Гипергеометрические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова

Оглавление
Введение ..........................................................
1. Разностное уравнение Книжника-3 амо л о дчиков а...................
Представления квантовой группы U4(s\2)............................
Квантованная алгебра петель (/^(д(2)..............................
Тригонометрическая R-матриц а.....................................
Тригонометрическое разностное уравнение Книжника-Замолодчикова,
ассоциированное с s\2.............................................
Представления эллиптической квантовой группы. I2) и
динамические эллиптические R-матрицы..............................
Библиографические комментарии.....................................
2. Базисный гипергсометрический интеграл и гинергсомстричсское тождество Римана......................................................
Предварительные обозначения. ....................................
Базисный гиперге о метрический интеграл...........................
Гипергеометрические пространства и гипергеометрическое
спаривание .......................................................
Спаривания Шаповалова и гипергео метрическое тождество
Римана............................................................
Гипергеометприческое спаривание при специальных значениях а .. . Библиографические комментарии.....................................
3. Гипергеометрические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова ........................................................
О согласовании обозначений........................................
Тригонометрические и эллиптические весовые функции................
Тензорные координаты на тригонометрических
гипергеометрическш пространствах..................................
Гипергеометрические решения уравнения qKZ и сопряженного
уравнения qKZ.....................................................
Тензорные координаты на эллиптических гипергеометрических
пространствах.....................................................
Гипергеометрические отображения...................................
Библиографические комментарии.....................................
4. Трансформационные свойства гипергеометрических решений разностного уравнения Книжника-Замолодчикова..........................
Трансформационные свойства решений уравнений qKZ..................
Тензорные координаты на гипергеометрических пространствах и
гипергеометрические отображения...................................
Трансформационные свойства гипергеометрических решений
уравнения qKZ.....................................................
Библиографические комментарии.....................................
5
11
11
12
13
15
16
20
21
21
22
25
28
30
35
36
36
36
41
45
48
51
55
57
57
58
63
65
2
5. Асимптотические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова.........................................................66
Асимптотические решения уравнения qKZ................................66
Асимптотики гипергеометрических решений уравнения qKZ и
сопряженного уравнения qKZ...........................................68
Асимптотики гипергеометрических интегралов от весовых
функций..............................................................73
Библиографические комментарии........................................76
6. Квазиклассические решения разностного уравнения Книжника-Замолодчикова и алгебраический анзатц Вете............................77
Квазиклассические решения разностных уравнений.......................77
Алгебраический анзатц Бете и собственные векторы
операторов qKZ.......................................................83
Критические точки фазовой функции....................................85
Интегральные представления для квазиклассических решений
уравнения qKZ........................................................88
Библиографические комментарии........................................94
7. Решения бетевских уравнений и полнота бетевских векторов .... 95
Постановка задачи....................................................95
Некоторые свойства решений бетевских уравнений.......................96
Решения бетевских уравнений при малых к..............................99
Доказательство Теорем 6.8 и 6.20.................................... 103
Библиографические комментарии....................................... 105
8. Янгиан У(0(дг) и рациональное разностное уравнение Книжника-Замолодчикова....................................................... 106
Представления алгебры JIu g[iV..................................... 106
Янгиан У(б1дг)....................................................... Ю7
Разностное уравнение Книжника-Замолодчикова, ассоциированное *
с q\n............................................................... 108
Векторнозначные рациональные весовые функции........................ 110
Формальные решения уравнения qKZ.................................... 115
Квазиклассические решения уравнения qKZ............................. 118
Доказательство Теоремы 8.3.......................................... 124
Библиографические комментарии....................................... 130
9. Неприводимые конечномерные представления янгиана У(0(дг)
с базисами Гельфапда-Цетлина........................................ 131
Подалгебра Гельфанда-Цетлина и образующие Дринфельда
янгиана Y(qIn)...................................................... 131
Ручные неприводимые представления У(0^)..............................135
Действие образующих Дринфельда в базисе Гельфанда-Цетлина. . . 139
Многочлены Дринфельда ручных представлений..........................145
Доказательство Теоремы 9.18..........................................148
Библиографические комментарии....................................... 151
Заключение...........................................................152
3
Приложения
A. Формулы для определителей, связанных с весовыми функциями, спариваниями Шаповалова и гипергеометрическим спариванием . 154
Тригонометрические весовые функции................................ 154
Эллиптические весовые функции..................................... 156
Спаривания Шаповалова............................................. 158
Гипергеометрическое спаривание.................................... 159
Библиографические комментарии..................................... 161
Б. ^-Интегралы Сельберга.............................................. 162
Библиографические комментарии..................................... 166
B. Гипергеометрическое тождество Римана для базисного гипергеометрического ряда.......................................... 167
Г. Асимптотика (м;р)оо ПРИ Р 1........................................ 171
Литература......................................................... 173
4
Введение
Дифференциальные уравнения Книжника-Замолодчикова (уравнения №) были введены в 1984 г. в работе [К%\ как уравнения для корреляционных функций в конформной теории поля на сфере. Уравнения KZ зависят от простой алгебры Ли $, параметризующей конформную теорию поля. Они представляют собой голономную систему дифференциальных уравнений на функцию и(г от п комплексных переменных 2Ь...,гп со значениями
в тензорном произведении У\ ® ... 0 Уп представлений алгебры Ли д:
ди \*
кд7- = ^
*1 г.3
Здесь к Ф 0 — комплексное число, П € д <8 д — тензор, отвечающий невырожденной билинейной форме на д, а элемент Пу € £/(д)0п есть образ £7
при вложении ^(д)02«“* С/(д)0п как тензорного произведения г-того и У-того сомножителей.
