Оглавление
1 Введение 8
1.1 Возмущения в гравитационных теориях, космологических
и астрофизических исследованиях .......................... 8
1 2 Законы сохранения в ОТО и других метрических теориях.
Обзор ................................................... 13
і Проблема энергии в работах Эйнштейна . ... 14
и Два направления в построении законов сохранения
в ОТО...............................................17
пі Многообразие подходов 20
1.3 Мотивация и результаты исследования.......................29
і Актуальность темы и цель работы . . . .29
її Постановка задач и структура изложения ... 31
ііі Результаты, вынесенные на защиту ............. 40
IV Обозначения ........................................42
2 Теоретико-нолевой подход в гравитации 45
2 1 Развитие полевой формулировки ОТО . . ... 48
і Геометрические и нолевые теории.................... 48
и Ранние возмущенные формулировки ОТО............48
іи Формулировка Дезера................................ 51
IV Обобщение модели Дезера ............................52
V Принципы построения................................ 53
2
2 2 Точная теоретико-полевая формулировка ОТО и других
метрических теорий гравитации ............................57
1 Динамический лагранжиан в ОТО . . . . 57
и Возмущенные уравнения Эйнштейна . . 61
III Симметричный тензор энергии-импульса для возмущений в ОТО на различных фонах...........................63
\у Калибровочные преобразования и их свойства . 65
V Различные определения метрических возмущений в
ОТО................................................ 75
VI Возмущенная формулировка произвольной метрической теории..............................................78
2 3 Полевая формулировка ОТО из „локализации11 фоновых
векторов Киллиига.........................................82
1 Теория гравитации как калибровочная теория . 82
п „Локализация“ векторов Киллиига .....................84
П1 Полное действие..................................... 90
IV Обсуждение . 91
2 4 Космологическая постоянная как константа интегрирования 94
3 Асимптотически плоское пространство-время в ОТО 101
3 1 Краткий обзор и обоснование для исследования ... .101
1 Актуальность модели................................. 101
н Полевой подход в исследованиях изолированных си-
(тсм ... . 103
ш Интеграл центра масс в различных определениях 106
3 2 Лаграпжево описание в терминах полевой формулировки 109 1 Определение асимптотически плоского пространства-
времени ............................................ 109
и Глобальные сохраняющиеся величины.................114
1И Условия четности.....................................119
3
iv Калибровочная инвариантность интегралов движения ..................................................... 121
v Обсуждение результатов. . 127
3 3 Гамильтоново описание в терминах нолевой формулировки 135
1 Канонические и симметричные токи и соответсвую-
щие интегралы..................................... 136
в Асимптотика материальных переменных.................138
in Глобальные сохраняющиеся величины...................141
iv Пуанкаре-инвариантность и выбор асимптотического поведения..............................................146
v Калибровочная инвариантность интегралов движения ......................................................149
3.4 Интеграл центра масс в канонической ОТО . . . 155
i Момент Лоренца в полевых теориях в пространстве
Минковского и в гравитации ........................155
ii Асимптотическое поведение метрики...................158
ш Интеграл Бига-О’Мерхайи и асимптотические сценарии . 159
iv Основные тождества..................................161
v Построение hу и различные координаты................166
VI Изометрическое вложение в плоское пространство
„слегка“ деформированной 2-сферы . .168
vii Калибровочные преобразования и эквивалентность
интегралов энергетического сектора гамильтониана 174
4 Точные сферически симметричные решения в ОТО. Проблемы интерпретации 179
4 1 Ненаблюдаемость фона в полевой формулировке ... 183
4 2 Решение Шварцшильда в гармонических координатах и
полевой подход ... . 188
4
I О гармонических координатах в ОТО . . . 188
н Новые гармонические координаты для решения Шварц-шильда ... 189
ш Траектории частиц и калибровочные преобразования 193
4.3 Распределение энергии в изолированных системах . . . 196
1 Проблемы интерпретации шварцшильдова решения 196
