Трехмерная акустическая томография при неполных данных

2
Содержание.
Стр.
1. Введение...................................................... 5
1.1. Актуальность темы и цели диссертационной работы............. 5
1.2. Современное состояние проблемы...............................10
2. Двумерная прямая и обратная задачи рассеяния томографического
типа...............................:............................. 20
2.1. Линеаризованная обратная задача рассеяния в монохроматическом режиме........................................................... 20
2.2. Решение модельной прямой задачи рассеяния................... 21
2.2.1. Прямая задача рассеяния для неоднородности по коэффициенту поглощения........................................................22
2.2.2. Прямая задача рассеяния для комбинированной неоднородности
по скорости и коэффициенту поглощения............................ 23
2.3. Решение обратной задачи рассеяния на основе модельных данных рассеяния........................................................ 25
2.3.1. Восстановление крупноразмерных модельных рассеивателей и оценка устойчивости схемы по отношению к случайным ошибкам в данных рассеяния............................................ 27
2.3.2. Восстановление малоразмерных рассеивателей и проверка устойчивости схемы к случайным ошибкам в данных рассеяния 29
2.3.3. Восстановление трехкомпонентного модельного рассеивателя по скорости, плотности и коэффициенту поглощения и оценка
устойчивости схемы к случайным ошибкам в данных рассеяния 31
2.4. Основные результаты главы 2................................. 32
3. Восстановление акустических параметров рассеяния в процессе трехмерного акустического томографирования........................ 43
3.1. Аппаратные функции восстановления трехмерного борцовского рассеивателя при неполных данных.................................. 45
3.1.1. Размещение излучателей в горизонтальной плоскости, прием рассеянных волн - в верхнем полупространстве...................... 49
3.1.2. Размещение приемно-излучающих элементов в верхнем полупространстве.................................................. 51
3.2. Разделение рассеивающих компонент в многочастотном или импульсном режимах................................................ 45
3.3. Численное моделирование алгоритма разделения рассеивающих компонент в многочастотном режиме................................. 58
3.3.1. Аппаратные функции томографического восстановления......... 66
3.3.2. Восстановление неоднородностей, точечных в плоскости (х, у) и протяженных по оси 07,............................................ 69
3.3.3. Трехмерные протяженные неоднородности гауссовской формы. 72
3.3.4. Выделение “плотностной” компоненты рассеивателя............ 76
3.3.5. Влияние отклонения частотной зависимости коэффициента поглощения от квадратичного закона................................ 80
3.3.6. Оценка погрешностей разделения с-, р- а- компонент при отклонении истинной частотной зависимости от предполагаемой 88
3.4. Выделение истинных оценок скорости и коэффициента
поглощения и определение неизвестной частотной зависимости 91
3.4.1. Оптимальный итерационный МНК-метод совместного оценивания истинных оценок скорости, коэффициента поглощения и показателя степени частотной зависимости.......................... 97
3.5. Основные результаты главы 3................................ 101
4. Схема трехмерного томографирования с наклонными приемно-излучающими элементами........................................... 127
4.1. Двумерный акустический томограф............................. 127
4.1.1. Исходная схема двумерного акустического томографа......... 127
4.1.2. Двухшаговый алгоритм восстановления....................... 130
4.2. Повышение разрешающей способности двумерного томографа в вертикальном направлении........................................ 131
4.2.1. Формирование данных рассеяния и синтез изображения........ 134
4.2.2. Различные схемы наклона приемно-излучающих элементов 143
4.2.3. Схемы с разделенными группами приемных и излучающих преобразователей................................................. 149
4.2.4. Вид аппаратной функции в z-сечении в зависимости от положения в горизонтальной плоскости............................. 156
4.3. Возможности создания полностью трехмерных томографов на основе рассмотренных в работе моделей............................ 158
4.4. Основные результаты главы 4................................ 159
5. Заключение.................................................... 173
5.1. Основные результаты и выводы............................... 173
Литература....................................................... 175
5
1. Введение.
1.1. Актуальность темы и цели диссертационной работы.