Уравнение К% играет исключительно важную роль в теории представлений аффинной алгебры Ли д и квантованной универсальной обертывающей алгебры ич(д), а также связанных с ними других алгебраических структур, в частности, аффинных алгебр Гекке, см., например, [Д5], [КЫ], .’КЬ2], [КБ], [Ц, [ЕК]. В частности, уравнению удовлетворяют матричные элементы сплетающих операторов для представлений аффинной алгебры Ли д.
Функция г(г) = С1/г, входящая в правую часть уравнений KZ, является простейшим примером классической г-матрицы — решением классического уравнения Янга-Бакстера. Это паблюдение можно обобщить следующим образом. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$ и
(0.1) «777 = У2гфг-Ху)и
&
с некоторыми функциями Гу(,г), удовлетворяющими условию кососим-
метричности
*•#(*) = — Г#*(—г) ■
Тогда условия совместности для системы уравнений (0.1) эквивалентны классическому уравнению Янга-Бакстера на функции г«(*):
[гу(и-я;),г<*(и)+г^(|»)] + [г^(п),г^(г;)] = 0.
Последнее наблюдение восходит к работе [44], см. также [СЬЗ]. Голономная система дифференциальных уравнений (0.1) также называется уравнениями KZ. В соответствии с характером зависимости функций гу(гг) от переменной г различают три основных случая: рациональный, тригонометрический и эллиптический.
5
Разностный аналог уравнений KZ — квантованные уравнения KZ (уравнения qKZ) был получен в работе [Ш] исходя из теории представлений квантовых аффинных алгебр. Уравнения qKZ представляют собой голономную систему разностных уравнений первого порядка, коэффициенты которой выражаются через некоторое решение квантового уравнения Янга-Бакстера. В частности, матричные элементы сплетающих операторов представлений квантовой аффинной алгебры Е/Ч(д) удовлетворяют уравнению qKZ, коэффициенты которого выражаются через универсальную Я-матрицу для ич($), см. [БII]. Аналогично уравнениям KZ различают три случая уравнений qKZ: рациональный, тригонометрический и эллиптический.
Подробное и последовательное введение в дифференциальные и разностные уравнения Книжника-Замолодчикова содержится в монографии [ЕГК].
Одним из центральных результатов относительно уравнения № является теорема Коно-Лринфельда о его группе монодромии. А именно, монодромия уравнения К2, ассоциированного с алгеброй Ли д, вокруг диагонали выражается через универсальную Я-матрицу для квантовой группы 1/д(д) с параметром q = Существует три подхода к доказательству теоремы
Коно-Лринфельда: аналитический [Ко1], [Ко2], алгебраический [Д5] и геометрический [8У2], рЗУЗ], [У2].
Локазательство Коно [Ко1], [Ко2] основывалось на разложении оператора монодромии в ряд, составленный из итерированных интегралов, и исследовании данного разложения. Дринфельд [Д5] формализовал алгебраические свойства функций перехода между асимптотическими решениями дифференциального уравнения и показал, что эти свойства однозначно определяют группу монодромии уравнения KZ, которая, в результате, не может быть ничем иным как Я-матричным представлением группы кос, отвечающей группе Вейля алгебры Ли д.
