Развитие теории термодинамических и кинетических свойств неидеальной химически реагирующей плазмы на основе асимптотических и групповых разложений и метода кинетического уравнения

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение........................................................5
Глава I. Обзор литературы......................................22
§1.1. Термодинамические свойства классических кулоновских систем и
классической полностью ионизованной плазмы...........................22
§ 1.2. Квантовые эффекты в термодинамике кулоновских систем и полностью ионизованной плазмы...........................................31
§ 1.3. Взаимодействие с нейтральными частицами и термодинамические свойства неидеальной плазмы.....................................33
§ 1.4. Исследования термодинамических свойств неидеальной атомарно-молекулярной плазмы...............................................38
§ 1.5. Метод кинетического уравнения в теории плотных газов и неидеальной плазмы....................................................... 43
§ 1.6. Метод временных корреляционных функций в кинетической теории неидеальной плазмы...............................................49
§ 1.7. Кинетические коэффициенты полностью ионизованной плазмы...................................................................51
§ 1.8. Кинетические коэффициенты частично ионизованной плазмы..58
§ 1.9. Постановка задач...........................ч............63
Часть I. Термодинамические свойства неидеальной химически реагирующей плазмы сложного состава.......................................66
Глава II. Некоторые способы разделения связанных и свободных состояний в кулоновской подсистеме. Вывод химической модели неидеальной
атомарной плазмы из точных асимптотических разложений................66
§ 2.1. Модель элекгрон-ионных квазичастиц......................66
§ 2.2. Корреляционные поправки к термодинамическим функциям
плазмы с учетом ионного кора.........................................76
§ 2.3 Некоторые замечания о соотношении физической и химической
моделей плазмы.......................................................80
§ 2.4. Кольцевое дебаевское приближение в большом каноническом ансамбле (БД-теория)................................................. 82
§ 2.5. Вывод химической модели из разложения в большом каноническом ансамбле при наличии высоковозбужденных состояний атомов 85
§ 2.6. Бесконечно-компонентная модель атомарной плазмы.........89
§ 2.7. Предельные случаи. Некоторые примеры расчета............94
Выводы но главе II............................................104
Глава III. Некулоновские взаимодействия в многокомпонентной плазме
и их вклад в термодинамику..........................................105
§ 3.1. Вводные замечания......................................105
§ 3.2. Приближение Ван-дер-Ваальса для многокомпонентной системы
с развитой ионизацией...............................................106
§ 3.3. Вириальное и групповое разложение по математическим группам.................................................................110
3
§ 3.4. Вириальное и групповое разложение по физическим группам.
Псевдопотенциал Хилла................................................113
§ 3.5. Обоснование разложения по физическим группам для химически реагирующих сред с парноаддитивным потенциалом межчастичного взаимодействия...............................................................121
Выводы по главе III..............................................130
Глава IV. Термодинамические свойства неидеальной многокомпонентной химически активной плазмы произвольного состава..................132 •
§ 4.1. Термодинамические функции и уравнение состояния.........132
§ 4.2. Система уравнений ионизационного и химического равновесия....................................................................137
§ 4.3. Краткое описание пакета программ расчета термодинамических
величин химически активной плазмы......................................139
§ 4.4. Основные результаты расчета термодинамических величин химически активной плазмы...............................................:141
§ 4.5. Экстраполяционные свойства обобщенной термодинамической модели. Диссоциативный фазовый переход в многокомпонентной плазме.....................................................................164
Выводы по главе IV.............................................169
Часть II. Кинетические коэффициенты неидеальной плазмы...........170
Глава V. Развитие отдельных аспектов метода кинетического уравнения....................................................................170
§ 5.1. Рассеяние заряженных частиц на короткодействующем кулонов-
ском потенциале /......................................................173
§ 5.2. Транспортные сечения рассеяния заряженных частиц в плазме.....................................................................175
§ 5.3. Кинетическое уравнение Больцмана..........................179
§ 5.4. Метод Ченмена-Энскога...................................182
§ 5.5. Расчет интегралов столкновений легких и тяжелых частиц....183
§ 5.6. Расчет интегралов столкновений для частиц одинаковой массы.
Применение методов компьютерной алгебры к расчету' скобочных интегралов....................................................................187
§ 5.7. Расчет интегралов столкновений при произвольном отношении
масс сталкивающихся частиц...........................................193
Выводы по главе V................................................196
Глава VI. Кинетические коэффициенты неидеальной плазмы 197
§ 6.1. Расчет электронных кинетических коэффициентов неидеальной полностью ионизованной плазмы без магнитного поля по функции распределения электронов...................................................... 197
§ 6.2. Численный расчет электропроводности полностью ионизованной
плазмы...............................................................199
§ 6.3. Решение кинетического уравнения Больцмана для полностью ионизованной плазмы во внешнем магнитном поле............................206
4
§ 6.4. Аналитический расчет компонент тензора проводимости полностью ионизованной магнитоактивной плазмы............................209
§ 6.5. Численный расчет зависимостей компонент тензора проводимости от параметра неидеальности и степени замагниченности плазмы. Ап-
проксимаиионные формулы.............................................210
§ 6.6. Особенности расчета кинетических коэффициентов частично ионизованной плазмы...................................................220
§ 6.7. Проводимость частично ионизованной плазмы инертных газов.................................................................224
Выводы по главе VI............................................237
Глава VII. Динамический структурный фактор и диагностика полностью ионизованной плазмы............................................239
§ 7.1. Флуктуапионно-диссипационная теорема. Расчет поляризационных операторов......................................................240
§ 7.2. Динамический структурный фактор двухкомпонентной плазмы в
приближении локального поля.........................................242
§ 7.3. Численный расчет динамического структурного фактора. Сравнение с экспериментом...............................................246
Выводы по главе VII...........................................249
'Заключение и выводы..........................................250
Литература.................................................. 256
5
В В Е Д Е Н И Е
Актуальность темы. К числу важных достижений интенсивно развивающейся в последние десятилетия физики импульсных воздействий на газообразные и конденсированные среды [1.2] можно отнести получение так называемых экстремальных состояний вещества. Вещество в таких состояниях представляет собой, как правило, частично ионизованную плазму, характерной особенностью которой является сильное взаимодействие между частицами различных сортов, как заряженными, так и нейтральными. Сильно неидеальную плазму получают в различных экспериментальных и технологических устройствах: при соударении с жесткой преградой металлических лайнеров, разгоняемых до высоких скорое 1 ей (~103 м/с) взрывом ВВ в ударных трубах [3,4]; в МГД-генераторах [5]; при мощном электрическом разряде в жидкости [6]; при электрическом взрыве проводников [7,8]; при оптических и СВЧ- разрядах в газе [9] и т.д.
Достигнутые в различных экспериментальных устройствах условия существования неидеальной плазмы охватывают широкие области диаграммы состояний различных веществ. При этом до настоящего времени остается актуальной проблема надежного и строгого теоретического описания разнообразных физических свойств неидеальной плазмы, возникающей в перечисленных устройствах. К числу важнейших физических характеристик неиде-алыгой плазмы относятся ее равновесные и кинетические свойства [3,4].
Вопросы термодинамики и кинетики сильно взаимодействующей плазмы в насюящее время интенсивно исследуются. Их изучению-Посвящено большое число оригинальных работ, обзорных статей [10-15] и монографий [3,4,16-23]. рассматривающих различные общие и специальные вопросы термодинамики и кинетики неидеалыюй плазмы. Накоплен значительный экспериментальный и теоретический материал, позволяющий предсказывать физические свойства вещества в достаточно широкой области изменения внешних параметров и температуры Г.