п Плотность энергии для статического сферически симметричного решения Общие выражения . . . 202
1И Обычное изолированное тело ... . 203
IV Решение Шварцшильда . 206
V Черная дыра Шварцшильда как точечная частица 210
VI Решение Рейснера-Нордстрёма.............................. 217
уп Обсуждение . . . ... 223
Суперпотенциалы в ОТО 229
5 1 Классические псевдотензоры и суперпотенциалы * обзор, свойства, проблемы ...................................... 233
1 Псевдотензор Эйнштейна .................................. 233
п Суперпотенциал Тол мена...................................234
ш Суперпотенциал Фрейда .............................. ... . 235
IV Вопрос единственности и процедура Нетер . . . 236
V Суперпотенциал Мёллера....................................237
VI Роль супериотеициалов в построении глобальных
величин . .... . . . 239
VII Проблемы псевдотензоров и возможный способ решения . . 240
\чи Другие суперпотенциалы ...................................242
5 2 Обобщенный суперпотснциал Фрейда................................ 250
1 Законы сохранения Каца-Бичака-Линден-Белла . 251
н Суперпотенциал Каца-Крушциела. . . 252
1П Сохраняющийся ток КБЛ...............................253
5 3 Классический метод Белинфантс........................... 255
1 Угловой момент в полевой теории и процедура Бе-
лиифаите ... . 255
п Теорема Нетер и метод Бслинфанте ... . 256
5 4 Процедура Белинфантс в ОТО на произвольно искривленном фоне ....................................................260
1 Обоснование использования метода Бслинфанте в
модели КБЛ.........................................260
и Приложение метода Белинфанте к модели КБЛ . 262
ш Свойства новых законов сохранения...................263
5.5 Обобщенные законы сохранения с симметричным тензором
энергии-импульса 266
1 Проблемы симметричной возмущенной формулировки ОТО ..................................................266
п Метод Нетер и суперпотенциалы в симметричном
подходе.......................................... 268
1П Слабые законы сохранения, сравнение с результатами метода Белинфанте. . . .... 272
5 6 Неопределенность Боульвара-Дезера в определении суперпотенциалов и ее разрешение................................. 276
1 Семейс тво супернотсициалов в симметричном подходе276
н Критерий для выбора супериотенциала . . . 279
6 Некоторые применения новых законов сохранения 282
6.1 Линейные возмущения в космологических моделях Фридмана ........................ . 286
1 Конформные векторы Киллинга для решения Фридмана ............................... . 286
и Интегральные соотношения для возмущений . . . 290
1п Использование и интерпретация новых интегральных соотношений . . 293
6 2 Изолированные системы на изотропной бес конечности 296
1 Ас имптотическая метрика Ныомена-Уити . 296
п Интегралы движения на нулевой бесконечности . 299
П1 Суперпотенциал Абботта-Дезера на нулевой бесконечности ......................................................302
7 Законы сохранения в произвольной /7-мерной метрической теории гравитации 305
7 1 Канонические и Белинфантс симметрированные сохраня-
ющиеся величины. Проблема единственности...............306
1 Включение вспомогательной метрики ................306
п Обобщенные канонические ток и сунерпотенциал 308
III Проблема единственности в определении канонических токов и супсрпотенциалов . . . . 310
IV Обобщенная процедура Белинфантс.....................313
7 2 Сохраняющиеся величины в симметричной формулировке
возмущенной теории ....................................316
7 3 Приложения в /7-мерной модели Эйнштейна-Гаусса-Боне 319
1 Белинфанте симметризованный суперпотенциал 319
п Масса черной дыры Шварцшильда-анти-де Ситтера 321
8 Заключение 324
7
Глава 1
Введение
Во Введении отражены основные направления в исследовании возмущений, как в общей теории относительности (ОТО), так и в других теориях гравитации, в исследованиях по космологии и релятивистской астрофизике Дана постановка задач и представлены результаты, вынесенные на защиту Стиль Введения не отягощен математическими подробностями и частными обсуждениями Причина в юм, что каждая и-* Глав диссертации, а также некоторые из Разделов, снабжены необходимыми обзорами результатов предшественников, на которые активно ссылается автор и которые развиваются Поэтому здесь, в общем Введении, мы часто ссылаемся на соответствующие места в основном тексте.
