Д[/*К(г> - пСг’)У<р ] Оа (1.4)
где ф = ехр(1к|К-К’|)/|К-К'| функция Грина свободного пространства, а интегрирование проводится по поверхности отверстия. Естественно, что
-23-
плотности магнитных токов и зарядов удовлетворяют уравнению неразрывности:
Из структуры выражении (1.3,1.4) следует, что все граничные условия (1.2), кроме последних двух, выполняются автоматически и задача сводится таким образом, к нахождению таких плотности магнитного тока и плотности магнитных зарядов, которые удовлетворяли бы последним двум граничным условиям (1.2).
В нашем длинноволновом случае, решение для К и г\ будем искать в виде степенных рядов по к = 2к / X.
Фактически разложение выражения для поля идет по степеням (гIX) , так что область применимости полученных по такого рода теории возмущений лежит в пространственной области размером порядка длины волны. Здесь мы ограничимся лишь главными членами разложения ц и К.
Уравнение для распределения плотности магнитного заряда г|(С1), получающееся комбинированием (1.2),(1.4) и (1.6) и имеющее вид
сйу™ К ‘ікг\ = О
(1.5)
к = к(,)+к(3)+...
(1.6)
(1.7)
было решено Г.Бете [19]:
Уравнение для распределения плотности магнитного тока К, получающееся комбинированием (1.2), (1.3) и (1.6) и имеющее вид
Мг-Г1> <*у,2|К(1) -йЬ|<0) = О
скз = 0 (аг г = 0')
(1.9)
также было рассмотрено Бете, однако его результат в случае нормального падения оказывается некорректным. Правильное выражение для плотности магнитного тока (нормальное падение) имеет вид:
К =
2 Не
Зк‘
2Н0(«2-!■*) +
1/2. н0г-1/н0г;
(а2-г2)' 2
О-10)
В дальнейшем мы будем опускать индексы, показывающие порядок теории возмущений.
Теперь, когда плотности магнитных зарядов и токов известны, нахождение полей сводится к вычислению интегралов.
Рассмотрим сначала г-компоненту электрического поля. С помощью
представления плотности магнитного тока К в виде:
к=£{н»4[у“[у“"Но®аг -г2)}("г-г2Г
где У^п - представляет тангенциальные компоненты градиента, и интегри-
рований по частям выражение для можно преобразовать к виду
С помощью аналогичных выкладок можно любые компоненты поля выразить через производные от интегралов вида
/ j г2\д/2
|R-r-| * (|>= l’3> (,13>
Для их вычисления удобно сначала произвести прямое преобразование Фурье по радиальным компонентам г (R~(ry z)), а потом произвести обратное преобразование Фурье, в результате чего исходный интеграл окажется преобразованным к виду
—xz/o
C(R) = к2'лпГ!Г(\ + п/2)а"" \j,(xr / a)J^n(x)~dx (1.14)
Подставляя это выражение в (1.12) , проводя дифференцирования и используя рекуррентные соотношения для функций Бесселя удается свести все интегралы к интегралам вида
C(R)=jjJxr/a)^-e-a/‘dx (1.15)
которые является табличным, (см., [38] стр. 777).
В результате окончательные выражения для электрического поля в длинноволновом приближении будут выглядеть следующим образом (z
-Z6-
Er = -
ika 3 nr
[HorLc
(1.17)
где nz единичный вектор вдоль оси z, Ez and Etan - компоненты электрического поля вдоль оси z и в перпендикулярной плоскости соответственно. Эти выражения являются основным результатом настоящего раздела и могут быть использованы в самых различных целях. Заметим, что значительно более сложный подход с использованием сплюснутых сфероидальных координат был рассмотрен в малодоступной работе [39].
В (1.16), (1.17) использованы обозначения
Д=/Г
u
+ za
ҐЯ+
—ті-arct.