Основная идея геометрического доказательства состоит в том, чтобы представить уравнения № как систему дифференциальных уравнений для связности Гаусса-Манина некоторого локально тривиального векторного расслоения. В этом случае решения уравнения № параметризуются замкнутыми циклами в слое и задача о вычислении монодромии решений уравнения сводится к задаче о нахождении монодромии элементов соответствующей группы гомологий при их непрерывной деформации вдоль замкнутых петель на базе. Последняя задача оказывается прошепчем прямое изучение аналитического продолжения решений уравнения КЯ, и ответ на нее может быть получен в терминах Я-матриц. Для реализации этой программы решения уравнения KZ были построены в терминах многомерных гипергеометри-ческих интегралов [ЭУ1], рЗУ2], [ЭУЗ], [У2].
В случае разностных уравнений аналогом матриц монодромии дифференциальных уравнений являются матрицы перехода между так называемыми асимптотическими решениями разностного уравнения. Гипотетически, для матриц перехода между асимптотическими решениями уравнения qKZ должен иметь место аналог теоремы Коно-Лринфельда. Для рационального и тригонометрического уравнений qKZ, ассоциированных с алгеброй Ли я12 , такой результат был получен в работах [ТУЗ] и [ТУ4] соответственно. При этом было использовано квантование геометрического подхода к доказа-
6
тельству теоремы Коно-Дринфельда. Были построены решения уравнения qKZ в терминах многомерных интегралов гинергеометрического типа: при этом решения параметризуются элементами некоторого пространства функций, причем асимптотическим решениям соответствуют явно описываемые выделенные базисы в данном пространстве. С другой стороны, те же самые выделенные базисы позволяют отождествить рассматриваемое пространство функций с весовыми пространствами пекоторых представлений квантовой аффинной алгебры Uq(sl2) (в рациональном случае) или же эллиптической квантовой группы Ep^(sI2) (в тригонометрическом случае). Это позволяет вычислить функции перехода между выделенными базисами в пространстве функций, а значит, и функции перехода между асимптотическими решениями уравнения qKZ через соответствующие Д-матрицы.
Конструкция гииергеометрических решений уравнения KZ допускает красивую геометрическую интерпретацию в терминах канонического спаривания гомологий и когомологий конфигурационных пространств с коэффициентами в одномерных локальиых системах. В этой связи, построение гипергеомет-рических решений уравнения qKZ можно рассматривать как “квантование” данной геометрической конструкции, то есть, как своего рода пример некоммутативной геометрии.
Существует несколько разных подходов к построению гипергеометричес-ких решений уравнения KZ, см. [DJMM], [Mal], [Ch3], [SV2], [V2], с различными областями применимости. В случае алгебры Ли si2 все они приводят к одним и тем же формулам для гииергеометрических решений. Однако, в случае алгебры Ли старшего ранга окончательные формулы, вообще говоря, не совпадают, хотя и похожи друг на друга. Доказательство эквивалентности формул для гипергеометрических решений уравнения KZ, полученных разными методами, пока остается нерешенной задачей.
Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и четырех приложений. Первая глава носит вводный характер. В пей формулируются основные обозначения и даются необходимые предварительные сведения относительно квантовой группы Uq(Bi2) > квантовой алгебры петель Uq(g 12) и эллиптической квантовой группы EPn(sI2). Здесь же описан основной объект исследования в диссертации — тригонометрическое уравнение qKZ, ассоциированное с алгеброй Ли SÏ2, см. (1.15), (1.17). Оно представляет собой голономную систему разностных уравнений для функции 4f(zu...tZn) от п комплексных переменных Zi,.. .,zn со значениями в тензорном произведении Vî<g>.. .<8>Vn представлений квантовой группы Uq(sl2) ■
Для построения ^-гипергеометрических решений изучаемого уравнения qKZ используются многомерные интегралы специального вида, для описания которых во второй главе вводится так называемый базисный гипергеомет-рический интеграл, а также некоторые конечномерные пространства функций: тригонометрические и эллиптические гипергеометрические пространства. Базисный гипсргеометрический интеграл задает (певырождеииое в ситуации общего положения) спаривание тригонометрических и эллиптических гипергеометрических пространств — гипергеометрическое спаривание. Последнее можно рассматривать как деформацию спаривания дифференци-
7
альных форм и циклов посредством интегрирования форм по циклам; функции из тригонометрического гипергеометрического пространства отвечают дифференциальным формам, а функции из эллиптического гипергеометрического пространства — циклам. Помимо гипергеометрического спаривания определяются спаривания Шаповалова для тригонометрических гипергео-метрических пространств и для эллиптических гипергеометрических пространств. Гипергеометрическое спаривание и спаривания Шаповалова согласованы друг с другом, что выражает гипергеометрическое тождество Ри-мана, см. Теорему 2.10.