Термодинамические и транспортные свойства плазмы существенно зависят от характера и интенсивности взаимодействия частиц в ней. В плазме, как в системе, содержащей заряженные частицы, наиболее интенсивным является дальнодсйствующес кулоновское взаимодействие. Оно дает основной вклад в термодинамические величины и транспортные сечения рассеяния частиц, определяющие в конечном итоге и кинетические коэффициенты плазмы. Однако, в плотной частично ионизованной плазме, когда полная концентрация частиц п близка к концентрации частиц в конденсированной среде, заметную роль могут играть и другие виды взаимодействий, в том числе и с участием нейтральных частиц. Их учет приводит к появлению связанных с ними вкладов в термодинамические фушкции и кинетические коэффициенты неидеалыюй плазмы.
. Наибольшее развитие получили следующие подходы к исследованию.
термодинамических функций плазмы: метод химической термодинамики
6
(трех- и многокомпонентная химическая модель) [3,4,24], метод статистической механики (большой канонический ансамбль) [16,20-22]. На основе применения метода химической термодинамики удается получить в общем виде основные соотношения между макроскопическими параметрами, не вдаваясь в детали внутреннего строения вещества, т.е. феноменологически. Для выполнения конкретных расчетов в этом случае обычно требуется привлечение дополнительных сведений о потенциалах межчастичного взаимодействия и структуре входящих в плазму составных частиц: энергетический спектр, потенциал ионизации атомов, энергия диссоциации молекул, характерные величины потенциальных кривых для атомных и молекулярных частиц различных веществ, параметры колебательных и вращательных степеней свободы молекул и молекулярных ионов и т.д. Метод химической термодинамики обладает значительной простотой и наглядностью, позволяет представить термодинамические величины плазмы в виде суммы аддитивных вкладов различных ее компонент и взаимодействия между ними и дать простуло физическую интерпретацию различных членов в выражениях для термодинамических функций и уравнениях ионизационного и химического равновесия.
Метод физической статистики в каноническом и макроканон и ческом ансамбле позволяет получить все термодинамические функции плазмы, исходя из знания исхрдных потенциалов межчастичного взаимодействия. Этот метод обладает большей строгостью, поскольку исходит из первых принципов статистической механики. Решение задач с его помощью, как правило, может быть получено лишь в том случае, если удается решить задачу о спектре составных частиц. Если последнюю удается решить в том или ином приближении. или получить данные о внутреннем строении и энергетическом спектре составных частиц экспериментальным путем, то для описания свойств системы многих частиц используются как методы статистической теории плотных газов: вириальное [25] и групповое [26] разложение, метод корреляционных функций (цепочка уравнений ББГКИ) [27]; так и методы теории жидкостей: метод интегральных уравнений, метод сверхлереплетаю-шихся цепей (уравнение Орнштейна-Цернике, гииерцепное уравнение) [19].
Широкое распространение в настоящее время получили также численные методы расчета термодинамических функций и состава неидеальной плазмы: метод Монте-Карло [17] и метод молекулярной динамики [18]. Основным преимуществом численных методов является формальное отсутствие ограничений по параметру взаимодействия. Расчет термодинамических функций плазмы на основе численных методов также требует привлечения дополнительных сведений об энергетическом спектре составных частиц плазмы (атомов, ионов и т.д.). Само понятие составных частиц в рамках методов Монте-Карло и молекулярной динамики вводится на основе разбиения энергетического спектра на несколько частей, представляющих собой связанные и свободные состояния. Это разбиение непосредственно не содержится в структуре указанных методов и является в значительной мере условным. Данный факт затрудняет применение численных методов к термодинамиче-
7
ским расчетам частично ионизованной атомарной и атомарно-молекулярной плазмы. В особенности это относится к учету различных квантовых эффектов во взаимодействии заряженных частиц. Так как классический формализм методов Монте-Карло и молекулярной динамики не приводит, например, к образованию связанных состояний. Вместе с тем расчет термодинамических величин классической полностью ионизованной плазмы с применением этих методов является достаточно эффективным.
Экспериментальные исследования термодинамических свойств неидеальной низкотемпературной плазмы в настоящее время также успешно развиваются. Результаты экспериментов покрывают широкую область диаграммы состояний плазмы различных химических веществ и их смесей. Измерения проводились в основном для инертных газов [28-30], щелочных металлов [31-34], алюминия [35-37], меди [10] и некоторых других металлов. Генерация плазмы в экспериментах проводилась путем ударно-волнового сжатия исследуемого вещества в ударных трубах [10-13,38]. Генерация ударных волн осуществлялась с помощью металлического ударника, разгоняемого до больших (10‘ м с) скоростей путем взрыва высокоэнергетических ВВ [39].
К настоящему времени применение указанных методов построения уравнений состояния привело к разработке нескольких принципиально различных типов термодинамических моделей неидеальной плазмы [3,4]. Наиболее распространенными из них являются однокомпонентная модель, псев-допотенциальные модели и химическая модель [3,4,10,11].
При исследовании процессов переноса в плазме наиболее эффективными методами решения кинетических задач являются: метод кинетического уравнения [23.40-42] и метод временных корреляционных функций [41,43]. Применение метода кинетического уравнения позволяет последовательно рассчитать вклад в коэффициенты переноса от двухчастичных взаимодействий, в частности дает возможность корректно учесть вклад электрон-электронных столкновений в кинетические коэффициенты. Применение метода кинетического уравнения, как правило, существенно упрощается при решении стационарных задач, когда функция распределения электронов не зависит явно от времени [44]. В методе корреляционных функций удобно учитывать интерференционные, коллективные эффекты и т.д. Последний чаще всего применяется при решении нестационарных задач с использованием техники Фурье-преобразования по координатам и времени, что упрощает расчет электронных функций Грина [45,46].
Расчет кинетических коэффициентов и, в частности, электропроводности к настоящему времени остается одной из наиболее актуальных задач физической кинетики плазмы [47]. Наибольший интерес представляет исследование кинетических свойств неидеальной плазмы. Известные приближения [3,4], используемые в этом случае, приводят к возникновению нефизических расходимостей кулоновской составляющей кинетических коэффициентов при некоторых значениях плазменного параметра Г. Кроме того, из-за немонотонной зависимости транспортных сечений рассеяния электронов на ней-
8
тральных частицах от энергии, возникают трудности, связанные с учетом вклада таких столкновений в кинетические коэффициенты. Различные энергетические зависимости транспортных сечений кулоновского рассеяния и рассеяния на нейтральных частицах порождают неодинаковую скорость сходимости процесса Чепмена-Энскога при решении кинетического уравнения.
В основе расчета транспортных характеристик плазмы методом временных корреляционных функций лежит флуктуационно-диссипационная теорема [46,48,49], выражающая динамический структурный фактор плазмы через корреляционную функцию флуктуаций плотности числа частиц в ней. Динамический структурный фактор как функция частоты и волнового вектора входит в дифференциальное сечение и энергию рассеяния электромагнитного излучения, зондирующего плазму. Дифференциальным сечением рассеяния в свою очередь определяется пространственная и частотная дисперсия диэлектрической проницаемости плазмы и зависимость ее проводимости от частоты электромагнитного излучения [45,46,50].
