ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................4
ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОСЦИЛЛЯТОРНЫМ ФУНКЦИЯМ......................10
1. Постановка задачи......................................10
2. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в области осцилляций. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения..............................12
3. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в классически недоступной области. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения...............27
4. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в левой окрестпости точки поворота. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения...........38
5. Общее асимптотическое выражение лая коэффициентов
разложения по осцилляторным функциям. Примеры.............45
Приложение 1-1. Нахождение величии С} ДО).................51
Приложение 1-2. Нахождение величин Ао^(0).................54
Приложение 1-3. Вычисление кратных интегралов от функций
Эйри .....................................................55
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМЕ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ФУНКЦИЙ..........................59
1. Связь сходимости разложения с асимптотическим поведением коэффициентов разложения вспомогательной функции..........59
2. Асимптотика коэффициентов разложения вспомогательной функции ..................................................61
3. Поточечная сходимость рядов Фурье по осцилляторным функциям. Примеры.........................................75
2
4. Об одном достаточном условии расходимости при почленном дифференцировании рядов Фурье по осцилляторным функциям ....79 Приложение II-1. Техника вычисления осцилляторных функций ...82 ГЛАВА III. ОСЦИЛЛЯТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНО- И МНОГОЧАСТИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ МЕТОДА РЕЗОНИРУЮЩИХ ГРУПП...........................85
1. Одночаетичиая задача в оецилляторном представлении. Схематическое рассмотрение........................................85
2. Многочастичная многоканальная задача. Алгебраическая версия метода резонирующих групп...........................89
3. Исследование реакции 6Li(n, t)4He.......................94
Приложение III-1. Производящая функция для собственных
функций трёхмерного гармонического осциллятора............13G
Приложение II1-2. Некоторые вопросы вычисления матричных элементов на антисимметризованных производящих функциях ....138 Приложение II1-3. Доказательство одного тождества для свёртки по магнитным квантовым числам произведения двух
сферических функций с З-j символом........................141
Приложение II1-4. Производящие матричные элементы,
необходимые для расчёта сечений реакции eLi(n,t)4He.......143
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................151
ЛИТЕРАТУРА................................................153
3
ВВЕДЕНИЕ
Система собственных функций гармонического осциллятора занимает особое место и имеет многочисленные приложения в современной физике [1]-[5]. Особая роль собственных функций гармонического осциллятора обусловлена рядом их важных свойств, среди которых выделим следующие: собственные функции многочастично-го осциллятора допускают отделение движения общего центра масс; интегралы перекрытия многочастичных функций могут быть вычислены аналитически. Отметим также, что развиты регулярные методы построения и классификации многочастичных оецштляторных функций, а также достаточно хорошо изучены их трансформационные свойства при переходе от одного набора координат Якоби к другому (см. [1]-[6]). Это свойство особенно важно при построении антисимметричных функций кластерных канатов, поскольку операции перестановки номеров координат нуклонов, необходимые для этого, сводятся к преобразованиям координат Якоби.
Коротко рассмотрим некоторые из новых приложений собственных функций гармонического осциллятора. В работах [7], [8] был предложен новый метод изучения резонансных состояний. Этот метод основан на исследовании функции спектральной плотности. Для построения функции спектральной плотности требуется решение задачи на собственные функции и собственные значения гамильтониана рассматриваемой квантомеханической системы. В подходе, предложенном в работах [7]. [8], используется некоторая ортогональная система функций {^,}^,. При этом задача на собственные функции и собственные значения гамильтониана редуцируется к задаче диа-
А
гонализации матрицы гамильтониана #,у = {<р^Н\<ру), < N на
укороченном наборе функций {^},-<лг при достаточно большом N. Характерными чертами таких расчётов являются простота вычислительной схемы (имеющей много общего с вычислительными схема-
4
ми задач на связанные состояния) и её высокая эффективность, что было продемонстрировано в [8] численными расчётами. Применение системы осцилляторных функций в таком подходе представляется весьма перспективным во многих, в том числе и мпоготельных задачах прежде всего вследствие тех особых свойств осцилляторных функций, которые были перечислены выше. Однако, следует отметить отсутствие строгих обоснований рассматриваемого подхода. Центральной гипотезой является предположение, что оператор Ру = ЫЫ стремится к единичному при N —* оо (при этом не уточняется п каком смысле понимается это стремление к единичному оператору). Эта гипотеза является не чем иным, как гипотезой о сходимости разложения в ряд Фурье по системе функций {^іШі (причём сходимости к разлагаемой в ряд функции). Сходимость разложений квадратично-интегрируемых функций по многим ортогональным системам хорошо изучена и сформулированы многочисленные и при том весьма общие теоремы о сходимости (см., например. [9], [Ю]). Ситуация существенно меняется в случае если раскладываемая в ряд функция не является квадратично-интегрируемой. Для таких функций сходимость разложений по базису пространства квадратично-интегрирунмых функций (включая осцилляторный базис) не доказана. Таким образом, доказательство сходимости разложений является первым шагом в обосновании предложенного в [7], [8] весьма перспективного метода, а также других подходов, о которых ниже будет идти речь. Ещё одним перспективным направлением, основанным на использовании осцилляторных функций является метод дискретизации непрерывного спектра [11]. Этот метод основан на построении различных операторов (например, Гриновскнх операторов) с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы гамильтониана на усечённом, но тем не менее достаточно широком наборе осцилляторных функций. Такой подход открывает
большие возможности в решении многих задач ядерной физики, задачи трёх и более тел. Например, вычисление интегралов перекрытия различных волновых функций в многотельной задаче связало с выполнением весьма сложных численных расчётов, в то время как интегралы перекрытия осцилляторных волновых функций вычисляются аналитически.