T—2
\ г a
,g(*+
(1.18)
B= R'
2r2-^
R
+ zR+a
3 zr2R+
R
оЛ*(1 + Л+2)
(1.19)
С =
larR’
Л*(і + /?+2)
(1.20)
R* =
(R2-a2)2 +4a2z2
1/2
;R± =
fR*±(R2-a2)] 2~
2a'
1/2
r2 = x2 + y2;R2 = r2+z2
(1.21)
Для приложений важное значение имеет поведение функций А,В,С
вблизи оси системы (z = z /а, г = г /а):
-27-
А = 3(1-7аГСІ$(1/г)) + зг-
1 Зг2гг г*(15г* -23г1 + 2)
+0(7“)
1+г1 (1 + г2/
4(1 +Г)
(1 + г2/ (і+?2/
(1.18а)
(1.19а)
2гг Зг3гГ1-г2) ,р5
с-?йР7+- 7Г+?2/ '+0(г)
(1.20а)
В области сразу за плоскостью экрана выражения (г = 0+), (1.16),(1.17) согласуются с граничными условиями (1.2). Нетривиальные
соотношения принимают вид (г = 0):
Е, = 2* ГгГв Н Іа2 - г2)'72 + 1П-»Н°](ГГ)~[П4Н°Г)| шп 3*1^4 ) (а2-г2)ХП ,
(1.22)
(на апертуре)
Ъка1
3* г2(г2_а2)1/2
(1.23)
(вне апертуры).
На больших расстояниях от экрана {Я!а » 1), поля представляются
формулами
Е =
_ 2а3/* г
З**3 1^°
2а
Н= —V Зл
кн0)
(1.24)
и аналогичны полям дипольных моментов.
Перед апертурой (г<0), полное электрическое (и магнитное) поле яв-
ляется суперпозицией поля Ео, обусловленного стоячей волной, и ближнє-
-28-
го поля , выражение для которого можно получить ИЗ (1.16),(1.17) путем нечетного продолжения для нормальной компоненты, Ez (z) = -Ez (-z), и
четного продолжения для тангенциальных компонент, Etan(z) = Etan ("z)-Хорошо известно, что силы, действующие на атом, определяются градиентом плотности энергии лазерного излучения [40].
Величина градиентной силы зависит не только от градиента интенсивности, но и от величины и знака расстройки частоты лазерного поля о относительно точки резонанса соо с атомным переходом (см. [41]). Поэтому
при исследовании атомной динамики вблизи наноструктур основной интерес представляет средний ( по времени) квадрат электрического поля. В случае нормального падения на наноотверстие циркулярно-поляризованной волны,
азимутально-симметричное выражения для среднего квадрата электрического поля принимает вид:
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
-29-
<и/ = {л2 + (Л + Л)2+С2} (г>0) (1.29)
где А, В, и С описываются выражениями (1.18), (1.19) и (1.20).
Таким образом мы получили точное выражение в терминах элементарных функций для ближнего поля в случае нормального падения плоской электромагнитной волны на наноотверстие в первом приближении по (ка). Полученные результаты корректны не только вблизи отверстий, но и в любой точке на металлическом экране. Посредством принципа Бабине эти результаты могут быть легко обобщены на случай ближнего поля при дифракции плоской электромагнитной волны на круглом металлическом диске малого диаметра.
На Рис. 2 показано пространственное распределение среднего квадрата электрического поля в плоскости содержащей ось симметрии в г, г координатной системе в случае нормального падения циркулярно поляризованной волны для радиуса отверстия а = 2/к.
Анализ этих рисунков показывает, что, структура ближнего поля является достаточно сложной и в ней присутствуют максимумы концентрации энергии непосредственно перед отверстием и вблизи кромки отверстия. Эти особенности оказывают непосредственное влияние на оптику нейтральных атомов вблизи отверстия, так как градиентная сила зависит именно от квадрата электрического поля [40].