При расчете кинетических коэффициентов плазмы, помимо регулярных, существуют различные интерполяционные формулы для вычисления, например, проводимости. Они являются справедливыми, вообще говоря, лишь в случаях полностью либо слабо ионизованной плазмы. Кроме того, эти формулы обладают неконтролируемой точностью, что делает невозможным их применение к плотной сильно неидеальной частично ионизованной плазме. Разброс результатов, даваемый различными интерполяционными формулами, может составлять 200-300%.
Экспериментальные исследования коэффициентов переноса в основном относятся к измерениям проводимости. Данные экспериментов также охватывают значительные области диаграммы состояний плазмы. Однако хорошее согласие теории и эксперимента наблюдается лишь в слабо неидеальной плазме [3,4]. В плотной частично ионизованной плазме экспериментальные и теоретические результаты существенно различаются [51].
Таким образом, несмотря на существенные результаты, достигнутые в области развития термодинамической и кинетической теории неидеальной плазмы, объяснение ее физических свойств оказывается далеко не всегда исчерпывающим. Наибольшие затруднения вызывает описание поведения плазмы в так называемых экстремальных состояниях, когда характерные параметры межчастичного взаимодействия не малы. Значительный интерес представляет также описание свойств химически реагирующей плазмы, представляющей собой сильно взаимодействующую смесь большого числа различных сортов частиц, в которой идут химические реакции.
Настоящая работа посвящена изучению равновесных и кинетических свойств сильно взаимодействующей химически реагирующей плазмы.
Целью работы является:
- теоретическое исследование влияния сильного межчастичного взаимодействия и химических, превращений на равновесные и кинетические
9
свойства многокомпонентной химически реагирующей плазмы на основе развитых в работе аналитических и численных методов расчета;
- построение широкодиапазонных моделей уравнения состояния и методик расчета термодинамических потенциалов и кинетических коэффициентов неидеальной низкотемпературной химически реагирующей плазмы;
- разработка на основе проведенных исследований комплекса аналитических и численных методов расчета термодинамических функций, состава и кинетических коэффициентов многокомпонентной химически реагирующей плазмы различных веществ и смесей с учетом взаимодействия частиц всех сортов;
- разработка комплекса программ для численных расчетов термодинамических и транспортных свойств многокомпонентной химически реагирующей плазмы;
- апробация предложенных методов и моделей на имеющихся результатах физических и численных экспериментов;
- массовый расчет термодинамических функций, состава и кинетических коэффициентов неидеальной плазмы, чистых веществ и смесей и создание банка данных по термодинамическим свойствам веществ.
Для достижения поставленных целей потребовалось решить следующие основные задачи:
1. Исследовать влияние'на термодинамические свойства плазмы различных способов разделения электрон-ионных состояний на связанные и свободные том числе по признаку их взаимных расстояний. Учесть вклад в термодинамические функции, обусловленный конечностью собственных размеров атомных и молекулярных ионов.
2. Вывести из точных асимптотических разложений по степеням активности в большом каноническом ансамбле химическую модель атомарной плазмы, учитывающую вклад высоко возбужденных состояний электронов в атоме в приближении ближайшего соседа.
3. Рассчитать температурные зависимости второго и третьего вириаль-ных коэффициентов для плотных газов и плазмы при наличии процессов химических превращений и при этом учесть исключенный фазовый объем при вычислении вкладов от некулоновских взаимодействий несвязанных тяжелых частиц на основе использования псевдопотенциала Хилла, построенного на исходных потенциалах Леи нарда-Джонса «12-6», «12-4».
4. Вычислить поправки к термодинамическим функциям частично ионизованной плазмы, обусловленные взаимодействием нейтральных и заряженных частиц в приближении парных и трехчастичньгх взаимодействий.
5. На основе решения предыдущего цикла задач разработать серию ви-риальных и интерполяционных моделей широкодиапазонных уравнений состояния и расчета термодинамических потенциалов плотных газов, неидеальной плазмы и многокомпонентных газовых и плазменных смесей произвольного состава.
10
6. Разработать и протестировать программный комплекс для выполнения численных расчетов равновесных характеристик плотных газов, газовых смесей и многокомпонентной химически реагирующей плазмы.
7. Выполнить численный расчет и провести сравнение результатов, полученных в работе с известными экспериментальными и теоретическими данными других авторов для различных классов веществ: атомарная плазма инертных газов; атомарно-молекулярная плазма чистых веществ: водорода, кислорода, азота; паров щелочных металлов; паров металлов второй группы и ряда других металлов; многокомпонентная атомарно-молекулярная плазма смеси на примере плазмы паров обычной и тяжелой воды, смесей паров щелочных металлов с инертными газами, дейтерия с аргоном, щелочных металлов и металлов других групп периодической системы и т.д. Создать банк данных по термодинамическим свойствам указанных веществ и смесей.
8. Выполнить расчет интегралов столкновений электронов с различными сортами тяжелых частиц в плазме в высших приближениях метода Чел-мена-Энскога. Выполнить расчет электрон-электронного интеграла столкновений в плазме в высших приближениях метода Чепмена-Энскога. Разработать для этой цели в рамках методов компьютерной алгебры программный пакет для их аналитического расчета с применением ЭВМ. Установить зависимость спитцеровского множителя от параметра неидеальности и заряда иона .при выборе различных способов обрезания транспортного сечения гю прицельному параметру.
9. Вычислить электропроводность полностью ионизованной плазмы путем решения кинетического уравнения Больцмана без учета и с учетом электрон-электронных столкновений для различных типов транспортных сечений рассеяния заряженных частиц. Учесть изменение характера экранировки заряженных частиц при переходе от слабо неидеальной к плотной плазме. Получить регулярную (не расходящуюся во всей области изменения) зависимость проводимости полностью ионизованной плазмы от параметра неидеальности. Вычислить электронные кинетические коэффициенты полностью ионизованной плазмы на основе решения кинетического уравнения Больцмана.
10. Рассчитать компоненты тензора электрической проводимости неидеальной полностью ионизованной плазмы при наличии постоянного и однородного внешнего магнитного поля на основе решение кинетического уравнения Больцмана с учетом изменения характера экранировки зарядов. Установить и проанализировать зависимости поперечных и холловских компонент тензора проводимости магнитоактивной плазмы от параметров неидеальности и замагниченности.
11. Выполнить широкодиапазонный численный расчет электропроводности частично ионизованной плазмы на основе решения кинетического уравнения Больцмана и провести сравнение с известными экспериментальными данными для плазмы инертных газов.
Il
12. Рассчитать динамический структурный фактор полностью ионизованной плазмы некоторых веществ с учетом поправок на локальное поле в рамках классической и квантовой статистики. Сравнить полученные результаты с экспериментальными данными.
Научная новизна.
»
1. Исследована схема разделения электрон-ионных состояний в атомарной плазме по признаку их взаимного расстояния. Методом корреляционных функций вычислен вклад в термодинамические величины неидеальной плазмы, связанный с отклонением потенциала взаимодействия многоэлектронных атомных, молекулярных и комплексных ионов от кулоновского на малых расстояниях в приближении ионного кора.
