Оглавление
Введение...........................................................................4
Глава 1. Обзор и анализ литературных источников по теме исследования
6
§1. Классические модели теории запасов..........................................6
1. Управление запасом при детерминированной постоянной интенсивности спроса ...6
2. Однопродуктовая модель с постоянной интенсивностью спроса и поставок.......7
§2. Обзор современных результатов...............................................9
1. Моделирование двух стратегий в системе управления запасом со случайными задержкой и спросом.......................................................9
2. Стохастическая модель управления запасом с учетом портящихся товаров......11
3. Стохастические модели управления запасом с непрерывным пуассоновским спросом для функционала средних затрат в условиях наличия дисконта.......13
4. Математическая модель управления запасами при случайном сезонном спросе и ненадежных поставщиках...................................................14
5. Определение вероятностных характеристик полумарковских моделей с положительным и отрицательным сносами....................................16
6. Краткие обзоры современных результатов....................................18
Глава 2. Управление запасом непрерывного продукта с прекращением потребления на время поставки....................................................23
§ 1. Модель регенерации с мгновенным пополнением запаса........................23
1. Постановка задачи и параметры модели......................................23
2.11еобходимые результаты из теории дробно-линейных функционалов.............24
3. Определение функционала затрат............................................27
4. Постановка экстремальной задачи...........................................28
5. Существование и единственность решения....................................29
6. Случай линейных функций затрат............................................33
7. Анализ функционала прибыли и линейных затрат..............................35
8. Исследование функционала прибыли при наличии затрат на пополнение запаса.. 39
9. Интегральная прибыль......................................................44
§ 2. Модель регенерации со случайным временем задержки поставки................45
1. Постановка задачи и параметры модели......................................46
2. Определение функционала затрат............................................47
3. Постановка экстремальной задачи...........................................49
4. Существование решения.....................................................50
5. Случай линейных функций затрат............................................53
6. Исследование функционала прибыли и линейных затрат........................55
7. Интегральная прибыль......................................................60
§ 3. Расчет оптимальных управлений для некоторых числовых примеров.............61
Глава 3. Модели с непрерывным потреблением продукта..............................78
§ 1. Управление запасом непрерывного продукта в модели с детерминированной задержкой поставки...........................................................79
1. Описание математической модели............................................79
2. Оптимальное управление по функционалу средних удельных затрат.............80
3. Случай линейных функций затрат и линейной функции задержки поставки.......85
4. Анализ функционала прибыли................................................86
5. Линейный вариант задания основных характеристик модели....................91
6. Экспоненциальные функции цены и линейные затраты при линейной задержке ...95
7. Постоянная функция задержки...............................................96
8. Продолжение потребления и случайная задержка..............................97
2
§ 2. Управление запасом непрерывного продукта в модели с непрерывным потреблением при наличии дополнительных затрат с детерминированной задержкой поставки................................................................100
1. Результаты для общих функционалов...................................100
2. Оптимальное управление в линейном варианте модели...................107
3. Оптимальное управление при линейных затратах и фиксированной длительности задержки............................................................112
§ 3. Расчет оптимальных параметров управления для некоторых числовых примеров. 126
Заключение.................................................................132
Список литературы..........................................................133
3
Введение
По мере развития экономических и торговых взаимоотношений все большую актуальность принимают логистика и оптимальное управление имеющимися ресурсами или продуктами. При нынешних масштабах розничной и оптовой торговли оптимальное управление запасом играет ключевую роль в функционировании того или иного крупного торгового предприятия и оказывает значительное влияние на политику ценообразования. Нерациональное использование имеющихся технологических и производственных мощностей может привести к повышению издержек, а, следовательно, к повышению цен на продукцию, что, в свою очередь, ведет к потере конкурентоспособности продукции данного предприятия. Таким образом, принятие верных управляющих решений при выработке стратегии управления запасом является необходимым условием эффективного функционирования торгового предприятия.
В настоящем исследовании предлагается рассмотреть ряд моделей функционирования товарного склада, на котором хранится непрерывный продукт. В роли такого продукта могут выступать нефть, горюче-смазочные материалы, газ, вода, зерно и т. п. Экономика России сейчас сильно зависит от экспорта нефти и газа, что определяет значимость исследования подобной тематики. Кроме того, поставки указанных продуктов имеют большое значение и на внутреннем рынке. Таким образом, существует объективная необходимость в исследовании такого рода моделей.
В качестве экономического примера базовой модели из исследуемых в настоящей диссертации можно предложить следующую систему.