В третьей главе с помощью гипергеометрического спаривания строятся ги-иергеометрические решения уравнения цКТ, и сопряженного уравнения сЦКЪ (см. (1.19)). При этом важную роль играют специальные базисы в тригонометрических и эллиптических гипергеометрических пространствах, соответственно заданные тригонометрическими и эллиптическими весовыми функциями. Эти базисы определяют тензорные координаты на гипергеометрических пространствах, которые позволяют отождествить гипергеометрические пространства с весовыми пространствами в тензорном произведении У\ ® ... ® Уп представлений квантовой группы 5^) в тригонометрическом случае и в тензорном произведении У*®.. .®У^ представлений эллиптической квантовой группы #р,7(з 1г) в эллиптическом случае; при этом базисы весовых функций в гипергеометрических пространствах соответствуют мономиальным базисам в тензорных произведениях. Композиция гипергеометрического спаривания с тензорными координатами задает гипергеометрическое отображение
которое играет важную роль при изучении свойств гипергеометрических решений уравнения (\1^.
В четвертой главе изучаются трансформационные свойства гипергеометрических решений уравнения qKZ и гипергеометрического отображения при перестановках сомножителей в тензорных произведениях У\ ®... ® Уп и V* ® ... ® У£ . В ней показано, что конструкция гипергеометрических решений уравнения qKZ функториальна по отношению к перестановкам тензорных сомножителей в У\ ® ... ® Уп , см. Теорему 4.7, а гипергеометрические отображения
1т,т' : Кте,®...®уте, -> УГ1 ®...®УТп
для различных перестановок т,т' связаны друг с другом посредством умножения на надлежащие произведения тригонометрических (слева) и динамических эллиптических (справа) Я-матриц. см. (4.11).
В пятой главе описаны асимптотические зоны и асимптотические решения уравнения qKZ. Асимптотические зоны параметризуются перестановками т € 8П; асимптотическая зона Аг имеет вид
Ат = {г <= С | 12Гт /^гт+11 ^ 1 т = 1,..., п — 1} , см. (5.1). Показано, что гипергеометрические решения, отвечающие эллип-
8
тическим весовым функциям {И^}, и, тем самым, мономиальному базису в тензорном произведении ® ® образуют асимптотическое реше-
ние уравнения qKZ в асимптотической зоне Ат , см. Теорему 5.1 и Следствие 5.2. Таким образом, функции перехода между асимптотическими решениями уравнения qKZ, отвечающими различным асимптотическим зонам, определяются трансформационными свойствами гипергеомстричсских решений и выражаются через динамические Я-матрицы для эллиптической квантовой группы Ер^(в[2).
В шестой главе изучаются решения уравнения qKZ при бесконечно близком к единице мультипликативном шаге уравнения — квазиклаесические решения уравнения qKZ. Построение квазиклассических решений непосредственно связано с алгебраическим анзатцем Бете — методом построения собственных векторов коммутирующих законов сохранения для интегрируемых квантовых систем на одномерной решетке. Получены интегральные формулы для квазиклассических решений уравнения qKZ и с их помощью дано новое доказательство детерминантной формулы Годена-Корепина для норм бетев-ских собственных векторов. Последнее доказательство опирается на полноту бетевских векторов, которая доказана в седьмой главе.
Следует отметить, что вопрос о полноте бетевских векторов изучается уже очень долго, но во всех известных автору работах, см. например [ТФ], [К1], [К2], [KL.il], [КІЛ2], используется то или иное априорное нредноложение о характере поведения решений бетевских уравнений. Основным таким предположением является так называемая струнная гипотеза, которая, в действительности, нарушается даже при рассмотрении качественной картины решений бетевских уравнений [ЕКБ]. Мотивированные струнной гипотезой доказательства комбинаторной полноты бетевских векторов привели к богатейшим результатам и новым методам (комбинаторный анзатц Бете и метод оснащенных конфигураций, см. [КЗ:, [К4]) в комбинаторике, но они, к сожалению, пе пригодны для целей диссертации. Было бы крайне интересно найти точки соприкосновения между результатами о комбинаторной полноте бетевских векторов и результатами о полноте бетевских векторов, полученными в диссертации.