2. Исходя из точных асимптотических разложений по степеням активности в большом каноническом ансамбле, впервые получена химическая модель атомарной плазмы, учитывающая вклад высоко возбужденных состояний электронов в атоме в приближении ближайшего соседа. Установлена связь между величинами атомной статистической суммы и корреляционной поправки на взаимодействие свободных зарядов. Показано, что большинство химических моделей, используемых на практике не соответствует строгим асимптотическим результатам. Данный способ учета корреляционных поправок на взаимодействие свободных зарядов аналогичен псевдопотенциально-му подходу Хилла, предложенному для учета парных взаимодействий тяжелых частиц в химически реагирующем плотном газе.
3. Впервые вычислен третий вириальный коэффициент, характеризующий взаимодействия с участием свободных нейтральных частиц, для химически реагирующей плазмы с псевдопотенциалом Хилла.' Показано, что учет взаимодействия нейтральных частиц в химически активной плазме также должен сопровождаться специальным разбиением энергетического спектра исходных частиц на связанные и свободные. Выделение связанного состояния 2-, 3-,..., s-частичного комплекса из группы свободных частиц, должно сопровождаться исключением части классически доступного объема фазового пространства для исходных частиц. Для учета исключенного фазового объема используется псевдопотенциал Хилла.
4. Впервые разработана модель широкодиапазонного уравнения состояния неидеальных химически реагирующих сред: плотных газов и частично ионизованной плазмы, учитывающая процессы взаимодействия между всеми сортами частиц на фоне их взаимных химических превращений. Модель охватывает область фазовой диаграммы различных веществ от кривой насыщения пар-жидкость до многократ но ионизованной плазмы.
5. Создан программный комплекс для расчета термодинамических функций и состава плотных химически реагирующих газовых и плазменных смесей, позволяющий в принципе вычислять параметры плазмы любых веществ и смесей. Программный пакет достаточно легко перенастраивается при изменении рода вещества, номенклатуры компонент, относительной доли различных веществ в смеси, вида модели уравнения состояния и т.д. Прове-
12
дены массовые расчеты термодинамических параметров химически реагирующей плазмы широкого класса чистых веществ и смесей. Выполнено сравнение с результатами известных экспериментов и теоретическими моделями других авторов. Сравнение расчетных и экспериментальных результатов показало их удовлетворительное согласие для различных классов веществ в широкой области фазовой диаграммы. Создан широкодиапазониый банк данных по термодинамическим параметрам плазмы некоторых классов веществ и смесей: атомарные и молекулярные газы, пары металлов, водяная плазма (Н20, 020), смеси инертных газов и паров щелочных металлов и т.д.
6. На основе точного решения задачи рассеяния заряженных частиц для короткодействующего кулоновского потенциала (ККП или тиШп^ееп - потенциал) вычислены аналитические зависимости прицельного параметра, дифференциального и транспортного сечений рассеяния различных порядков для электрон-ионных и электрон-электронных столкновений.
7. Для повышения точности метода Чепмена-Энскога и вычисления скобочных интегралов высших порядков в электрон-электронном интеграле столкновений впервые разработан на языке Разса! пакет программ, выполняющий аналитические вычисления на ЭВМ и позволяющий свести многократный электрон-электронный интеграл столкновений к однократному, удобному для дальнейших численных расчетов кинетических коэффициентов. Пакет позволяет путем графического отображения при помощи ЭВМ получать аналитические выражения для скобочных интегралов с генерацией достаточно широкого класса операций алгебры и анализа. При этом используется широкий класс элементарных и некоторых трансцендентных функций.
8. Методом Чепмена-Энскога решено кинетическое уравнение Больцмана для полностью ионизованной плазмы с учетом рассеяния заряженных частиц на ККП. Учет изменения экранировки заряда в слабо и сильно неидеальной плазме осуществляется на основе интерполяционного соотношения для радиуса экранирования, использующегося на начальном этапе решения кинетического уравнения. Расчет производился с учетом электрон-ионных и электрон-электронных столкновений. Впервые установлено что при регулярном усреднении по скоростям в кинетическом уравнении и с выходом уравнения за пределы логарифмической точности спитцеровский множитель, учитывающий роль электрон-электронных столкновений, оказывается функцией параметра неидеальности плазмы.
9. Создан пакет программ, позволяющий на основе решения кинетического уравнения Больцмана рассчитывать электронные кинетические коэффициенты полностью ионизованной плазмы в широкой области изменения параметра неидеальности как в случае однократной ионизации, так и для многократно ионизованной плазмы. С его помощью выполнен широкодиапазонный расчет проводимости плазмы, проанализирована зависимость кинетических коэффициентов от выбора модели расчета транспортных сечений рассеяния зарядов, проведено сравнение результатов расчега с экспериментальными данными для плазмы инертных газов.
13
10. Получено решение кинетического уравнения Больцмана для полностью ионизованной неидеальной плазмы во внешнем магнитном поле с экранированным взаимодействием между зарядами. Исследованы зависимости поперечных и холловских компонент тензора проводимости магнитоактив-ной плазмы от параметра неидеальности плазмы и степени замагниченности.
Научная и практ ическая ценность работы:
1. Используемая в работе идея детализации энергетического спектра парных состояний частиц, как в кулоновских, так и в леннард-джонсовских системах подтверждает перспективность использования метода квазичастиц в термодинамике и кинетике неидеальной плазмы.
2. Введение представлений об образовании нейтральных квазичастиц электрон-ионных пар в непрерывном спектре, учет внутренних электронных оболочек атомных, молекулярных, комплексных ионов и высоко возбужденных состояний атомов в приближении ближайшего соседа приводит к существенному расширению границ применимости химической модели плазмы в область больших значений параметра неидеальности.
3. Результаты, полученные с применением к расчету' термодинамических свойств неидеальной атомарной плазмы точных асимптотических методов, могут оказаться полезными при исследовании ее оптических и транспортных свойств. Кроме того, совершенствование этих методов имеет важное самостоятельное значение, так как позволяет строить различные химические модели атомарной плазмы, используя существенно отличающиеся физические представления об энергетическом спектре и характере взаимодействия частиц.
4. Разделение состояний энергетического спектра пар тяжелых частиц на сильно и слабо связанные и использование парного нсевдопотенциала Хилла для описания свободных частиц существенно расширяет границы применимости вириального и группового разложения. Учет исключенного фазового объема позволяет проводить расчеты термодинамических свойств газовых смесей высокой плотности при низких температурах, близких к критической точке.
5. Корректное разделение энергетического спектра взаимодействующих частиц как в кулоновской, так и в нейтральной системах, допускающих образование связанных состояний, позволяет более точно учесть вклад химических реакций в термодинамику многокомпонентной реагирующей плазмы.
6. Программный комплекс, разработанный на основе предложенных в диссертации моделей у равнения состояния, может быть использован для расчета равновесных характеристик неидеальных химически реагирующих сред (плотных газов и плазмы) произвольного состава, исходя из потребностей научных исследований и их практической реализации.
7. Полученные в работе решения кинетического уравнения Больцмана для полностью ионизованной, магнитоактивной и частично ионизованной плазмы позволят осуществлять строгий контроль точности различных приближенных формул расчета кинетических коэффициентов.
14
8. Применение методов компьютерной алгебры к расчету интегралов столкновений частиц плазмы открывает широкие перспективы в использовании точных газокинетических методов расчета транспортных свойств, в том числе и при изучении процессов рассеяния частиц с произвольным отношением масс.
9. Полученные результаты расчета термодинамических потенциалов, уравнения состояния, состава и электропроводности плазмы различных веществ и смесей позволят осуществлять физическое моделирование процессов, происходящих в разрядных устройствах, при электрическом разряде в обычной и тяжелой воде, при электрическом взрыве проводников, при ударново-лоновом сжатии пористых металлов в обычной и инертной атмосфере и т.д.