Предположим, что исследуемая система представляет собой нефтехранилище, способное вместить т тонн горючих материалов. Эти материалы равномерно поступают на пункты потребления (например, по трубопроводу). Пусть в единицу времени (час) покупателям отправляется а единиц (тонн) продукта. Весь запас хранится в резервном хранилище (например, в целях безопасности), из которого и поступает запас на наше нефтехранилище. Считаем, что запас в резервном хранилище неисчерпаем (т. с., всегда пополняется быстрее, чем расходуется). Управление нефтехранилищем заключается в выборе момента, в который следует пополнить запас горючих материалов в нефтехранилище из резервного хранилища. Заметим, что при этом рассматривается не только детерминированный вариант управления запасом, т. е. пополнение запаса через фиксированное время Т с вероятностью, равной единице, но и тот случай, когда в качестве периода времени, через которое следует производить заказ на поставку новой партии продукта, выступает реализация некоторой случайной величины.
Кроме того, здесь предполагается, что вполне естественно, что время пополнения запаса зависит от размера заказа, т. е., если и0- время, через которое дается заказ на поставку, то запас пополнится до уровня т через время,
4
равное щ+к0, к0 - задержка поставки в часах, причем величина к0 зависит от объема заказа.
Будем предполагать, что существуют объективные причины, по которым потребление продукта во время пополнения запаса, т. е. в период задержки, должно быть прекращено. Например, если для поставки нефтепродукта используется часть трубопровода, который служит для отправки его потребителю, то естественно, что на время поставки потребление запаса из хранилища прекращается. Данному варианту соответствует математическая модель, исследованная в § 2 главы 2.
Вариант, когда потребление из хранилища продолжается на время поставки новой партии горючих материалов, также учитывается в настоящей работе, такие условия функционирования системы рассматриваются в моделях, изложенных в главе 3.
Предположим далее, что хранение одной единицы (тонны) продукции обходится в р условных единиц в единицу времени (час). Эти затраты могут быть связаны, например, с поддержанием необходимой температуры горючего материала в резервуаре, увеличением страховых взносов с ростом объема материала и т.п. В случае, если хранилище опустело, потребление продолжается из некоторого вспомогательного хранилища, уплачивается штраф в размере ^ условных единиц в единицу времени (час), а недостаток продукта будет восполнен в момент пополнения запаса. Величины р и э, вообще говоря, могут зависеть от объема хранящейся продукции или ее дефицита соответственно.
После пополнения запаса до первоначального уровня г потребление продукта возобновляется, дальнейшее поведение системы происходит независимо от прошлого и по тем же закономерностям, которые были описаны ранее. Критериями качества управления будут служить средние удельные затраты или средняя удельная прибыль на интервале регенерации, т. е. на периоде времени между последовательными пополнениями объема запаса до уровня т.
Отметим, что также могут быть рассмотрены другие распространенные примеры приложений, аналогичные вышеприведенному, такие как АЗС в случае наличия постоянного спроса на бензин, управление водохранилищем, обеспечивающим водой населенные пункты, управление оптовым складом зерновых культур и т. п.
Кроме того, предложенные математические модели могут быть рекомендованы к использованию в крупных торговых сетях, где при большом уровне запасов перечисляемые продукты можно рассматривать в непрерывном контексте.
Цель исследования заключается в получении условий на характеристики системы, при которых существует оптимальная стратегия управления запасом, а также соотношений для ее определения в каждой из рассматриваемых моделей.
5
Глава 1. Обзор и анализ литературных источников по теме исследования
Модели, исследованные в настоящей работе, являются продолжением классических результатов теории запасов, поэтому в обзор литературы помимо современных разработок вошли две классические модели, рассмотренные в первом параграфе. Наиболее близкие к тематике и методике настоящего исследования современные результаты рассмотрены подробно в отдельных пунктах параграфа 2, в последнем пункте данного параграфа дан краткий обзор некоторых современных результатов в рассматриваемой области и сделан ряд общих выводов, характеризующих приведенные модели.
§1. Классические модели теории запасов
1. Управление запасом при детерминированной постоянной интенсивности спроса
Данная классическая модель была полностью изложена в [12], здесь приводятся описание и полученные результаты.
. Предполагается, что запасаемый продукт непрерывен и расходуется с постоянной неслучайной интенсивностью X. Заказанная партия мгновенно поставляется на склад, политика управления определяется двумя параметрами: точкой заказа т и размером партии п. При такой политике заказ подается всякий раз, когда уровень запаса 2(0 снижается до т, причем его размер равен п. В момент подачи заказа запас мгновенно поднимается до уровня к=т+п, затем со скоростью Л вновь уменьшается до т, снова мгновенно увеличивается до к и т. д., как показано на рис. 1.1.1
Для определенности предполагается, что 2(0)=к. Аналитически зависимость уровня запаса от времени записывается как
2(0=кгЬ+[Мп] (1.1.1)
где [х] означает целую часть х.
