- 2 -
Содержание.
Введение. 5
1 Структура хаоса и методы диагностики гиперболичности хаотических аттракторов. 18
1.1. Расчет угла пересечения ф устойчивого и неустойчивого многообразий хаотической траектории для двумерных обратимых отображений............................................ 18
1.2. Статистика значений угла ф и нелокальное поведение многообразий встроенных в аттрактор седловых циклов
и хаотических траекторий............................... 23
1.2.1. Квазиаттрактор в системе Хенона.................. 23
1.2.2. Квазигиперболический аттрактор в системе
Лози...........,................................ 30
1.2.3. Гиперболический аттрактор в диссипативном отображении на торе....................................... 36
1.3. Расчет угла ф между многообразиями хаотической траектории для трехмерных потоковых систем...................... 40
1.3.1. Модификация метода расчета угла ф между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории для случая трехмерной потоковой системы............................................ 40
1.3.2. Квазигиперболический аттрактор и квазиаттрактор в системе Лоренца.................................. 42
1.3.3. Квазиаттрактор в системе Ресслера................ 47
1.4. Выводы.................................................. 48
2 Статистические характеристики хаоса в присутствии шума. 51
2.1. Влияние шума на распределение угла пересечения направлений устойчивости и неустойчивости хаотической траектории................................................... 52
2.1.1. Квазиаттрактор в системе Хенона.................. 52
2.1.2. Квазигиперболический аттрактор в системе
Лози.............................................. 55
2.1.3. Гиперболический аттрактор в диссипативном отображении на торе................................. 56
2.2. Влияние шума на зависимости усредненных по времени характеристик хаоса от управляющих параметров системы......................................................
2.3. Исследование стационарной плотности вероятности на негиперболических аттракторах двумерных обратимых отображений в присутствии шума. Сравнительный анализ алгоритмов расчета и построения плотности распределения вероятностей.......................................
2.3.1. Алгоритмы и методы построения плотности распределения вероятностей...............................
2.3.2. Расчет установившегося распределния вероятностей. Анализ влияния характеристик источника шума на распределение вероятности.....................
2.4. Выводы................................................
Особенности процесса установления стационарного вероятностного распределения на хаотических аттракторах различной структуры в присутствии шума, 85
70
70
73
83
- 4 -
3.1. Методы исследования процесса установления стационарного вероятностного распределения и характеристики скорости перемешивания.......................................... 85
3.2. Процесс установления стационарного вероятностного распределения на хаотическом аттракторе в системе Лоренца. Влияние шума на различные характеристики скорости перемешивания................................................ 89
3.3. Исследование процесса перемешивания в системе Рес-слера. Механизм влияния шума на характеристики скорости перемешивания.......................................... 94
3.4. Исследование процесса перемешивания в системе двух взаимно связанных осцилляторов Ресслера................ 105
3.5. Выводы................................................. 107
Заключение. 111
Список цитированной литературы.
114
Введение.
Развитие теории нелинейных колебаний привело к одному из замечательных открытий XX века - открытию динамического хаоса [1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10, 11]. В работах [12, 13, 14, 15, 16, 3] была создана так называемая гиперболическая теория, то есть теория структурно устойчивых систем со сложным поведением фазовых траекторий. Выделяют класс консервативных систем (потоков и каскадов), для которых условия структурно устойчивой гиперболичности выполняются во всем фазовом пространстве. Это - так называемые У-системы Аносова [16, 17], примером которых могут служить автоморфизмы тора. В диссипативных системах условия грубой гиперболичности должны выполняться не во всем фазовом пространстве, а на базовых множествах (предельных множествах). Общие условия струкурной устойчивости систем с размерностью фазового пространства N > 3 были сформулированы в работах Смейла [12, 13]. Аттракторы систем, удовлетворяющих условиям Смейла, называют грубыми гиперболическими аттракторами. Они имеют следующую структуру [18]:
1. Грубые гиперболические аттракторы состоят из континуума ’’неустойчивых листов” или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся.
2. В окрестности любой точки они имеют геометрию произведения канторова множества на интервал.