Автор выносит на защиту:
1. Вывод химической модели атомарной плазмы, учитывающей высоковозбужденные состояния атомов из точных асимптотических разложений в приближении ближайшего соседа и приближении бесконечно-компонентной плазмы. Вид корреляционных и конфигурационных поправок к термодинамическим функциям.
2. Учет «несвязанных» некулоновских взаимодействий в многокомпонентной химически реагирующей плазме, основанный на использовании парного псевдопотенциала Хилла для вычисления вкладов двух- и трехчастичных взаимодействий тяжелых частиц.;
3. Серию широкодиапазонных моделей уравнения состояния неидеальных химически реагирующих сред - плотных газов и многокомпонентной плазмы произвольного состава.
4. Программный комплекс и результаты расчета термодинамических величин плазмы различных чистых веществ и смесей: атомарных (инертных) газов, молекулярных газов (водорода, азота, кислорода), плотных паров металлов (литий, натрий, калий, цезий, медь, ртуть, железо и др.), плазмы паров обычной и тяжелой воды, плазмы смесей различных веществ: щелочных металлов и инертных газов, инертных и молекулярных газов, паров металлов различных групп периодической системы и сравнение их с экспериментальными данными.
5. Способ учета изменения экранировки заряда в плазме при переходе от слабой к сильной нсидеальности при вычислении кинетических коэффициентов на этапе расчета транспортных сечений. Утверждение о необходимости единообразного усреднения величин по скоростям и выхода за пределы логарифмической точности при решении кинетического уравнения. Следующий из этих предпосылок эффект зависимости спитцеровского множителя от параметра нсидеальности.
6. Решение кинетического уравнения Больцмана для полностью ионизованной плазмы с экранированным взаимодействием между зарядами при отсутствии и наличии внешнего магнитного поля. Решение кинетического уравнения Больцмана для частично ионизованной неидсалыюй плазмы и результаты сравнения с экспериментальными данными. Приближенные мсто-
15
дики расчета электропроводности плазмы, основанные на использовании результатов решения кинетических уравнений.
7. Пакет программ аналитического расчета на ЭВМ скобочных интегралов высших порядков в электрон-электронном интеграле столкновений. Программный комплекс и результаты расчета электропроводности, теплопроводности, термо-эдс и других электронных кинетических коэффициентов неидеальной полностью ионизованной (в том числе магнитоактивной) и частично ионизованной атомарной плазмы.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:
1У-1Х Научных школах «Физика импульсных разрядов в конденсированных средах» - Николаев, 1989-1999; ежегодных сессиях по физике неидеальной плазмы Научного совета РАН «Физика низкотемпературной плазмы» в период 1989-2000; VIII - Всесоюзной конференции по физике низкотемпературной плазмы; 1 и II Всероссийских конференциях по физике низкотемпературной плазмы (Петрозаводск 1995, 1998), III-V Международных конференциях по электрофизике и электрогидродинамике жидкостей (С.-Петербург, 1994, 1996, 1998), XX Международной конференции по явлениям в ионизованных газах (ЮРЮ) (Пиза, 1991); XIII Международном симпозиуме по физике коммутирующих дуг (Брно. 1998); XV. XVI Международной конференции по уравнениям состояния вещества (Терскол, 2000,2001), II, III Международных конференциях по физике плазмы и плазменным технологиям (Минск 1997, 2000); III Харитоньевские чтения (Арзамас, 2001); семинарах Теоретического отдела ОИВТ РАН, ИИПТ НАН Украины, ОГУ, МФТИ.
Публикации. Список публикаций содержит 62 работы, опубликованные по материалам диссертации.
Краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 7-ми глав основного текста и заключения. Диссертация содержит 273 страниц, 72 рисунка, 4 таблицы, 323 источника цитированной литературы.
В I главе приводится аналитический обзор современного состояния исследований равновесных и кинетических свойств неидеальной плазмы. Дана характеристика основных методов исследования термодинамических и кинетических свойств плазмы. Обсуждаются основные типы теоретических и численных моделей термодинамики и кинетики плазмы и приводятся краткие сведения о результатах экспериментальны измерений параметров плазмы. В обзоре обозначены основные проблемы термодинамики и кинетики неидеальной плазмы, решение которых на современно этапе является актуальным. Сформулированы основные задачи диссертационной работы.
Следующие три главы оригинальных результатов составляют I часть диссертации, посвященную исследованиям термодинамических свойств и разработке модели уравнения состояния и расчета термодинамических потенциалов плотных химически реагирующих сред: неидеальных диссоциирующих газов и неидеальной химически активной плазмы сложного состава.
16
Глава II диссертации посвящена исследованию различных аспектов влияния кулоновского взаимодействия на термодинамические свойства плазмы.
Предложенн способ разделения свободных и связанных состояний в кулоновской подсистеме по признаку их относительных расстояний. На его основе развита модель атомарной плазмы, учитывающая образование ква-зисвязанных состояний в непрерывном спектре - электрон-ионных пар (квазичастиц). Для модельной кулоновской системы и атомарной плазмы методом корреляционных функций вычислены поправки к гермодинамическим потенциалам, уравнению состояния и уравнению ионизационного равновесия, обусловленные образованием квазичастиц. В области сильной неидеаль-ности эти поправки оказываются существенно меньше дебаевских, что значительно снижает влияние корреляционных эффектов в сильно неидеальной плазме. Численные расчеты для модельной системы сравниваются с результатами численного моделирования методом Монте-Карло. Отмечен эффект насыщения кулоновской неидеальности в поправке к снижению потенциала ионизации атома. Радиус электрон-ионных квазичастиц оказался близким к радиусу ионных двойников Бьеррума в теории электролитов.
Далее в главе II приближенно вычисляется вклад в термодинамические функции плазмы обусловленный конечным собственным размером ионов. Расчет выполнен в рамках метода корреляционных функций на фоне обычной дсбаевской поправки для плазмы, содержащей 1 сорт ионов и произвольное их число. Учет влияния ионного остова также ведет к ослаблению кулоновской поправки на взаимодействие между заряженными частицами.
Основное содержание второй главы составляет вывод химической модели неидеальной атомарной плазмы из точных асимптотических разложений в большом каноническом ансамбле (БКА) в приближении ближайшего соседа (ПБС). Затем эта модель служит-базой для развития более общей широкодиапазонной модели химически реагирующей плазмы произвольного состава. Отмечены основные противоречия, возникающие при переходе от физической к химической модели плазмы: не согласованный в ряде моделей учет вкладов в термодинамические функции, возникающих вследствие зависимости статистических сумм атомов от концентраций частиц; несоответствие снижения потенциала ионизации атома и энергии связи последнего уровня, эффективно учитываемого в статистической сумме. Указаны пути преодоления этих противоречий. Используется традиционная схема перехода от физической модели в БКА к химической модели, поэтому для примера дается краткий вывод БД-теории. Затем по этой же схеме осуществляется переход от разложения по степеням активности в БКА при учете высоковозбуж-денных состояний атомов к химической модели плазмы. При этом статистическая сумма атома вычисляется в приближении ближайшего соседа. Получены выражения для термодинамических функций, уравнения состояния и уравнения ионизационного равновесия в рамках этой модели. Из-за наличия возбужденных состояний атомов вычисленные поправки к термодинамиче-
17
ским функциям являются малыми в очень широкой области фазовой диаграммы. Кроме того, они формально не имеют дебаевской асимптотики. Отсюда следует вывод, что неидеальная полностью ионизованная плазма не может существовать. Неидеальная плазма всегда частично ионизована. При этом обращено особое внимание на тесную взаимосвязь между видом атомной статистической суммы и величиной поправки на кулоновское взаимодействие частиц в плазме.