Темп расхода Л предполагается заданным, поэтому остается выбрать параметры т и к, т. е. определить пределы изменения запаса. Цель выбора - минимизация стационарной интенсивности издержек V, вычисляемой с помощью штрафной функции /(г) и функции стоимости заказа с(п).
6
Предположим, что изменение запаса рассматривается за время от 0 до Т. Тогда число посланных заказов будет равно [ХТ/п] и средние издержки за единицу времени составят
"ХТ
У(Т) = 11 ^(г(1))сц + с(п)
Поскольку функция 2(1) периодическая, с периодом /7/Я, вычислять стационарные издержки можно усреднением по одному периоду. Таким образом, с учетом (1.1.1)
Гп/Х
V = 1ІИ1 У(Т) = -Т->в п
|Г(к - Х()сН + с(п)
или
у = 1
в
| Г(к - х)ёх + Хс(п) і.
(1.1.3)
(1.1.4)
Выражение (1.1.3) дает явную зависимость V от управляющих параметров к и п. Минимизация V особенно проста, когда с(п)=с0+с1п, п>0 и К-К'+Яс/, где
_1_ п
Слагаемое Яс/ не зависит от к, я, и его можно не учитывать при минимизации.
Для случая, когда
[- а,г, 7, < О
V'= -Шк-х)с1х + Хс01.
ад»
а2г, ъ > О
(1.1.5)
т. е. при линейных издержках хранения и дефицита, оптимальные параметры к* и яг* получаются из соотношений
—а1гп*=а2к*; а2к*(к*-т*)=2?.со (1.1.6)
и имеют вид
к* = Р
а, 2Хсп
а2 а, + а2
а2 2Хс0
А/* . - О-1"7)
\(а1 а1 +а2
Заметим, что полученный оптимальный уровень запаса, при котором
следует пополнять продукт, Ш = -
[£г__^£о_ а, а, + а2
2. Однопродуктовая модель с постоянной интенсивностью спроса и поставок
Предлагаемая классическая модель сформулирована в книге [13].
Исследуется изолированная складская система, в которой хранится
единственный вид продукта. Рассматривается случай постоянной интенсив-
ности спроса Я и поставок ц. Полный цикл работы системы имеет продолжительность Т. Через £ обозначается предельный запас на складе. График изме-
нения уровня запаса показан на рис. 1.2.1.
7
Рис. 1.2.1
Расходы на хранение и на штрафы полагаются пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования с коэффициентами к и сі соответственно. Формула для затрат за цикл выглядит следующим образом.
т
1*Т = <7 + Л J У(/) Л — <1 I ;/(/) (//.
О
где g - фиксированные расходы, связанные с запуском производства (организацией поставки). Текущий запас записывается системой
{(/і — А)/ при 0 < * < у.
5 — А(< — (\) при /і < { < 1 \ 4* і* 4*
5 ■+■ (/і — А)(£ — /і — /2 “ *з) при + /2 + < / < У.
Окончательное выражение для затрат за один цикл:
ЛГ = , + + -/Цт [*<„ - А)/' - N
2Л(// - Л) 2А(/# - А) [/і
Затраты за цикл в единицу времени:
7*
* 2А(/| ~ А)
+ — (// - А)У - </5.
Оптимальными управлениями, доставляющими минимум затрат, являются параметры, удовлетворяющие следующим формулам.
.V* = Г =
^У/(1 - А//*) Л(1 ЬАД/) *
/%;(!+*/</)
V АА( I - А//<> ■
При этом достигается минимум затрат в единицу времени
Г =
'2Л</А( 1 — А///) ! + /*/</
Момент запуска производства определяется достижением дефицита
8
£ /2Л<у І - А/;* </\/ д 1+ /;/</*
Оптимальный объем заказа на поставку:
2.У;(1 4-/>Л0 /ЦІ - Л//і)
§2. Обзор современных результатов
1. Моделирование двух стратегий в системе управления запасом со слу-
В публикациях [32, 33] рассматриваются две однопродуктовые модели управления запасом со случайными параметрами. Первая модель - модель с фиксированной точкой повторного заказа и фиксированным объемом заказа. Во второй модели фиксировано время между моментами соседних заказов. Объем заказа определяется как разница между фиксированным уровнем запаса и количеством продукта в момент заказа. Рассматриваемые модели исследуются при помощи аналитических и имитационных методов. Также представлены численные примеры решения задачи.