В современных теоретических и прикладных исследованиях в области акустики одно из ведущих мест занимает проблема решения обратных волновых задач. Она возникает в связи с необходимостью определения внутренней структуры различного рода объектов и представляет из себя многогранную задачу как математической, так и экспериментальной физики. Активно исследующиеся в настоящее время проблемы разработки медицинских акустических томографов, служащих задачам ранней диагностики рака и других заболеваний, задачи современной дефектоскопии делают актуальным решение обратных задач излучения [1-3], обратных задач рассеяния [4-6] и граничных обратных задач [7-10] в самых различных постановках. С физической точки зрения, обратные задачи рассеяния подразумевают восстановление характеристик рассеивателя (чаще всего, это фазовая скорость, плотность, коэффициент поглощения) на основе измерения рассеянного исследуемым объектом поля в некотором множестве экспериментов. С математической точки зрения, решение таких задач связано с восстановлением некоторых функциональных коэффициентов дифференциального оператора, характеризующего волновой процесс.
Использование ультразвука в области обратных задач предпочтительнее других видов зондирующего излучения благодаря его большой проникающей способности, относительной дешевизне оборудования и достаточно малому побочному вредному воздействию на здоровье.
6
Первые акустические томографы разрабатывались на основе лучевых представлений. В дальнейшем стали использоваться приближения Борна [3, 11-15, 108-109] и Рытова [15-17]. Теоретические представления, лежащие в основе построения этих систем, на сегодняшний день изучены достаточно полно. Однако ограничения, присутствующие в этих приближениях, существенно сужают область применимости таких приближенных теоретических подходов и основанных на них прикладных систем. В связи с этим, дальнейшее развитие теории обратных задач рассеяния и их практической реализации в конкретных прикладных разработках связано со строгим учетом процессов многократного рассеяния. Тогда задача становится уже как некорректной [18], так и нелинейной относительно неизвестных функций. К настоящему времени наибольшее развитие в акустических приложениях получили итерационные методы решения обратных задач рассеяния [19-23]. Однако, в последнее время уделяется достаточно большое внимание разработке функциональных подходов, применяемых для решения импульсных или монохроматических обратных задач [24-30]. Эти работы характеризует высокая математическая строгость и принципиальное использование методов современного функционального анализа и теории функций комплексных переменных. Тем не менее, до сих пор в них практически не ставился вопрос об устойчивости получаемого решения. Этот вопрос особенно важен из-за некорректности обратных задач, приводящей к заметному влиянию ошибок в данных рассеяния. Поэтому решение нуждается в вычислительной регуляризации 131,32], которая, в силу учета процессов многократного рассеяния, становится более сложной, чем это имеет место в линейных обратных задачах [31-34]. Практическое
7
применение систем томографического типа сталкивается, как правило, с невозможностью реализации системы, дающей полный объем данных рассеяния. Такие ограничения характерны как для медицинских задач (недоступность всех ракурсов облучения, экранировка легкими и т.д.), так и задач дефектоскопии. Отсутствие полного набора данных дополнительно усложняет задачу восстановления всех характеристик рассеивателя, увеличивая также чувствительность решения к ошибкам.
Таким образом, актуальной задачей на настоящем этапе является нахождение границ применимости различных схем реализации томографической системы, определяемых физическими характеристиками рассеивателя, заданной точностью решения и ограничениями на объем получаемых данных, а также обеспечение устойчивости решения к неизбежным ошибкам измерения. При этом требуют внимания все стороны процесса решения: разработка различных схем съема данных, привлечение необходимого математического аппарата, оценка величин возможных ошибок, оценка практической реализуемости алгоритмов средствами современной вычислительной техники и удобство их сопряжения с техническими возможностями конкретных томографических систем. В связи с этим, цель кандидатской диссертации состоит в исследовании возможности физической реализации рассматриваемых схем решения двумерной и трехмерной обратных задач рассеяния в борновском приближении и в анализе возникающих при этом принципиальных и технических сложностей, а также в рассмотрении возможности повышения разрешающей способности существующих в настоящее время двумерных томографических систем по третьей координате. При этом предложенный круг задач необходимо рассмотреть с учетом ограничений на доступный объем данных рассеяния.