В восьмой и девятой главах исследуются задачи, связанные с алгеброй Ли дід. Лля упрощения изложения мы ограничиваемся рассмотрением рационального случая. В восьмой главе изучаются интегральные представления для решений уравнения qKZ, ассоциированного с алгеброй Ли дід,-. Построены формальные решения уравнения (\К2 и решения для бесконечно малого аддитивного шага уравнения — квазиклаесические решения. Лля построения гипергеометрических решений уравнения qKZ из формальных решений необходимо найти надлежащий контур интегрирования для гипергеометрического интеграла, что пока остается открытой задачей.
Построение квазиклассических решений уравнения qKZ в случае алгебры Ли дід непосредственно связано с иерархическим анзатцем Бете — методом диагонализации трансфер-матриц соответствующих интегрируемых моделей. Трансфер-матрицы порождают максимальную коммутативную подалгебру в янгиане Т(д1дг) — бетевскую подалгебру. В некотором предельном случае бетевская подалгебра переходит в подалгебру Гельфанда-Цетлина, порож-
9
денную центрами последовательно вложенных янгианов
ГШ ^ У(0|2) УШ.
Эта последовательность вложений индуцирована последовательностью стандартных вложений алгебр Ли *-4 дГ2 «-4 ... <-» д1Лг. Подалгебра Гель-фан да-Цетлина также является максимальной коммутативной подалгеброй в
УШ ■
В девятой главе изучены конечномерные представления янгиана У (д^) > в которых подалгебра Гельфанда-Петлина действует полупросто; такие представления назовем ручными. Собственный базис действия подалгебры Гель-фанда-Цетлина в ручном представлении называется базисом Гель фан да- Цет-лина данного представления. Получено полное описание ручных неприводимых представлений У(01дг) и показано, что в ручных неприводимых представлениях действие подалгебры Гельфанда-Петлина имеет простой спектр.
Приложения А и Б диссертации содержат некоторые дополнительные результаты относительно весовых функций и гипергеометрических интегралов и, фактически, могут считаться добавочными главами диссертации. В частности, там даны явные формулы для некоторых определителей, являющихся многомерными деформированными аналогами определителя Вандермонда, а также для определителей некоторых матриц, составленных из гипсргсомстри-ческих интегралов. Последние формулы являются обобщением формул для определителей матриц, составленных из “непрерывных” гипергеометрических функций [В2], [В2], [ВЗ].
Приложение В содержит тождества для базисного гипергеометрического ряда п<Рп_1 , следующие из гипергеометрического тождества Римана. В приложении Г доказана одна из формул, используемых в шестой главе.
10
Глава 1
Разностное уравнение Кпижника-Замолодчикова
Представления квантовой группы Uq($l2)
Пусть q ф О — комплексное число, не являющееся корнем из единицы. Рассмотрим квантовую группу (/<у(я12) с образующими E,F,q±l1 и соотношениями
qHq-H = q-HqH=li
qHE = qEqH, qHF = q~lFqH ,
2H _ -2я
[E,F] = I %j-.
<i-q 1
Коумножение Д : t/g(5[2) -> 0g(*I2) ® r9(s(2) задано следующими формулами:
A(qH) = дя 0 г;я, Д(«ГЯ) = ®
Д (Е) = Е<& q~H + q11 0 Е, Д(-Г) = Г 0 <7-я + qH 0 F.
Оно задает структуру C/4(sl2)-модуля в тензорном произведении ^(efeJ-MO-дулей.
Пусть Uq(з12)-модуль V допускает весовое разложение:
V = ф V\ , dim V\ < оо.
л
Обозначим через V* = ф V£ его ограниченное сопряженное пространство.
