Асимптотика рядов Дирихле заданного роста

Содержание
Введение
§ 0.1 Предварительные сведения.........................2
§ 0.2 Обзор результатов и постановка задач.............7
§ 0.3 Основные результаты диссертации.................24
§ 0.4 Вспомогательные факты...........................31
Глава I. Подготовительные теоремы о рядах Дирихле специального вида
§ 1.1 Дополнение к теореме единственности М.А. Евграфова 42
§ 1.2 Устойчивость логарифма максимального члена ряда
Дирихле...............................................46
Глава И. Поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых
§2.1 Оценка рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста
на кривых.............................................63
§ 2.2 Асимптотика на кривых ряда Дирихле с выпуклой
мажорантой на последовательности точек ...............76
Глава III. Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие выпуклую мажоранту роста
§3.1 Обобщение теоремы Полиа о целых функциях с
вещественными коэффициентами.....................86
Литература............................................98
ь-
1
Введение
§0.1. Предварительные сведения
Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Полиа и другие.
В 1882 году Ж. Адам ар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).
Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию
В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция
71=0
имеет лакуны Фейера, если последовательность 5(/) = {п : сп 0 (п > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2)
(1)
со
(2)
2
есть лакунарный степенной ряд вида
оо
/(г) = с0 + ^ апгп (а„ = Ср„ ± 0). (3)
Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейсра принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [6]). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3) в самом общем случае, то есть без никакого ограничения на рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины (см., и-р, 17])
В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции |8]
В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единич-
з
ной окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).
Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.
Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием Д-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [9].
Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагене [10], В.Бой чу к [11], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].
В 1966 году М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах Д-пор51Дка рост рядов Дирихле в иолу полосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован А.М. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [19], [201.
В работах М.Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами
4
(рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].
Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от роста на менее массивных континуумах, например, на лучах или на кривых, „примыкающих"'* к границе области сходимости. Впервые такая задача для рядов (3), а также двойственная задача для рядов с вещественными коэффициентами, представляющих целые функции, была поставлена Полна в [23].
Для целых функций произвольного роста обе задачи полностью решены в [6], [24]. В классе целых функций вида (3) конечного порядка (нижнего порядка) роста указанные задачи рассматривались и были решены в работах [25], [26].
Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в [27].
В настоящей диссертации изучаются целые функции, представленные рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости, рост которых в том или ином смысле ограничен некоторой выпуклой функцией. Для каждого такого класса целых функций указаны оптимальные условия, при которых верны точные асимптотические оценки для суммы ряда Дирихле на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Здесь получены соответствующие результаты и для
5
рядов Дирихле с вещественными коэффициентами.
Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полиа [23], Шереметы М.Н. [28], Гайсина А.М. [26], [29], Латы нова И.Д. [25], а также Ма-кинтайра [30] и Евграфова М.А. [31].
Все результаты диссертации получены под непосредственным руководством А.М. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.
6
§0.2. Обзор результатов и постановка задач Пусть {рп}— возрастающая последовательность натуральных чисел,
оо
я*) = 52anzP" (°л)
п=1
— целая трансцендентная функция. Через p(t) обозначим считающую функцию последовательности {рп}: p(t) — Yl 1- ^°"
Pn<t
лиав [23] показал, что если плотность А = lim последова-
t-> оо 1
тельности {рп} равна нулю, то в каждом угле {z : | arg^| < є} (є > 0) целая функция (0.1) имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Этот результат дал толчок многочисленным исследованиям, что привело к новым задачам. В частности, возникла интересная задача о возможности перехода от угла {z : |argz| < є} (є > 0) к лучу {z : arg г = 0}. Это, в свою очередь, привело к дальнейшему развитию актуального направления в теории функций — исследованию асимптотических свойств целых функций вида (0.1), а также их обобщений— рядов Дирихле. Так появилась проблема Ма-кинтайра об отсутствии конечных асимптотических значений для любой целой функции (0.1) с лакунами Фейера [30]. Макинтайр показал, что при условии
— < оо (0.2)
п=1 Рп
любая целая функция /, заданная рядом (0.1), не ограничена на положительном луче R+ (30]. В той же работе показано,
7