Основные задачи работы заключались в следующем:
1. Сравнительный анализ и выбор наиболее перспективных для решения прикладных задач схем получения данных, а также двумерных и трехмерных алгоритмов восстановления акустических рассеивателей в монохроматическом и импульсном режимах.
2. Определение возможности применения многочастотных алгоритмов для многокомпонентной характеризации тканей и исследование ограничений на характеристики рассеивателей, а также определение точности этих методов.
3. Проверка полученных теоретических результатов путем восстановления характеристик простейших неоднородностей при помощи компьютерного моделирования и определение степени устойчивости алгоритмов по отношению к ошибкам измерения.
4. Проведение анализа возможных путей дальнейшего развития медицинских томографических систем.
Материалы диссертации докладывались на конференции "Acoustical Imaging - 23" (Boston, 1997), VI сессии Российского Акустического Общества (Москва, октябрь, 1997), конференции "Acoustical Imaging - 25" (Великобритания, г. Бристоль, март 2000), и семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ.
Основные результаты диссертации изложены в работах [97, 98, 110,
112].
Диссертация состоит из четырех глав и заключения, в конце диссертации приводится список цитируемой литературы.
9
В первой - вводной - главе обсуждается актуальность темы диссертационной работы, формулируется общая постановка задачи. Одновременно дана краткая характеристика научных работ, касающихся основных направлений развития медицинской акустической томографии.
Вторая глава диссертации посвящена решению двумерных прямых и обратных модельных задач рассеяния в борновском приближении (п.2.]). Приведено решение прямой задачи рассеяния для сложного составного рассеивателя, состоящего из скоростной и “поглотительной” неоднородностей (с- и а-компоненты) (п.2.2). Полученные модельные данные рассеяния используются для решения обратной задачи. Проводится оценка устойчивости алгоритма к случайным ошибкам в данных рассеяния (п.2.3). В конце главы приводятся результаты восстановления многокомпонентных рассеивателей.
В третьей главе анализируются преимущества и недостатки предложенной "полусферической" модели трехмерного акустического томографа применительно к маммографии. Вначале строятся аппаратные функции томографа, учитывающие неполноту данных рассеяния, которая возникает из-за специфики постановки задачи (п.3.1). Выясняется структура аппаратных функций. Анализируются характеристики нескольких возможных схем расположения приемно-излучающих элементов и делаются выводы о степени их практической пригодности (п.3.1.1-3.1.2). Затем, на основе наиболее перспективной схемы, проведено рассмотрение возможности раздельного восстановления трех основных медицинских томографических характеристик ткани (фазовой скорости, плотности и коэффициента поглощения) при использовании многочастотного или
10
импульсного режима зондирования (п.3.2). Проводится численное моделирование алгоритма разделения рассеивающих компонент в многочастотном режиме. Анализируются трудности, возникающие в процессе практической реализации данного алгоритма для восстановления трехмерных неоднородностей различного типа. Результаты компьютерного моделирования представлены графиками (п.3.3). Рассматривается влияние ошибок в данных рассеяния на точность восстановления. Отдельно анализируется влияние неточного знания степенного показателя частотной зависимости коэффициента поглощения на точность разделения рассеивающих компонент и предлагаются методы, позволяющие уменьшить возникающие из-за этого ошибки (п.3.3.5).
В четвертой главе рассматриваются возможности простого усовершенствования существующей модели двумерного акустического томографа и повышения его разрешающей способности по третьей координате за счет наклонов на малые углы в радиальном направлении прием но-излуча-ющих элементов. Вначале рассматривается исходная модель двумерного томографа и используемый в ней двухшаговый алгоритм восстановления неоднородности (п.4.1). Затем осуществляется переход к рассмотрению квазитрехмерной модели томографа, и анализируются различные варианты наклонов приемных и излучающих элементов. На основании результатов компьютерного моделирования выявляются наиболее перспективные для тех или иных целей томографические схемы (п.4.2). В заключение проводится анализ возможностей создания полностью трехмерных томографических систем с высокой разрешающей способностью на основе квазитрехмерных томографических схем с учетом
11
ориентации прибора на раннюю медицинскую диагностику рака и других заболеваний (п.4.3).
В заключении сформулированы основные результаты работы.
1.2. Современное состояние проблемы.