А оо
Пусть V — представление Uqish) со старшим весом qA, и У = ф Гд_*
i=0
— его весовое разложение. Для всякого д € С определим оператор иА~н € End (Г) стандартным образом: uA~Hv = д*д для любого д € V\-i •
Пусть Vi,...tVn — представления Uq(s 12) со старшими весами gAl,..., qAn, соответственно. Тензорное произведение Vj 0... 0 Vn имеет весовое разложение
оо
Vi®...®Kn = 0(Vi®...®Vn)^
. ТГ \ ^ ^ Ат ^
где (Г10...0 кп)^ ооозначает весовое подпространство веса g"»=1 Рассмотрим подпространства особых векторов:
(1.1) (V10...<2>Vn)9eing = {v<=(Vl®...®Vn)t \Ev = 0}, а также подпространства
(1.2) (Vi ® ... ® Vn)£* = {*€(Vi®...®Vn)< | Я2д = 0},
11
векторов, аннулируемых оператором
п
(1.3) Ег = ...®<;я,
т=1
зависящим от точки (гі,...,гп) е С". Оператор Е находится на га-том месте. Мы будем называть подпространства (У\ 0 ... 0 КО?”* и (Уі ® ®
сингулярними подпространствами.
Квантованная алгебра петель £/'(д[2)
Квантованная алгебра пете.аь ия($ 12) — это унитальная ассоциативная алгебра с образующими Ь\*°\ 1 < г < 2, и ь\*\ г,.? = 1,2, в =
±1,±2,... , удовлетворяющими соотношениям (1.4), (1.5).
Обозначим через матрицу 2x2 с единственным ненулевым матричным элементом, равным 1, на пересечении г-той строки и ^'-того столбца. Положим
Я{х) = (хд - д~1) (ец 0 еп + е22 ® е22) +
+ (х- 1)(ец 0е22 + е22 0ец) + х(д - Я~1)сі2 ®е21 + (д - Я~')Є2\ 0Є12.
Введем производящие функции 1&(и) = Соотношения в
<*=1
алгебре {/9(д(2) имеют вид:
(1-4) 4+0)4г0) = і. 4'0)4+0) = і. > = 1,2,
(1.5) Щх/у)^^) Ь{2)(у) = Ь^^Ь^фЩх/у),
Щх!у)Ці)(*)ір)(») = Ь(2)(у) Я.(х/у),
II(х/у) Ьщ(х)= ^(2)(У)Ьщіх)Я(х/у), где 1(±1)(и) = ^;еу®1®Ь1*(и) И і^,(и) = І]1®еу(8іХ^(и).
Элементы 1,£0)4!0>, 420)4Т0). 4ї0)4а0)> 4а0>і<ії0) центральны в алгебре Г/д(0(2) • Наложим следующие соотношения:
г(+0)г(+°) _ 1 г (+0) ж (+0) _ . Г (-0) , (-0) _ . г(~°)/(-0) _ і
"П ^22 ~ ^22 ^11 — А> ^11 ^22 — А> 22 ^11 — А>
в дополнение к соотношениям (1.5) и обозначим соответствующую фактор-алгебру через С/'(0І2) • Квантованная алгебра петель С/^(д12) является алгеброй Хопфа с коумножением Д : £/'(д 12) -» С/д(дТ2) 0 £^(дї2):
Д : £*(и) і-> ^ (и) 0 Ь±.(и).
12
Она обладает однопараметрическим семейством автоморфизмов
А,: ЩШ Ч(вЦ) . Рх : Ь$(«) Щи/х).
Алгебра £^(д12) содержит £/<,(5(2) как подалгебру Хопфа; вложение имеет вид:
я - 410>/(9 - 9'1) - ^ -» ^1;0)/(? ~ Г') . ЯН ^п0> •
Существует также обратный гомоморфизм б : £/'(д12) -> {/«7(0(2):
7~я - дни —1?(д — д~1) и
(1.6) б :Ь+(и)^
-E(q - q *) q11 — q Hu
где ^(и) = ® ^у(*0 . При ограничении на подалгебру ^(б12) автомор-
*к?
физмы рх и гомоморфизм е становятся тождественными отображениями.
Для любого представления V алгебры {/д(б12) обозначим через К(х) представление алгебры £/'(д 12), полученное из У с помошыо гомоморфизма € о рх . Представление вида У(х) мы будем называть элементарным представлением* алгебры {/'(д(2). Рассматриваемое как {/д(б(2)-модуль оно совпадает с исходным £/д(б12)-модулем V.
Замечание. Существует другое вложение {/4(0(2) в как подалгебры
Хонфа:
Б н- 4т1)/(в - <Г1) - Р -* - Щ/(ч - <Г1), 9я -+ £&0) •
Оператор /?* , см. (1.3), является образом элемента Е в тензорном произведении элементарных представлений УЦгх) ® ... ® Уп(хп), снабженном структурой {/«Дб^-модуля в соответствии с этим вложением.