3. Грубые гиперболические аттракторы имеют окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.
Все траектории гиперболического аттрактора должны принадлежать к одному седловому типу, то есть каждая траектория должна иметь
-6-
устойчивое и неустойчивое многообразия, и размерности этих многообразий должны быть одинаковы для всех траекторий. Для грубых гиперболических аттракторов всюду плотны как седловые периодические, так и грубые гомоклинические орбиты. Они удовлетворяют аксиоме А Смейла и являются структурно устойчивыми (грубыми). Устойчивые и неустойчивые многообразия грубого гиперболического аттрактора всюду трансверсальны.
Известны примеры искуственно сконструированных гиперболических аттракторов, такие как аттрактор Смейла-Вильямса [19], аттракторы Плыкина [20]. Однако в реальных динамических системах и их математических моделях структурно устойчивые (грубые) гиперболические аттракторы еще не были обнаружены.
Имеется ряд систем, обладающих аттракторами, но свойствам весьма близкими к гиперболическим. Такие аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях. С математической же точки зрения, для таких систем нарушается по крайней мере одно из трех условий гиперболичности [18]. Для них возможно локальное нарушение однородности в силу существования особых фазовых траекторий. Это могут быть седловые состояния равновесия, имеющие иную размерность многообразий, сеиаратрисные петли или негрубые гомоклинические траектории. Для того чтобы аттрактор оставался квазигипербо-лическим, такие траектории должны иметь нулевую меру на аттракторе и их рождение и исчезновение не должно приводить к рождению устойчивых траекторий и влиять на структуру хаотического гиперболического множества. Таким является аттрактор в системе Лоренца [21, 22, 23], и подобные ему аттракторы в других потоковых системах [24, 25, 26, 27, 28], аттракторы отображений плоскости, такие как
- 7-
аттрактор Лози [29] и аттрактор Белыха [30] и другие. Подобные аттракторы получили название почти гиперболических, квазигиперболи-чсских или исевдогиперболических [18, 31, 32].
Большинство хаотических аттракторов, наблюдаемых в различных динамических системах, не относятся ни к грубым гиперболическим, ни к почти гиперболическим аттракторам. Это, так называемые, квазиаттракторы или негиперболические аттракторы, которые являются наиболее типичными в исследованиях и иллюстрируют экспериментально наблюдаемый хаос во многих реальных системах [18, 31, 32, 33, 2, 5, 34, 35, 11, 36, 37, 38, 39]. Такие аттракторы включают в себя гомоклинические кривые, возникающие в результате касания гладких многообразий. Это могут быть сепаратрисные петли седлофокусов или гомоклинические кривые седловых циклов в момент касания их устойчивых и неустойчивых многообразий. В окрестности таких траекторий при некоторых довольно общих условиях порождается отображение типа подковы Смейла, содержащее помимо нетривиального гиперболического подмножества траекторий, счетное множество устойчивых периодических орбит [18, 40,41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. Аттрактор оказывается ’’продырявлен’" совокупностью бассейнов притяжения различных периодических движений. Бассейны притяжения устойчивых циклов очень узки и перемешаны в фазовом пространстве так, что выделить их в численном эксперименте оказывается не всегда возможным. На практике уже очень малый шум может привести к объединению бассейнов притяжения регулярных и нерегулярных режимов [48]. В силу этих причин все притягивающее множество траекторий, включающее совокупность как хаотических, так и устойчивых периодических траекторий, рассматривается как единое предельное притягивающее множество, называемое квазиаттрактором или негиперболическим ат-
-8-
тр актором.
Первый вопрос, который возникает при исследовании хаотической системы, - это вопрос о том, к какому типу аттракторов относится хаотический аттрактор данной системы. Диагностика негиперболичности или гиперболичности хаотического аттрактора может быть основана либо на исследовании поведения многообразий встроенных седловых циклов, либо на поведении многообразий, непосредственно самих хаотических траекторий. Алгоритм, основывающийся на исследовании поведения угла между многообразиями в различных точках хаотической траектории, был предложен в [49], где он использовался для исследования свойства гиперболичности хаотических седел двумерных отображений. Возникает вопрос о модификации алгоритма нахождения угла между устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотической траектории для случая потоковых систем и для систем с шумом. Необходимо также убедиться, что оба метода диагностики негиперболичности приводят к полностью совпадающим результатам.