Современная ультразвуковая медицинская аппаратура является сегодня необходимым средством диагностики очень широкого спектра заболеваний и предназначена для проведения атравматичной, мягкой, относительно дешевой и быстродействующей экспертизы. За последние 20 лет в развитии технологии ультразвукового сканирования были сделаны значительные шаги. Однако, базовая технология формирования изображения осталась той же самой. В этих системах регистрируются амплитуды ультразвуковых волн, рассеянных на неоднородности из-за наличия контрастов в акустическом импедансе различных тканей. Изображение строится в приближении прямолинейного распространения акустических волн, средняя фазовая скорость в ткани предполагается постоянной и равной примерно 1540 м/с. Размеры неоднородностей определяются за счет алгоритмов, основанных на использовании углового сканирования и измерении времени задержки. За исключением методов Доплера для кровотока, информация о частоте не используется, а угол наблюдения рассеивателя ограничивается сектором углов, меньшим 180 градусов.
В начале 1980 годов анализировалась, в основном, возможность использования ультразвука для сканирования молочной железы [38-40]. Результаты этих исследований с использованием сканеров на импульсном
12
эхо-сигнале разочаровывали. Эти специализированные сканеры показали неплохие результаты в определении характеристик больших раковых образований, но не были способны надежно обнаруживать неоднородности меньшего размера. Дело в том, что возможности и надежность медицинской томографии молочной железы (маммографии) ограничиваются рядом практических трудностей: (а) качество
диагностики сильно зависит от оператора, (б) результаты не всегда легко воспроизводимы, (в) площадь детально исследуемой области очень мала, особенно при использовании датчиков с высоким разрешением, (г) часто отсутствует технология, позволяющая сравнивать подозрительные области изображения с нормальными тканями, и (д) затруднительно произвести количественное определение характеристик ткани. Развитие стационарных ультразвуковых сканеров для диагностирования молочной железы было приостановлено в пользу миниатюрных переносных УЗИ-систем, которые были развиты в приблизительно то же самое время [41,42].
Сегодня ультразвук является распространенным средством маммографического исследования во многих странах, но его роль в основном ограничена различением затвердений в среде и кистозных масс [43,44]. Дело в том, что ультразвуковые методы, будучи чувствительными к экранированию, считаются ненадежными при детектировании микрокальцинозов. Однако, недавние исследования показывают, что при помощи ультразвука можно в некоторых- случаях распознавать непрощупываемые массы патологической ткани, которые были пропущены при использовании других методов маммографических исследований. Некоторые исследователи полагают, что современная УЗИ-диагностика с высоким разрешением в сочетании с опытным диагностом
13
может предоставить большие диагностические возможности, чем стандартная рентгеновская маммография, при классификации осязаемых опухолей, хотя значительной разницы между этими двумя методиками не наблюдается [45,46]. В то же время, многоракурсная ультразвуковая томография может играть более широкую роль в диагностировании молочной железы и, тем самым, исключить ненужные биопсии [47,48].
Уже в течение многих лет во всем мире проводятся исследования с целью определения численных характеристик тканей молочной железы [49-54]. На их основе было показано, что диагностический прибор, являющийся чувствительным к небольшим изменениям скорости звука и поглощения в мягких тканях, может обладать большей диагностической способностью за счет точного определения характеристик новообразований. В частности, это подтверждается улучшенным контрастом томографического изображения по сравнению с рентгеновской маммографией и методом ультразвукового импульсного эхо-сканирования. Несмотря на то, что наблюдается значительная близость величин скоростей, характерных для нормальной и злокачественной ткани, значение коэффициента поглощения для здоровой ткани отлично от значения коэффициента поглощения для злокачественного образования [49,51,54,55]. Механические характеристики мягкой ткани, которые связаны с распределением сдвигового модуля упругости в молочной железе, теперь исследуются атравматичными средствами, что позволяет усовершенствовать детектирование и классификацию узелков, хотя пока разрешение остается низким [56,57].