Тригонометрическая Д-матрица
Пусть Рх, Рг — модули Верма алгебры {/<7(5(2) со старшими векторами VI,нг и старшими весами дЛ|, дЛа соответственно. Как известно, (/д(0(2)-мо-дули Р1(ж) ® Р2(з/) и Р2(у) О Рг(^) изоморфны и соответственно порождены векторами VI ® V2 и V2 ® VI, если параметры х, у находятся в общем положении, Болес того, сплетающий оператор У\{х) ® Р2(?/) н► Р2(у) ^(х)
определен однозначно с точностью до нормировки, которую мы зафиксируем условием V! ® 1>2 >-> V2 ® VI. Нормированный сплетающий оператор имеет
К сожалению, общепринятое название evaluation representation не поддается благо звучному переводу на русский язык.
13
вид Руху2Яуху2{х/у), где Ру^ : У1 ® У2 —> Уъ ®У1 — оператор перестановки, а Луху^(и) — мероморфная функция и со значениями в ЕпсЦЦ®!^). Функция Луу2{и) называется тригонометрической Я-матрицей для тензорного произведения У\ ® У-2 .
Тригонометрическая Л-матрица однозначно определяется условием
(1-7) Яу,* (х) VI ® У2 = VI ® 1)2
и соотношениями
(1.8) Руху,(х)(Р®я-п + Ян®Р) = (Р®Ян+д-И®Г)11у1у2(х),
РугУ2(х){Р®ПН + ХЯ~Н®Я) = (Л®?“я + х$я® Р)ЛУ1у2(х),
выполняющимися в Н)пс1 (1^01/2). Она также удовлетворяет следующим соотношениям:
(1.9) Яу1У'(х)(Е®д-н+чн®Е) = (Я®9"+<Гй®£)Дцу».
Яу,у,(*)(*Я® ЧН + Ч~" ® Е) = {хЕ®я~н + <?я ® Е)Ну^(х),
(1.10) Пум(х)1Н ®<>Н = 4И® ЯИ&у,у2(х)-
В частности, КухУ (х) сохраняет все весовые подпространства ия(б 12)-модуля У1®72.
Тригонометрическая Л-матрица удовлетворяет инверсионному соотношению
0*11) Рух у2 Яу, у2 (х) = (Яу2У1(х *)) Рулу2
и уравнению Янга-Бакстера
(1.12) Яуху2(х/у)ЯУ1 уз(х)Яу2уз(у) = Яу2ул(у) Яуху^(х)Яуху2(х/у).
Разложим Г/<7(в12)-модуль У\ ® Т2 в прямую сумму неприводимых пред-
оо
ставлений Ц® Т2 = © У^ ) где неприводимое представление У(Р порождено
1=: 0
особым вектором веса ^Лг+Л2~1. Обозначим через проектор на подпространство У^ параллельно остальным слагаемым. Тогда мы будем иметь:
оо /—1 2я — 2Л*— 2А?
(1.13) ЛЦУа(х),= ЯУ1у2(оо) П(0 • П х ’
;=0 ■ в=0 4
где
01 к
= я2А'А'-2Н*н^(я2-')2кП(1-я29Г1(я-ИЕ®янР)к.
к=0 5==1
Все описанные свойства тригонометрической Л-матрицы Л^ ^ (х) хорошо известны; например, см. [Т1], [Л4], [Б], [Л], [СР].
14
Тригонометрическое разностное уравнение Книжника-Замолодчикова, ассоциированное с 5(2
Пусть КЬ...,КП — модули Верма со старшими весами 0Л1, .--»Я соответственно. Пусть 11уу,(х) — тригонометрические Д-матрицы. Определим операторы Я^(х) € ЕпсцКх ® ... 0 Уп) стандартным способом:
(1.14) Яц(х) = ^2 ^ ® ® г(х) ® • • • ® т'(х) ® ... ® 1(1,
считая, что Яу.у.(х) = ^2г(х) 0/(а?) 6 Бп<1(Ц 0 V}). г(х) и г'(#) находятся на г-том и 7-том местах, соответственно. Для всякого X € С/^(я[г) положим
Хт = 1<10 ... 0 X 0 ... 0 1(1.