Рассмотрим еще один метод, основанный на непосредственном использовании разложений по системе собственных функций гармонического осциллятора для решения уравнения Шредингера. Речь пойдёт об алгебраической версии метода резонирующих групп [12], [13]. Использовать разложение по системе осцилляторных функций для решения задач непрерывного спектра впервые было предложено в [14]. Независимо от [14] такая возможность была высказана в работе [15], а затем и более детально рассмотрена в работах [16], [17]. Неизвестная волновая функция ищется в виде разложения по осцилля-торноыу базису, а неизвестные коэффициенты разложения находятся из проектированных уравнений Шредингера. Такой подход оказался весьма продуктивным в ядерной физике, в задаче рассеяния и реакций с участием составных частиц. Напомним, что наиболее последовательным микроскопическим подходом в задаче рассеяния и реакций с участием составных частиц является метод резонирующих групп [18], [19]. В традиционной формулировке метода резонирующих групп волновая функция относительного движения находится из решения системы зацепляющихся интегродифференциальных уравнений [18], [19]. Решение этой системы уравнений представляет собой весьма сложную вычислительную задачу (см. например, монографию [19] и цитированную в ней литературу). Предложенная Г.Ф.Филнпповым и сотрудниками алгебраическая версия метода резонирующих групп основана на разложении функции относительного движения ядер (кластеров) по системе собственных функций
6
гармонического осциллятора. Алгебраическая версия метода резонирующих групп, будучи математически эквивалентна методу резонирующих групп в его традиционной формулировке, кардинальным образом меняет всю вычислительную схему. Следует особо отметить простоту вычислительной схемы, в отличие от классического метода резонирующих групп. Кроме того, алгоритм вычислений в алгебраической версии метода резонирующих групп включает в себя действия (например, нахождение собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы, построение обратной матрицы), для которых разработаны надёжные численные методы. Высокая эффективность алгебраической версии метода резонирующих групп была продемонстрирована расчётами параметров конкретных ядер-пых систем [20]-[26]. В то же время рассматриваемый подход содержит в своей основе ряд положений требующих доказательства. Как уже отмечалось выше, сходимость разложений не только не была исследована детально, но и вообще не доказана для волновых функций непрерывного спектра. Ещё одним вопросом, требующим детального исследования, является вопрос об асимптотическом виде коэффициентов разложения по осцилляторному базису. Важность этого вопроса связана с тем, что асимптотики коэффициентов разложения волновой функции в алгебраической версии метода резонирующих групп шрают ту же роль, что и асимптотики волновой фупкции в координатном представлении. Эти вопросы были поставлены и решены в достаточно общем виде в работах [27]-(29), входящих в настоящую диссертацию. Обратим внимание на один подход [30], [31], сходный с тем, который реализован в алгебраической версии метода резонирующих групп, но предназначенный для исследования 5—матрицы в комплексной плоскости энергии. Этот подход позволяет находить полюса 5-матрицы, кроме того, развит приближённый метод, приводящий к аналитическому результату.
Среди дальнейших направлений развития методов, основанных на разложении искомой функции по оецплляторному базису, отметим следующие. Обобщения на трёхтельные задачи рассмотрены в работах [32]-[35]. Приближение истинно многочастичного рассеяния (учитывающее только такие состояния, когда ни одна группа частиц не выделяется в смысле образования связанных состояний) изложено в работе (36]. Рассмотрение проведено с использованием гипер-сферического осцилляторного представления. Кроме того, подробно рассмотрены многие аналитические свойства. Взаимосвязь II- (Р-) матричного подхода и осцилляторного представления исследована п работе [37]. В работе [38] предложена переформулировка подхода, реализуемого в алгебраической версии метода резонирующих групп. При этом коэффициенты разложения представляются в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является асимптотикой коэффициента разложения, а второе представляет собой отклонение от асимптотики. В результате неизвестными величинами выступают вместо коэффициентов разложения их отклонения от асимптотических значений. Это позволяет повысить эффективность вычислений. Такой подход можно рассматривать как реализацию в осциллятор-ном представлении одной из идей, предложенных в [39], [40] и заключающейся в разбиении волновой функции непрерывного спектра на два слагаемых. При этом одно из этих слагаемых представляет волновую функцию и области взаимодействия, а другое во внешней, асимптотической области, где ядерным взаимодействием можно пренебречь. Отметим также, что в некоторых задачах [41] более удобно непосредственное использование волновой функции в осциллятор-пом представлении. На этом мы заканчиваем обзор методов и задач в которых находит применение осцилляторнос представление.
