Содержание
1. Введение 3
2. Пертурбативный симмстрийный подход. 9
2.1. Симметрийный подход - основные определения. . . 9
2.2. Символьное представление....................... 12
2.3. Симметрийный подход в символьном представлении. 20
2.4. Обобщение на случай систем эволюционных уравнений ............................................. 30
3. Нелокальное обобщение симметрийного подхода 35
3.1. Введение....................................... 35
3.2. Обобщенные уравнения Бснджамина-Оно............ 36
3.3. Классификация интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно..................................... 39
3.4. Уравнение Абловитца............................ 48
3.5. Уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса 50
3.6. 2 -|- 1-мерные уравнения....................... 54
4. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи 61
4.1. Введение....................................... 61
4.2. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи.................................... 63
5. Заключение 70
2
1. Введение
Интегрируемые нелинейные уравнения в частных производных имеют множество приложений в современной физике и математике и описывают множество важных физических моделей. Кроме того, интегрируемые нелинейные уравнения интересны сами по себе. В настоящее время существует чрезвычайно богатая теория интегрируемых динамических систем, посвященная, в основном, проблеме построения решений таких систем и изучению алгебраических и аналитических структур, связанных с ними. Основополагающей теорией является метод обратной задачи, который берет свое начало с работ Гарднера, Грина, К рус кал а и Миуры (см., например, [1|) и В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [2].
Чрезвычайно важной задачей в теории интегрируемых систем является проблема определения, какие системы являются интегрируемыми в рамках известных методов теории интегрируемых систем, каким необходимым условиям удовлетворяют такие системы. Здесь также существует ряд подходов, позволяющих выяснить. является ли данная система интегрируемой в рамках тех или иных методов или нет. Среди таких подходов выделим теорию Пенлеве, пертурбативный анализ почти интегрируемых и квазилинейных систем и симметрийпый подход, базирующийся на теории высших симметрий и законов сохранения.
В симметрийном подходе существование бесконечной иерархии высших симметрий и/или локальных законов сохранения берется за определение интегрируемости. Основными целями теории являются как получение легко проверяемых необходимых условий интегрируемости и идентифицирование интегрируемых случаев, так и полное описание и классификация интегрируемых систем определенного вида. Подход успешно зарекомендовал себя при описании интегрируемых эволюционных уравнений и систем
3
уравнений [3, 4, 5]. Метод применим к эволюционным уравнениям произвольного вида
Щ = F(tin,...,ui»«o)i w > 2 (1)
где и0 = u(x,t),ui = их(я,£),г/.2 = uxx(x,t)y... ,ип =
Здесь F есть произвольная функция, зависящая от конечного числа аргументов. В симметрийном подходе предполагается, что все об’екты, как то высшие симметрии и плотности законов сохранения , зависят от конечного числа аргументов щ и принадлежат соответствующему дифференциальному полю F(u, D), или, другими словами, являются локальными функциями, и это является ключевым местом теории. Основополагающим результатом в теории является понятие формального рекурсио!того оператора (или формальной симметрии) уравнения [б, 3, 4, 5]), для которого справедлива теорема А.Б. Шабата: если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то существует формальный ряд
А = lmDm + Im-iD111-1 + • • • + fe + Ll/Г1 + L2D~2 + • • • , (2)
удовлетворяющий уравнению
А(Л) = F* о Л — А о F*, (3)
такой, что все коэффициенты h € F (и, D). Здесь D есть оператор дифференцирования D = ^ и F* ость производная Фреше правой части уравнения (1).
Если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то уравнение (3) разрешимо и все коэффициенты /ш, lm-u • • • формального рекурсиоиного оператора Л принадлежат дифференциальному полю F[и, D). Условия разрешимости уравнения (3) можно сформулировать в элегантной форме канонической серии законов сохранения уравне-
4
ния (1), и эти условия являются необходимыми условиями интегрируемости уравнения (1). Эти условия могут быть использованы как тест на интегрируемость данного уравнения или даже для полного описания интегрируемых уравнений заданного вида.
Первые две главы дайной диссертации посвящены построению пертпурбативного симметрийного подхода, цель которого - построение теории, удобной для описания нелокальных и неэволю-ционных динамических систем и получение легко проверяемых необходимых условий интегрируемости, а также описания интегрируемых случаев.
До сих пор симметрийный подход использовался при изучении и классификации локальных эволюционных уравнений и систем. Однако, хорошо известны примеры нелокальных динамических систем, интегрируемых методом обратной задачи и обладающих бесконечным набором высших симметрий и законов сохранения. Таковым, например, является уравнение Бенджамина-Оио
щ = Я (г/2) + 2ищ,
где Н есть оператор Гильберта. Другим примером является уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса
гщ = сгпщ + итпг, тп = и — ио, с Ф 0,
которое не является эволюционным, но может быть переписано как нелокальное эволюционное уравнение. 2+1-мерные уравнения также нелокальны в своей структуре.
Во всех этих примерах как сами уравнения, так и объекты с ними связанные, как то высшие симметрии и законы сохранения также нелокальны, что и является основной проблемой обобщения симметрийного подхода, который базируется на понятии локальности. Эта проблема преодолевается естественным обобщением понятия локальности - введением квазилокальных функций.
Эта идея впервые была предложена в работе [14] в связи с 2 + 1 уравнениями и успешно себя зарекомендовала при рассмотрении 2 + 1- мерных динамических систем.
Другой важной идеей теории является введение символьного представления, которое есть ни что иное как упрощенная форма правил обычного Фурье представления, и теория возмущений. Символьное представление (или символьный метод) успешно использовалось в математике с середины 19-го века. Оно успешно применялось в теории интегрируемых уравнений в работах И.М. Гельфанда и JI.А. Дикого в 1975 г. (см., например, [7]), а также позже в работах В.Е. Захарова и Е.И. Шульмана (см., например, |8|). Недавно мощность подхода была вновь продемонстрирована в серии работ Я. Сандерса и Дж.П. Вонг (см., например, [9], [10]), где была построена полная классификация интегрируемых иерархий полиномиальных однородных интегрируемых уравнений. Теория возмущений успешно использовалась в работах В.Е. Захарова и Е.И. Шульмана в теории интегрируемых систем. Именно символьное представление позволяет успешно работать с нелокальными объектами. С другой стороны, теория возмущений позволяет получать явные формулы для всех основных об’ектов теории, как -го, например, формальный рекурсионный оператор и высшие симметрии, в терминах заданной динамической системы.
Об'единение этих трех идей- понятие квазилокальности, символьное представление и теория возмущений и легли в основу пср-турбативного симметрийного подхода. Построенная теория позволяет работать как с локальными, так и с нелокальными и неэволюционными динамическими системами и является удобным методом тестирования интегрируемости данной системы.
В главе 1 диссертации излагается локальная теория. Глава 2 посвящена обобщению на нелокальные динамические системы. В главе 2 рассматриваются примеры применения теории:
G
- Київ+380960830922