т
Зафиксируем непулевые комплексные числа р,к. Введем разностные операторы. Книжника-Замолодчикова (операторы цК7) К 1(2:),..., /Сп(2:) :
(1.15) ^т.(^1 I • • • > %п) = ^т,т—1{р^т/^т—1)'т'^т,1(р^т/^1)к т т X
х Кт,п(гт/%г») • • • Кт,т+\(%т/^ти+1) • Теорема 1.1. [Ш] Операторы. цК7 удовлетворяют условиям совместности
(1.16) ^(2Ь * • •, • • • > гп)-^т{г1> • • ■ > гп) =
= > Р^> • • • > ^п) > ^п) >
1,т = 1,... ,п.
Разностным уравнением Книжника-Замолодчикова (уравнением С{К7>) для функции Ф(а?1,..., гп) со значениями в тензорном произведении У\ 0 ... 0 Уп называется следучощая система разностных уравнений [Ш]:
(1.17) Ф(21,...,ргт,.,.,гп) = Кт(г ь...,гп)Ф(гь ...,*„), т= 1 ,...,п.
Принято также говорить об уравнении с\К7, ассоциированном с квантовой группой ич(5\2), либо о тригонометрическом, уравнении qKZ} ассоциированном с алгеброй Ли 5^2 •
В силу (1.10) операторы К\(г)л..., Кп(г) коммутируют с действием элемента в У\ ® ... ® Уп :
[Кт(г г,-..,гп),уИ] = 0, т = 1,...,п,
и, следовательно, сохраняют весовое разложение пространства 0.. .0 Уп . Поэтому допустимо рассматривать решения уравпения qKZ со значениями в заданном весовом подпространстве.
Зафиксируем неотрицательное целое число I. В дальнейшем мы интересуемся решениями уравнения qKZi принимающими значения в весовом подпространстве (V-! 0 ... ® Уп)е.
15
2 ^ Лщ—2£+2
Если к = д т=1 , то сингулярное подпространство (Ух ® ... ® Уп)*™9
инвариантно относительно операторов qKZ, и допустимо рассматривать решения уравнения qKZ со значениями в этом сингулярном подпространстве.
, -2ЕЛт + 2£-2
Аналогично, если к = р V/ "*=* , то допустимо рассматривать решения уравнения qKZy такие что при данном г = , 2П) значение решения
принадлежит сингулярному подпространству (Ух ® ... ® УпУУ™9 •
В главе 3 решения уравнения цКЪ со значениями в (Ух ® ... 0 Уп)е будут построены в виде 1-мерных базисных гипергеометрических интегралов с основанием р, причем для упомянутых специальных значений параметра н значения полученных решепий будут лежать в соответствующем сингулярном подпространстве, см. Теоремы 3.20, 3.21.
Обозначим через (г),..., К* (г) операторы, сопряженные к операторам
qKZ (1.15):
(Ы8) = (ЛГт(;я,..., *,))*.
Сопряженным уравнением пазывается система разностных уравнений
(1.19) Ф (^х,..., гп) = Кт(ги..., гп) Ф (гх, •. •}рхТт • • •»%п) ? ш = 1,...,л.
Нас будут интересовать решения сопряженного уравнения qKZy принимающие значения в пространстве (Ух®.. .0Уп)*, сопряженном к весовому подпространству (Ух ® ... ® Уп)1. Они также могут быть построены в виде многомерных базисных гипергеометрических интегралов, аналогично решениям уравнения qKZ со значениями в (Ух 0... ® Уп)1.
Пусть Ф(г) и Ф'(г) — решения уравненя qKZ и сопряженного уравнения qKZ, соответственно. Обозначим через {,) каноническое спаривание. Очевидно, что функция Г(г) = (Ф'(^),Ф(-г)} является квазиконстантой, т.е. р-пе-риодической функцией переменных г\,..., гп :
Г{г\,... ,р2т,..., гп) = Р[г х,...,2п), т= 1,...,п.
Для гипергеометрических решений ^д(г) и Ф'д,(г) соответствующих уравнений квазиконстанта (Ф^(г), Ф9(г)) будет вычислена явно, см. Теорему 3.19.
Представления эллиптической квантовой группы Ерл{512) и динамические эллиптические Д-матрицы
Результаты этого раздела заимствованы из работ [Ке1|, [Ре2], [РУ2], [ГТУ1].
Зафиксируем комплексные числа р, 7, так что 1т р > 0. Положим р = е2*гр И ?) = . Пусть
вы = п (1-А){1-р‘+1и-‘)(1-р*+1)
/с=0
— тэта-функция Якоби. Определим следующие функции:
«(*,А) = , «*,А) = -}Г'ЩХХ)
0{г)х)0(\) ’ 1 ' 9(т)х)в{А) '
16