Целью диссертации является развитие методов исследования непрерывного спектра одно- и многочастичного уравнения Шредин-
8
гера, основанных на разложении по осцилляториому базису, доказательство сходимости и исследование остаточного члена разложений по системе осцилляторных функций, нахождение асимптотического вида коэффициентов разложения и развитие методов расчёта матричных элементов на многочастичном осцилляторном базисе в алгебраической версии модели резонирующих групи и других микроскопических подходах в физике кластеров, демонстрация работоспособности методов па важных физических примерах. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложений, размещённых после соответствующих глав. Во введении обсуждается актуальность проблем, решаемых в диссертации, приводится обзор методов, использующих разложения но осцилляториому базису. Решение в весьма общем виде поставленных выше вопросов об асимптотическом виде коэффициентов разложения и сходимости разложений составляет содержание первых двух глав. Полученные общие результаты проиллюстрированы простейшими примерами, кроме тот, во второй главе рассмотрены некоторые условия (важные с точки зрения применения к решению физических задач) при которых почленное дифференцирование ряда Фурье по осцилляторным функциям приводит к расходимости. В третьей главе рассмотрены вопросы решения уравнения Шредингера с использованием оспил-ляторного представления, а также исследована в рамках алгебраической версии метода резонирующих групп реакция ®1Л(п, ^4Не. Эта реакция представляет не только теоретический интерес, но и имеет важные практические применения, например, как способ получения трития [42]. Кроме того, исследование семинуклонпой системы ' ІЛ в кластерном представлении I +4 Не представляет большой теоретический интерес с точки зрения возможности наблюдения эффектов несохранения чётности [41]. В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
9
ГЛАВА І
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ГІО ОСЦИЛЛЯТОРНЫМ ФУНКЦИЯМ
1. Постановка задачи.
Как отмечалось во введении, в работах [ 12]-[ 16] было предложено использовать систему собственных функций гармонического осциллятора для решения задач непрерывного спектра. При этом волновая функция как для связанных состояний, так и в континууме ищется в виде ряда Фурье по собственным функциям гармонического осциллятора. Неизвестными в гаком подходе являются коэффициенты разложения. Таким образом, задача нахождения волновой функции редуцируется к нахождению набора коэффициентов разложения. Принципиально важным в рамках такого подхода является асимптотическое выражение для коэффициентов разложения волновой функции в пределе большого числа осцилляторных квантов п. Это выражение используется для формулировки граничных условий задачи рассеяния в осцилляторном представлении.
В работах [13], [15] для нахождения асимптотик коэффициентов разложения волновой функции непрерывного спектра использовались качественные соображения, основанные на квазиклассическом приближении. Однако в окрестности точки поворота квазиклассиче-ское приближение не применимо, в то время как вклад этой окрестности является основным. Кроме того, в работе [13] сделана попытка нахождения асимптотических выражений для коэффициентов разложения с использованием некоторых гипотез о поведении элементов матрицы гамильтониана (которые, как показано в работе [43], недостаточно корректны). В работе [13] на основе этих гипотез для коэффициентов разложения в пределе большого числа ос-
10
цилляторных квантов, формулируется дифференциальное уравнение второго порядка. Однако при этом остаётся открытым вопрос о выборе линейной комбинации решений, отвечающей сходящейся и расходящейся волнам в координатном представлении. Остаётся также открытым вопрос о вкладе в коэффициент разложения области конечных значений радиальной переменной, т.е. области, в которой вид волновой функции существенным образом определяется взаимодействием. Действительно, если этот вклад при любом сколь угодно большом г? сравним с самим коэффициентом разложения, то это означает невозможность формулировки граничного условия. Ответ на эти и другие вопросы даёт найденное в этой главе при достаточно общих предположениях асимптотическое выражение для коэффициентов разложения.