Однородная грубая структура гиперболического хаоса определяет грубость всех его статистических и динамических характеристик по отношению к вариации параметров системы или введению слабого шума [50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Измеряемые в экспериментах или вычисляемые при компьютерном моделировании характеристики хаотического поведения систем с почти гиперболическими аттракторами также устойчивы к возмущениям [57]. Совсем иначе ведут себя системы с негиперболическим хаосом. Малые изменения управляющих параметров либо воздействие на систему шума могут приводить к существенным изменениям структуры хаотического аттрактора [58] и, следовательно, влиять на вид усредненных на аттракторе характеристик.
- 9-
Возпикает задача детального сравнения поведения различных характеристик хаотических колебаний для разного типа хаотических аттракторов. Важно также выяснить, как влияет шум па структуру аттрактора и его характеристики.
Большинство характеристик аттракторов (среднее значение динамических переменных, их дисперсии, корреляционные функции, средние на аттракторе ляпуновские показатели и прочие) являются статистическими (усредненными). Как правило применяется усреднение но времени. Для корректного ввода таких характеристик необходимо существование инвариантной вероятностной меры и свойство эргодичности системы [59, 60, 61, 62]. Для возникновения на аттракторе вероятностной меры кроме эргодичности необходимо, чтобы система обладала свойством перемешивания, когда малый элемент фазового пространства с течением времени распределяется по всему аттрактору. Вопрос о вероятностной мере и статическом подходе к описанию динамического хаоса решен для гиперболических систем 163, 64, 65, 59]. В работе [66 введено понятие стохастического аттрактора, в соответствии с которым, стохастический аттрактор - это инвариантное замкнутое множество А в фазовом пространстве со следующими свойствами:
1. существует окрестность [7, А С и, такая что если х £ [/, то (ИвЦх(£), Л) —* 0, при I —> ос, где </г‘б£(:г(2), А) означает расстояние между х(£) и А в метрическом пространстве
2. для любого начального распределения вероятности Р0 на Л его сдвиг при £ —> оо сходится к инвариантному распределению Р на Л, не зависящему от Ро
3. распределение вероятности Р является перемешивающим, то есть автокорреляционная функция стремится к 0 при £ —> оо.
- 10 -
Последнее условие исключает существование устойчивых орбит.
К стохастическим аттракторам относятся грубые гиперболические аттракторы и почти гиперболические аттракторы. Таким образом, для динамических систем с грубыми гиперболическими и квазигиперболи-ческими аттракторами существует инвариантная вероятностная мера, не зависящая от начального распределения. Существование такой вероятностной меры для гиперболических и квазигипсрболичсских систем было доказано теоретически [63, 66, 57]. Кроме того, было установлено, что действие на систему белого шума малой интенсивности проиводит к малым изменениям в структуре стационарного распределения. Однако негиперболические аттракторы не удовлетворяют условию (2). Таким образом, вопрос о статистическом описании негиперболического хаоса в системах без шумового воздействия остается открытым.
Введение источников нормального белого шума в любую динамическую систему приводит к тому, что для нее также существует инвариантная вероятностная мера, не зависящая от начальных условий [67], в том числе, и для негиперболических систем. Действие нормального белого шума на негиперболическую систему приводит к объединению бассейнов притяжения всех сосуществующих хаотических и рег}г-лярных режимов. В следствие этого стационарная вероятностная мера на негиперболическом аттракторе в присутствии нормального белого шума не зависит как от начальных условий, так и от времени. В общем случае, для негиперболического аттрактора в отсутствии шумового воздействия вероятностной меры, не зависящей от начальных условий, не существует. Если источник шума не является нормальным белым, то инвариантной меры, не зависящей от начальных условий, может не существовать. Таким образом, статистические свойства источника шума и его интенсивность могут оказывать существенное влияние на
- Київ+380960830922