ста *
<Ез -
Краевая
особенность
Максимум, обусловленный ближним полем
Область
тени
Направление паления волны
Рис.2.Трехмерное распределение среднего квадрата электрического поля лазерного излучения в окрестности отверстия (ка=1, Еом = 3/2 СвБ единиц).
-31-
Выражение для потенциала градиентной силы хорошо известно. В случае длительного взаимодействия атома с ближним полем этот потенци-
ал описывается [42]:
V
2 ( Гу
(1.30)
в то время как в случае достаточно короткого ( по сравнению с временем спонтанных распадов) времени взаимодействия этот потенциал имеет вид: [43]
{/=
па.
1 + 2
1®] *М2
1/2
-1
(1.31)
В (1.30) и (1.31) (е2)-средний квадрат электрического поля (см., (1.27)-(1.29)), П = со - (оо - расстройка частоты лазерного излучения по сравнению
с частотой перехода, р - дипольный момент перехода, и у2 = О? + (172)2, Г - полная ширина линии.
§ 2. Атомные ловушечные конфигурации в ближнем поле лазерного излучения вблизи наноотверстия
Вслед за первыми экспериментальными наблюдениями захвата нейтральных атомов посредством дипольной силы [44], был продемонстрирован целый ряд подходов к удержанию нейтральных атомов с использова-
нием комбинаций оптических, магнитных и гравитационных сил [45-47].
-гг-
В этом параграфе предлагается новый тип атомной ловушки [22,23], который, возможно, будет обладать достоинствами уже известных ловушек, а так же будет позволять удерживать атомы в заданных пространственных точках, причем расстояния между удерживаемыми атомами могут иметь любые значения, в том числе и меньшие длины волны. В качестве основной силы, удерживающей атом в гакой ловушке предлагается использовать градиентную силу, возникающую в ближнем поле лазерного излучения вблизи малого отверстия или системы отверстий в тонком, идеально проводящем экране. При этом мы ограничиваемся случаем нормального падения лазерного излучения на отверстие.
Новые ловушечные конфигурации полностью обусловлены характером пространственного распределения электрического поля.
На Рис.2 показано пространственное распределение квадрата электрического поля при ка = 2 ( к - волновой вектор излучения, а - радиус отверстия). Из этих рисунков видно, что в окрестности отверстия возникают экстремумы трех типов. При этом наиболее интересный из этих экстремумов является истинно трехмерным и находится на оси симметрии системы непосредственно перед отверстием, вблизи пучности стоячей волны, образованной падающей и отраженной волнами (см., Рис.З). Другой экстремум связан с дифракционной особенностью на краю отверстия и имеет кольцевую топологию. Наконец, если учесть наличие гравитационного поля, то возникает еще один слабый кольцевой экстремум, расположенные не-
потенциальная атома на оси
vffle4KH4 конфйУР*®'** задачи оЛОВуШ
РйсЗ.ГеоМетР«^ения
лазерного излу
в бдюкнем
— 34 —
сколько ближе к оси, чем экстремум, связанный с дифракционной особенностью.
Рассмотрим сначала случай, когда гравитационное поле отсутствует. Единственной силой действующей на атом при этом является градиентная сила, потенциал которой в данном случае (случае удержания) описывается известным выражением (1.30).
Из этого выражения и Рис. 2 видно, что в случае отрицательной расстройки частоты £> перед экраном в месте локального максимума квадрата электрического поля возникает атомная ловушка.
Для определения основных параметров этой ловушки, то есть положения ее минимума и глубины, достаточно ограничиться только значениями (1.30)) на оси симметрии задачи, так из Рис. 2 видно, что при г < а всегда существует радиальная возвращающая сила.
На оси симметрии выражение для потенциала градиентной силы упрощается и может быть представлено в виде
С/ =^1п(1 + 5(8т(Ла?)-^4,(2'))2), г<0 2 371
(2.1)
(2.2)
где
Ао = 3(1 -2 агсщ(у/г)) + —
1 4" 2
(2.3)