Анализ научной литературы за последние 15 лет по ультразвуковой вычислительной томографии и, в частности, по дифракционной
14
томографии показывает, что большинство работ являются чисто теоретическими или представляют результаты компьютерного моделирования. Количество же публикаций но экспериментальным результатам весьма мало. Оно ограничивается несколькими статьями на тему о дифракционной томографии, но эти публикации сгруппированы среди самых ранних работ. Однако в последние годы активность в этом направлении резко возросла [58-76]. Можно предположить, что ранние усилия по практической реализации теоретических наработок натолкнулись на технические ограничения того времени, а с усовершенствованием аппаратуры интерес возродился вновь.
Одними из первых работ по использованию ультразвуковой компьютерной томографии (УКТ) для отображения молочной железы являются работы Гринлифа [58], Гловера и Шарпа [59], Карсона [60]. Ими использовались модели геометрической оптики с прямолинейным распространением лучей для восстановления распределения скорости звука и поглощения. Несмотря на ограниченность далекой от совершенства модели, результаты оказались многообещающими и показали возможность количественной характеризации скорости и поглощения в ткани [77]. Позднее в работе Шеневерта [64] описывается улучшенный алгоритм получения распределения скорости в ткани при использовании установки с одним единственным приемно-излучающим элементом, поворачивающимся вокруг объекта в секторе 90° с шагом 2°.
Следующим этапом развития томографии были работы Клемента [61], в которых авторами предложена схема кольцевой антенной решетки с 450 приемно-излучающими элементами. Исследования были не закончены. Так, в последней созданной антенне было всего 12 элементов.
15
Реконструкция изображения основывалась на модели прямолинейного распространения волн. В качестве результатов представлены картины распределения фазовой скорости и поглощения для объекта в виде маленького каучукового стержня, погруженного в ванну с водой.
Несколько групп исследователей [62—64] в 1980 году представили экспериментальные результаты на основе метода дифракционной томографии. Достигнутая разрешающая способность ограничилась несколькими длинами волн на частоте 3 МГц для образцов из желатина. Восстановленное отклонение скорости звука оказалось на несколько процентов выше заданного [63].
В течение декады с 1984 по 1994 годы множество авторов [65-73] представило различные варианты томографов на основе времяпролетных и рефракционных алгоритмов. Некоторые работы были посвящены оценке надежности методов неразрушающего контроля [65,71] и не были напрямую связаны с исследованием ткани. Группой Илайтало [66] были получены интересные изображения нитей нейлона толщиной 0.3 мм, образцов опухоли мозга и других мозговых тканей, т.к. они применили усовершенствованный алгоритм получения изображений через кости черепа. Г руппой Андерсена [67] были получены изображения созданного ими эквивалента ткани (3% максимального отличия характеристик неоднородностей среды от средних) с использованием 100 проектирований 100 лучами. Была показана возможность усовершенствования апгоритма обратного распространения луча с учетом кривизны луча. Изображения сердца вола и натуральной губки, представленные Йаго и Вайтингхеммом [68], были получены с
16
использованием облучения импульсами 3 МГц и приема рассеянных сигналов на линейной антенне, занимающей 110 угловых положений.
Группа Спонхейма взяла за основу при создании приборов методы дифракционной томографии [69.70]. Первоначально ими использовался плоский источник, состоящий из 8 пьезоэлементов, излучающий на частоте 4 МГц, и линейная сканирующая приемная решетка [69]. Изображения были восстановлены с использованием 27 направлений облучения и 512- положений гидрофонов в предположении борновского и рытовского приближений. На второй стадии ими использовались одиночный излучатель и приемник, переметающийся по дуге с регистрацией данных для каждого положения излучателя [70]. При тестировании использовалась частота 3.6 МГц; размеры объекта составляли 10 длин воли. Ладас и Деваней [72] впоследствии анализировали некоторые из этих данных, используя алгебраический метод реконструкции изображения. Однако представленные изображения имеют достаточно низкое разрешение, особенно в области появления видимых артефактов.
В статье [73] Йамада и Курахаши сравнивают относительные преимущества различных методов, основанных на борновском и рытовском приближениях, применительно к слабым и сильным рассеивателям. Их данные были получены на частоте 800 кГц при помощи линейной антенной решетки, расположенной с противоположной от излучателя стороны объекта. Полученные изображения с размерностью 128x128 точек, имели приемлемое качество восстановления объектов и отличались малым числом артефактов.