Во II главе также приводится вывод химической модели из физически эквивалентного предыдущему приближения бесконечно-компонентной плазмы (БКП). При переходе к трехкомпонентной химической модели выводы обоих подходов совпадают. Однако использование модели БКП позволяет более легально изучить структуру поправок на кулоновское взаимодействие и выяснить их физический смысл. Оказывается, что кулоновская поправка к какой либо термодинамической функции содержит как традиционно учитываемый корреляционный член, так и чисто конфигурационный (энтропийный) вклад. Последний является следствием того, что заряженные частицы не могут проникать во внутреннюю структуру атомов.
Рассмотрены предельные случаи развитой модели. Обсуждаются границы ее применимости. Приводятся примеры расчета термодинамических функций некоторых веществ. Полуденная модель дает хорошее согласие с экспериментальными данными по калорическому уравнению состояния плазмы цезия.
В III главе обсуждаются вопросы термодинамики нейтральной подсистемы неидеальной плазмы. Рассмотрено приближение Ван-дерИЗаальса для многокомпонентной системы с развитой ионизацией. Вычислены коэффициенты Ван-дер-Ваальса для парных взаимодействий нейтрал-нейтрал и заряд-нейтрал. Далее обсуждается вириальное и групповое разложение по математическим группам. Вычислены температурные зависимости вириаль-ных коэффициентов для различных потенциалов межчастичного взаимодействия в широкой области изменения приведенной температуры 0,2<Т*<1000. Отмечено, что применение разложения по математическим группам ограничено случаем химически неактивных систем.
Для описания свойств химически реагирующих сред - многоатомных диссоциирующих газов и химически активной плазмы сложного состава используется разложение по физически различным группам частиц с выделением связанных и свободных состояний пар и троек взаимодействующих нейтральных и заряженных частиц. Дана характеристика основных особенностей химически реагирующих сред, отличающих их от неактивной среды. После выделения связанных групп из двух и трех частиц оказывается, что исходный потенциал взаимодействия частиц, не входящих в более сложные группы, заменяется псевдопотенциалом Хилла, являющимся однородной функцией исходного потенциала и температуры среды. Псевдопотенциал оказывается малой величиной (по сравнению с исходным потенциалом) в широкой области изменения приведенной температуры, особенно в наиболее
18
интересной с точки зрения приложений области низких температур Т*<1. Выполнен расчет второго и третьего вириальных коэффициентов с использованием псевдопотенциала Хилла в области значений приведенной температуры 0,01<Т*<1000 для потенциалов Леннарда-Джонса «12-6» и «12-4». Показано. что последние значительно медленнее - логарифмически стремятся к - со при Т*~»0 по сравнению с соответствующими вириальными коэффициентами для исходных потенциалов, которые убывают по степенному закону.
В этой главе обсуждается также переход от разложения Майера к разложению Хилла. Показано, что связь между вириальными коэффициентами и фупповыми интегралами в групповом разложении по физическим группам сохраняет тот же вид, что и в разложении по математическим группам.
В IV главе обобщаются результаты исследований термодинамических свойств неидеальной химически активной плазмы, полученные в предыдущих главах диссертационной работы. Здесь построена широкодиапазонная модель уравнения состояния и расчета термодинамических потенциалов сложных химически реагирующих сред - плотных многоатомных диссоциирующих газов и химически активной неидеальной плазмы сложного состава. На основе результатов, полученных в предыдущих главах, выведены выражения для термодинамических функций, уравнения состояния и получена система уравнений- ионизационного и диссоциативного равновесия. Дается краткая характеристика разработанного пакета программ, предназначенного для расчета термодинамических функций и состава химически реагирующих газов и плазмы.
Здесь же обсуждаются основные результаты численного расчета равновесных свойств плазмы широкого класса чистых веществ и смесей: плазмы молекулярных газов, плазмы паров металлов, паров обычной и тяжелой воды, а также плазмы смесей инертных газов и щелочных металлов. Дано описание банка данных по термодинамическим свойствам перечисленных типов плазмы. Обсуждаются границы применимости предложенной обобщенной модели уравнения состояния, области ее термодинамической устойчивости, а также экстраполяционные свойства модели. Обсуждается в рамках развитой . модели возможность плазменного фазового перехода, связанного со скачкообразным изменением плотности и состава плазмы.
Последние три главы оригинальных результатов составляют II часть диссертации, посвященную исследованиям кинетических свойств неидеальной плазмы с сильным межчастичным взаимодействием в рамках методов кинетического уравнения и временных корреляционных функций.
V глава посвящена развитию отдельных аспектов применения метода кинегического уравнения к теории расчета кинетических коэффициентов полностью и частично ионизованной плазмы. Обсуждаются преимущества точного метода кинетического уравнения перед различными аппроксимаци-онными соотношениями. Решена задача рассеяния заряженных частиц на короткодействующем кулоновском потенциале (ККП). Получено соотношение, связывающее прицельный параметр и угол рассеяния на ККП, вычислены
19
энергетические зависимости транспортных сечений рассеяния на ККП различного порядка.
Далее в V главе выписано кинетическое уравнение Больцмана, приведено обоснование возможности применения Больцмановского интеграла столкновений для описания кинетических свойств неидеалытой плазмы с учетом изменения характера экранировки зарядов. Дается краткая характеристика метода Чепмена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана.
Важное место в V главе отводится расчету скобочных интегралов. Рассматриваются как предельные случаи: рассеяние легкой частицы на массивной и рассеяние двух частиц одинаковой массы, так и общий случай рассеяния частиц с произвольным отношением масс. Приводится подробный вывод выражений для интегральных матричных элементов электрон-ионных и электрон-электронных столкновений. Важным шагом, позволившим достаточно быстро получить выражения для скобочных интегралов высших порядков, характеризующих процесс столкновения частиц одинаковой массы, явилась возможность автоматизации процесса их аналитического вывода. Применение методов компьютерной алгебры позволило получить окончательные формулы для всех матричных элементов вплоть до 7-го приближения при разложении неравновесной поправки к функции распределения в ряд по полиномам Сонина в методе Чепмена-Энскога. Это позволило повысить точность вычисления электрон-элекгронной части интеграла столкновений при произвольном способе ограничения сечений рассеяния свободных зарядов. Следует заметить также, что выражения для матричных элементов интеграла столкновений получены в общем виде, без каких либо ограничений на вид потенциала межчастичного взаимодействия. Так что они могут быть применены и для расчета интегралов столкновений любых частиц одинаковой массы, как заряженных, так и нейтральных.
Рассмотрен также общий случай вывода скобочных интегралов при произвольном отношении масс сталкивающихся частиц. Показано, что полученные для них выражения зависят от отношения масс как от параметра и могчт быть сведены к линейной комбинации интегралов столкновений рассмотренных в указанных выше предельных случаях с зависящими от отношения масс коэффициентами.