Нахождение коэффициентов разложения некоторой функции /(г) сводится к вычислению интеграла
ОО
С(п) = I /(г)Х(г)* , (1.1)
О
где
х(г) = го+1/2с-г,/2|;(о.)(г2) 2)
радиальные волновые функции, являющиеся ограниченными решениями обезр&змеренного радиального уравнения Шредингера для осциллятора:
х" + (л2 - г2 + X — 0 , (1.3)
где
к2 = 471 +2а+ 2, а = /+ ^ (1.4)
п—радиальное квантовое число; /-орбитальный момент; полином Лагерра [44]-[47]. В дальнейших вычислениях не требуется це-лочислениость /. Вычислить интеграл (1.1) аналитически удаётся
11
лишь в нескольких частных случаях. Два таких примера будут рассмотрены в качестве иллюстрации общего асимптотического выражения.
Разобьём промежуток интегрирования на три множества [О,ДО], [ДО, к], [к\+оо), где 0 < (і < 1. Интеграл по каждому из них вычислим с использованием соответствующего асимптотического приближения для функции (1.2). Построение асимптотического приближения будет базироваться на методе Лиувилля-Стсклова [46], [47]. Полученные асимптотические приближения имеют общие черты с результатами работы [48]. Асимптотические приближения в работе [48] также получены с помощью метода Лиувилля-Стеклова, однако с использованием других дифференциальных уравнений. Результаты работы [48] оказываются малопригодны для наших целей, особенно для оценки вкладов в интеграл от остаточною члена в асимптотическом приближении.
2. Асимптотическое приближение для осцилляториых функций в области осцилляций. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения.
2.1. Построение асимптотического приближения на отрезке
Рассмотрим сначала случай о > 0. Для построения асимптотического приближения в случае г е [0,ДО], при малых г пренебрежём в (1.3) слагаемым г2. Решения такою упрощённого уравнения выражаются через функции Бесселя ,7а и Уа [44]. [45]:
Точное решение уравнения (1.3) приближается соответствующей линейной комбинацией функций (1.5), (1.6). Точность такою приблн-
[0, ДО].
Фі (г) - ч/гМкг) , Ф2(г) = у/гУа(кг) .
(1.5)
(1.6)
12
жеиия определяется с помощью метода Лиувилля-Огеклова [46], [47]. В области достаточно удалённой от точек поворота приближение Лиувнлля Грина является весьма эффективным [49]. В этой области, которая достаточно удалена от точки г = 0 можно пренебречь в (1.3) слагаемым пропорциональным 1/г2 и, применяя формулы приближения Лиувилля-Грнна, получим приближённые решения уравнения (1.3):
®*(Г) = (^2 _ .,.2)1/4 “ПК(Г))» (1*7)
Фз(Г) = (к2
где
г
£(г) = J{к2 - х2У/2(1х. (1.9)
о
Рассмотрим функции
= -(іГ-гГуї^Оі1 - ІТах)- (1Л0>
О
Их асимптотическое поведение в соответствующих областях описывается функциями (1.5), (1.6), либо линейной комбинацией функций (1.7), (1.8). Это позволяет предположить, что функции (1.10) являются обобщением приближений (1.5), (1.6) и (1.7), (1.8). Дія оценки остаточного члена применим метод Лиувилля-Огеклова. Дважды дифференцируя функции (1.10) и принимая во внимание уравнение для функций Бесселя, нетрудно убедиться, что функции Г\)2 удовлетворяют уравнению
Г(т) + (*2 - г2 - 2-^/1 - <?(г))т(г) = 0. (1.11)
где
^ = 2(*2 - Г2) + 4(А*2 - г2)2 + О** “ 4)^’ <1,12)
13
Перепишем уравнение (1.3) в соответствии с уравнением (1.11) в следующем виде
х» + (*2 - Г2 - 21^/1 _ Q(r))x(r) = -0(r)x(r). (1.14)
Будем искать решение уравнения (1.14) в виде
Х(г) = CÎ(r)F,(r) + CS(r)F2(r) (1.15)
с дополнительным условием
с!'(г№(г)+с5'(г)1ЗД = 0. (1.16)
Подставляя (1.15) в (1.14), с учётом (1.16) находятся С[ ./(г).
C!'(r)(F,(r)F2(r) - F(r)F(r)) = Q(r)F2(r)X(r), (1.17)
ClV)(F(r)F(r) - FMF(r)) = -Q(r)F(r)x(r). (1.18)
Выражение, стоящее в скобках в левых частях соотношений (1.17) и (1.18), есть Вронскиан функций Fl>2(r):
H'(F,F) = F(r)J=?(r) - FfWFîW- (119)
Используя явные выражения (1.9) и (1.4), (1.5) получим
W(F, Fi) = i ИЧФ,, Ф2), (1.20)
ЩФь-F) = krW(JmYa) = -. (1.21)
ТУ
Подставим (1.21) в (1.20), а затем (1.20) в (1.17) и (1.18) и проинтегрируем получающиеся выражения для С{ -/(г) в пределах от Л до г,
- Київ+380960830922