Выбор любой из моделей зависит от условий функционирования реальной системы: первая модель может быть использована для системы с заранее известным временем размещения заказа, такая ситуация имеет место в системах хранения, использующих собственную транспортную систему, а вторая модель предполагает систему с фиксированным временем размещения заказа, когда доставка заказа зависит от плана отгрузки товара.
Итак, первая модель описывает зависимость средних затрат на хранение, заказ продукта и штрафов за дефицит продукта в единицу времени от двух параметров управления - размера заказа и точки повторного заказа. Рассматривается однопродуктовая модель управления запасом с непрерывным временем. Считается, что спрос на продукт задается нуассоновским процессом с интенсивностью Я. В момент времени, когда уровень запаса упадет до некоторого уровня Я, осуществляется заказ на поставку. Уровень Я называется точкой заказа. Объем заказа О постоянен. Считается, что 0>Я. Задержка поставки Я (время между заказом на поставку и его получением) имеет нормальное распределение со средним рь и стандартным отклонением Существует возможность образования дефицита, который может возникнуть, когда во время задержки поставки Ь спрос превысит величину точки заказа. Предполагается, что в случае дефицита он не покрывается ожидаемой поставкой.
Пусть Z - количество продукта в системе в момент времени сразу после получения заказа. Данный объем Z можно записать как функцию от спроса О/, на периоде задержки Ь.
чанными задержкой и спросом
Я + О — , если /), < И,
О,, если О, £ Я.
9
Обозначим Т— длительность периода регенерации. Его длительность складывается из 2 частей: времени между получением продукта и размещением нового заказа на поставку, и задержки Ь. Таким образом, Т=Т!+Ь. На рис. 2.1.1 изображена динамика уровня запаса на одном периоде регенерации.
Рис. 2.1.1
Следующие параметры модели предполагаются известными:
• стоимость заказа новой партии продукта Со - известная функция от объема заказа О,: Со— Со(О);
• затраты на хранение прямо пропорциональны объему запаса в системе и времени хранения с коэффициентом пропорциональности Сн\
• штрафы, связанные с дефицитом прямо пропорциональны объему дефицита с коэффициентом С3н-
Целью исследования предлагаемой модели является определение оптимальных значений объема заказа на поставку О и точки заказа Л. Критерием оптимизации является минимум средних общих затрат в системе управления запасом в единицу времени. Средние общие затраты Е(АС) находятся как отношение общих затрат на одном периоде регенерации к средней длительности этого периода Е(Т):
Е(АС) = Е(ТС,,\л ^(ТСм) * С0 ^ средние затраты, свя-
занныс с хранением и штрафами соответственно, Е — символ математического ожидания.
Вторая модель, предложенная авторами, предполагает фиксированную длительность периода регенерации 7', т. е. времени между соседними размещениями заказов на поставку. Существует возможность возникновения дефицита в том случае, если спрос на периоде между соседними моментами доставки продукта превысит 7 - объем запаса, имеющегося в системе в момент поставки продукта. Аналогично первой модели предполагается, что в случае дефицита он не покрывается ожидаемой поставкой. Динамика уровня запаса показана на рис. 2.1.2.
10
Рис. 2.1.2
В качестве управляющих параметров выступают период времени Т и оптимальный объем запаса 5, необходимого на периоде регенерации. Оптимальный объем запаса 5 эквивалентен следующей сумме: £ = От +50, где От-срсдняя величина спроса во время цикла, 6’0- некоторый страховой запас. В качестве критерия оптимизации выступают средние общие затраты в единицу времени:
= Е(ТСН)~Е(ТС\,Н) + С0 Е(Т)
В отличие от первой модели, затраты Е(ТС„), Е(ТСШ) зависят от управляющих параметров 5 и Т.
Обе модели авторы статьи далее исследуют при помощи численных методов. При этом предполагается, что спрос на продукт распределен по пуас-соновскому закону с параметром 2, а задержка поставки имеет нормальное распределение со средним ///, и стандартным о тклонением Считается, что длительность задержки существенно меньше периода регенерации: Ц1 -т3^ь «Т. Численное исследование проводится для конкретных значений параметров.
2. Стохастическая модель управлении запасом с учетом портящихся товаров
Данная стохастическая модель управления запасом рассматривается в работе [29]. Авторами были получены оптимальные характеристики управления для ожидаемых затрат в единицу времени при условии, что спрос на каждом периоде до пополнения запаса формирует регенерирующий процесс.
Приступим к описанию предложенной модели. В системе хранится единственный вид продукта. Задержка на поставку Ь предполагается случайной с заданной плотностью / Считается, что заказы не пересекаются. Возможно образование дефицита. В начале каждого цикла у лица, принимающего решения, есть N возможных сценариев уровней спроса и порчи товара
11
- Київ+380960830922