В VI главе на основе решения кинетического уравнения Больцмана выполнен численный расчет электронных кинетических коэффициентов полностью ионизованной плазмы с экранированным взаимодействием между зарядами в отсутствие и при наличии внешнего магнитного поля, а также частично ионизованной плазмы. Использовано приближение 8x8 в разложении неравновесной поправки к функции распределения по полиномам Сонина. Проведено исследование сходимости процесса Чепмена-Энскога для полностью ионизованной плазмы. Полученная точность расчета в методе не ниже 10'4. Исследуется влияние выбора моделей расчета транспортных сечений
20
рассеяния заряженных частиц на величину проводимости полностью ионизованной плазмы.
Установлено, что отношение значений проводимости плазмы, вычисленное с учетом и без учета электрон-электронных столкновений и называемое спитцеровским множителем, в неидеальной плазме становится функцией параметра неидеа л внести, а не только эффективного заряда иона, как это считалось ранее. Показано, что с ростом параметра неидеальности вклад электрон-электронных столкновений в полную электропроводность плазмы уменьшается. Выполнен расчет проводимости как для однократно ионизованной плазмы, так и для зарядово-несимметричной модельной системы, состоящей из электронов и ионов с зарядом +7. На этой основе удалось установить вид зависимости спитцеровского множителя как от параметра неидеальности Гу так и от зарядового числа иона 7. Проведено сравнение результатов расчета проводимости полностью ионизованной плазмы с выделенной из эксперимента кулоновской составляющей электропроводности плазмы инертных газов.
Получено решение кинетического уравнения Больцмана и вычислены компоненты тензора проводимости полностью ионизованной плазмы, находящейся во внешнем магнитном поле. Расчеты проводились с использованием тех же приближений, что и для плазмы без магнитного поля. Получены соотношения для поперечных и холловских компонент тензора проводимости магнитоактивной плазмы и исследованы их зависимости от параметра неидеальности и степени замагниченности. Показано, что значение максимума (минимума) холловских компонент тензора проводимости увеличивается (уменьшается) с ростом Г и его положение смещается в сторону меньших значений напряженности магнитного поля.
Предложены простые аппроксимационные формулы расчета проводимости полностью ионизованной плазмы в отсутствие и при наличии внешнего магнитного поля, обладающие хорошей точностью и пригодные для инженерных расчетов.
Далее в VI главе, на основе решения кинетического уравнения Больцмана, выполняется расчет кинетических коэффициентов частично ионизованной плазмы без магнитного поля. Основное внимание уделяется вычислению проводимости плазмы, поскольку для этой величины имеется большое число экспериментальных данных. Обсуждаются основные особенности решения кинетического уравнения для частично ионизованной плазмы. Исследуется сходимость рядов по полиномам Сонина для различных типов столкновений для плазмы инертных газов. Отмечается неравномерная сходимость рядов для плазмы инертных газов ввиду наличия минимума Рамзауэра в энергетической зависимости транспортных сечений.
Рассматриваются различные теоретические модели расчета проводимости частично ионизованной плазмы, основанные на применении интерполяционных соотношений. Сравниваются результаты расчетов по интерполяционным формулам с данными численного решения кинетического уравнения.
21
Обсуждаются границы применимости интерполяционных формул. Исследована зависимость результатов расчета электропроводности плазмы от вида модели уравнения состояния. Показано, что в области слабой неидеальности выбор термодинамической модели не играет существенной роли при вычислении проводимости. Для сильно неидеальной плазмы, наоборот, выбор модели уравнения состояния имеет важное значение при вычислении кинетических коэффициентов. В целях единообразия используемого в работе подхода исходными данными для вычисления проводимости являются результаты расчета состава плазмы, полученные по модели, обсуждаемой в главе IV.
Глава завершается сравнением результатов численных расчетов проводимости плазмы инертных газов, полученных из решения кинетического уравнения Больцмана с экспериментальными данными, полученными разными авторами в различных областях диаграммы состояний. Отмечается удовлетворительное согласие результатов расчета и измерений для слабой и умеренной неидеальности. Причем это характерно как для одно- так и для многократно ионизованной плазмы. В области сильной неидеальности можно говорить лишь о качественно правильном описании проводимости плазмы предложенной моделью, основанной на решении кинетического уравнения. Количественное согласие отдельных результатов в этой области скорее случайно. Кроме того, погрешность измерения проводимости здесь также довольно велика и составляет 30-50%.
Заключительная VII глава диссертации посвящена теоретическому расчету динамического структурного фактора полностью ионизованной плазмы в рамках метода временных корреляционных функций. Для учета отклонения потенциала взаимодействия зарядов в плазме на малых расстояниях от среднего используется приближение локального поля. Рассматривается случай классической и квантовой статистики. Обсуждаются преимущества приближения локального поля по сравнению с приближениями Хартри-Фока и хаотических фаз при исследовании процесса рассеяния электромагнитных волн в области низких частот.
Выполнено сравнение результатов расчета и экспериментальных измерений динамического структурного фактора для водородной плазмы и плазмы инертных газов. Показано, что для легких элементов, в частности, для водорода и гелия приближение локального поля дает не только качественное, но и довольно хорошее количественное описание его поведения в области низких частот. Наблюдается заметное улучшение согласия с экспериментом по сравнению с другими известными приближениями. Отмечается, что наличие достаточно надежных данных о структурном факторе плазмы позволит использовать их для разработки методов и алгоритмов оптической диагностики плазмы.
В заключении приведены основные выводы по диссертационной работе.
22
Г л а в а I. Обзор литературы
Прежде, чем переходить к изложению оригинальных результатов работы, остановимся на рассмотрении современного состояния теоретических и экспериментальных исследований термодинамических и кинетических свойств плазмы. Поскольку в работе предполагается исследовать влияние различных видов межчастичных взаимодействий и химических реакций на равновесные и транспортные свойства плазмы, в этом же ключе будет построен и литературный обзор.
§ 1.1. Термодинамические свойства классических кулоновскнх систем и классической полностью ионизованной плазмы. Исследование термодинамических свойств систем, отличающихся по своим свойствам от идеального газа требует учета межчастичного взаимодействия. В неидеальной плазме наиболее интенсивным оказывается дально-действующее кулоновское взаимодействие заряженных частиц. Впервые эффективный потенциал взаимодействия в системе, содержащей свободные заряженные частицы, был вычислен Дебаем и Хюккелем [52] для сильных электролитов. Теория Дебая оказалась применимой и к плазме. Потенциал Дебая, характеризующий экранированное кулоновское взаимодействие заряженных частиц в плазме, имеет следующий вид:
(1.1.1)
Г
где е- заряд электрона, 7л- заряд иона. у=I/ггв = \Т14тие2У,пк71 - радиус
\( /к
Дебая. Т- температура, 7и и щ - зарядовое число и концентрация ионов сорта к. Теория Дебая в настоящее время вошла в разряд классических [16,24,53].
Строгое статистическое обоснование теории Дебая-Хюккеля было дано в работах [54,55] путем разложения бинарной функции распределения на основе цепочки уравнений ББГКИ. В [54] соотношение (1.1.1) было получено из разложения функции распределения по степеням плазменного параметра
Г = е2!г£>Т . В работе [55] было показано, что дебаевский потенциал может
быть получен как первый член разложения бинарной корреляционной функции:
& а? = ехР
~уг
С е л
Теория Дебая является строго справедливой лишь для слабо неидеальной плазмы, когда плазменный параметр Г«1 можно считать малым. Область применимости различных термодинамических моделей плазмы можно проследить, анализируя диаграмму состояний (рис.1). С ростом параметра неидеальности I' результаты, полученные в рамках линейного дебаевского .приближения, дают систематическое отклонение от известных экспериментальных данных по термодинамическим свойствам иеидеальной плазмы различных веществ [3,10-13,28-39]. Другим критерием применимости .теории
23
Дебая является Ыо>>1. Хотя принято считать, что оба критерия являются эквивалентными [3,4,15,16,24], все же условие Мп»1 является более жестким, поскольку уже при Г*0.16, что значительно меньше единицы (кривая
1, рис.1).
Интересно отметить, что вплоть до весьма больших значений плотности заряженных частиц ~1021 см'3, модель идеальной плазмы дает существенно более близкие к экспериментальным значения термодинамических величин плазмы, чем теория Дебая [3,4]. Удовлетворительное согласие теории с экспериментом было получено также в модели, использующей разложение по степеням активности в большом каноническом ансамбле и дающей существенно меньшие по сравнению с дебаевской теорией поправки на взаимодействие [3,56]. Поэтому следует предположить, что в сильно неидеальной плазме имеет место частичная компенсация вкладов различных
Рис.1. Характерные параметры межчастичных взаимодействий на Р-Т диаграмме плазмы аргона, механизмов межчастичных взаимодействий. В современной литературе разработан широкий класс термодинамических моделей, описывающих различные виды взаимодействий между частицами плазмы: кулоновское, мульти-польное, ван-дер-ваалъсово и т.д. Данный параграф будет посвящен анализ> термодинамических моделей, связанных с учетом различных эффектов взаимодействия в классической системе заряженных частиц.
Наиболее детально изученной является в настоящее время модель однокомпонентной плазмы [3,11]. В рамках этой модели плазма рассматривается как система, состоящая из точечных ионов одного знака на непрерывном нейтрализующем фоне заряда противоположного знака. Такая модель является хорошим приближением для плазмы сверхвысоких давлений, реализующихся в центре белых карликов и больших планет [3]. В этих условиях электроны в плазме являются вырожденными и могут рассматриваться как однородная сплошная среда с вкраплениями точечных положительных ионов. Взаимодействие частиц внутри электронной и ионной подсистем силь-
24
ное, но подсистемы слабо взаимодействуют между собой. Весьма плодотворным оказалось применение однокомпонентной модели и к описанию классических кулоновских систем.
Основные результаты для модели однокомпонентной плазмы были получены методом Монте-Карло для чрезвычайно широкой области изменения параметра неидеальности: 0,05<Г<300. Столь широкая область исследования модели обусловлена ее простотой, отсутствием квантовых эффектов и порождаемого ими образования связанных состояний: атомов, молекул, ионов и т.д. Метод Монте-Карло основан на прямом вычислении средних значений термодинамических функций, например [3]:
(Ґ) = 0~1(МУ.Т )[...\Р(д)ехр[- Д/Г <?.)]</?. (1.1.3)
где <7- совокупность координат всех частиц. Р=1/Т\ 0( N У .Т) - \ ехр[- рЦ( - конфигурационный интеграл, определяющий равновесные свойства термодинамической системы. Для конкретных термодинамических расчетов в методе Монте-Карло используется парный потенциал:
-Г\ -> -»
и(ц)~ I ФаЬ
а:Ь.і<чі
!ГУ'1
к! \)
■ 'і/= (II-4)
Метод Монте-Карло состоит в генерации датчиком псевдослучайных чисел ЭВМ цепи Маркова, представляющей собой набор пространственных конфигураций: Л/, А». А ?,.... с вероятностью перехода А{—>А/.
Я), = ехр[- р[и(А;) - и(Л:))]. При этом производится усреднение термодинамических функций вдоль полученной таким образом цепи Маркова, эквивалентное усреднению но каноническому ансамблю [3].
Численный расчет свойств однокомпонентной плазмы (ОКИ) для числа частиц в элементарной ячейке N=128 и длины цепи Маркова а=106 выполнен в диапазоне изменения плазменного параметра Г=1-100 для неупорядоченной системы [57] и Г=150-300 для кулоновского кристалла [58]. Эти данные являются эталоном при проверке приближенных теорий и разработке широкодиапазонных аналитических моделей уравнения состояния неидеальной плазмы [И]. Согласно данным [58], в модели однокомпонентной плазмы должен иметь место единственный фазовый переход - вигнеровская кристаллизация при Г-155 (более поздние данные [89] - Г=178±1) В [88] предсказана возможность появления фазового перехода типа газ-жидкость в ОКП. исследована зависимость его параметров от конкретных предположений о сжимаемости компенсирующего фона. Высказывается предположение, что наличие указанного фазового перехода исключает возможность вигнеровской кристаллизации при увеличении параметра неидеальности. До настоящего времени вопрос о существовании фазового перехода типа газ-жидкость в сильно неидеальной кулоновской системе остается открытым и широко обсуждается [3,4,304,305,307].
25
Помимо метода Монте-Карло, в рамках однокомпонентной модели плазмы используется также метод интегральных уравнений [19], заимствованный из теории жидкостей [59]. Подробное описание результатов исследования свойств плазмы методами теории жидкостей будет дано ниже.
Поскольку в рамках однокомпонентной модели плазма рассматривается как система точечных зарядов на бесструктурном фоне заряда противоположного знака и ввиду отсутствия квантовых эффектов, в ней не могут возникать связанные состояния. Это является основным недостатком, не позволяющим применять данную модель для описания равновесных свойств частично ионизованных и многокомпонентных систем.
Другой широко известной моделью плазмы является модель химической термодинамики [3,11]. Эта модель лишена недостатков од покомпонентной модели и позволяет исследовать многокомпонентные системы. Однако химическая модель плазмы имеет значительно более узкую область применимости по параметру неидеальности Г. Название модели происходит из того, что компонентный состав плазмы определяется из условий химического равновесия [11]:
Е/Л = 0, = (1.1.5)
/
где //, и Л/ - химический потенциал и число частиц сорта /. Г - свободная энергия. Основные усилия теоретиков, работающих в рамках химической'' модели направлены на расширение границ ее применимости в область сильно неидеальной плазмы, где перестает быть справедливой теория Дебая. Важным является учет влияния собственно химических реакций при разработке химической модели плазмы [282].
Здесь, как и ранее, рассматривается вклад кулоновских взаимодействий в термодинамические функции плазмы в рамках химической модели. В разреженной плазме в области слабой неидеальности широкое распространение получила термодинамическая теория возмущений, предполагающая наличие в системе малого параметра. Расчет термодинамических функций кулоновских систем методом теории возмущений выполняется в рамках химической модели для полностью ионизованной плазмы. Первые поправки к термодинамическим функциям в рамках теории возмущений получаются путем суммирования кольцевых диаграмм и приводят в квантовом случае к вырожденной модели плазмы Гелл-Манна-Бракнера [20,21], а в классическом случае приводят к модели Дебая-Хюккеля [43].
В области повышенной неидеальности Г>7, где применение методов теории возмущений недопустимо, используются различные экстраполяционные модели плазмы. Наиболее важной из них является модель разложения по степеням активности в большом каноническом ансамбле (БД-теория) [56, 63, 99]. В слабо неидеальной плазме поправки к термодинамическим функциям пропорциональны параметру неидеальности Г, а снижение потенциала ионизации дается формулой [3]:
АПТ = 21п(1+ Г / 2). (1.1.6)