1.1 Возмущения в гравитационных теориях, космологических и астрофизических исследованиях
Во многих задачах современной космологии и релятивистской асторофи-зики изучаются возмущения в фоновом пространстве-времени Теоретические исследования по гравитации также часто проводятся в предположении, что существует заданное пространство-время, на фоне которого распространяются возмущения |1, 2, 3, 4]. В качестве гравитационной теории главным образом используете я ОТО Однако, в последнее вре-
8
мя все чаще рассматриваются другие метрические теории гравитации как в 4-мсрии, так и в других измерениях. Фоновое пространство-время может быть плоским, но часто оно искривленное и представляет собой какое-либо известное решение гравитационной теории, например, космологическое или решение для черных дыр Рассматриваются как классические, так и квантовые возмущения, как материальные, так и метрические, в том числе гравитационные волны. В какой-то степени в качестве учебников для изучения квантованных полей на искривленных фонах можно рекомендовать книги [5, 6] Так, ДеВиттом [6) был развит специальный „метод фоновых полей“ для трактовки различных квантованных нолей на фоне классических фоновых решений Само ис следование состоит в изучении эволюции возмущений их генерации, распространения, устойчивости, взаимодействия Нет возможности привести хоть сколько-нибудь полную библиографию по этому поводу Ниже, чтобы проиллюстрировать некоторые направления, где используется фоновое пространство-время, приводим некоторые современные работы, конечно, тоже только малую их часть.
Классические и квантовые поля на космологических фонах:
Начиная с программной статьи Лифшица [7] рассматривались и рассматриваются классические космологические возмущения на фридмановских фонах Невозможно сослаться на все соответствующие работы, упомянем хотя бы следующие [8] - [12], можно рекомендовать очень полезный обзор Муханова, Фельдмана, Брандербергера [13]. Что касается конкретно теории Лифшица, то важно сослаться на работу Лукаша [14] где идеи Лифшица были доведены до логического конца а) построена калибро-вочно инвариантная теория возмущений, б) введен канонический скаляр скалярных возмущений, в) построены лагранжева и гамильтонова тео-
9
рии возмущений, г) построена квантовая теория скалярных возмущений, д) введены понятия конформной неинвариантности скалярных возмущений в модели Фридмана и спонтанного рождения фононов [квантовых скалярных возмущений] в расширяющейся вселенной. В качестве интересных недавних работ, где используются решения Фридмана, отметим следующие С помощью квази-изотропных разложений исследуются незатухающие большие моды адиабатических и подобных кривизне скалярных возмущений и гравитационных воли вблизи космологической сингулярности [15,16]; предложен подход, в котором интегралы фридма-новской космологии представлены в виде единых времени независимых характеристик как для вакуумных, так и невакуумных форм космологической энергии [17].
В работах [18] - [26] исследуется эволюция квантованных полей [в том числе гравитационных и электромагнитных] на определенного класса искривленных фонах в эйнштейновской гравитации. В качестве такого фонового пространства-времени рассматриваются специального вида глобально гиперболические, статические, обладающие группой движений, и тд, решения; либо необычные точные модельные решения, либо известные точные космологические решения, такие как фридмановское, де ситтеровское, или Бианки того или иного типа. В рамках квантовой космологии рассматриваются квантовые возмущения на классических космологических фонах [27] - [29]. Рассматриваются также классические поля и частицы на произвольно искривленных фонах [30, 31]. Не ослабевает поток работ в исследовании космологических возмущений на ранней инфляционной стадии [32] - [37] Важными оказываются нелинейные возмущения и их эволюция от инфляции к поздним стадиям, см недавний подробный обзор [38]
В последнее время бурный интерес вызывают многомерные модели с браиами [39] - [46], см очень полезный обзор Рубакова [47]. Важные
Ю
\
и интересные результаты получены группой Мельникова [48] - [51]. В отношении этих исследований /^-мерная теория гравитации Эйнштейна-
Гау<са-Воне пользует«я особенной популярностью, см. недавние обзоры
\
[52, 53]. Возмущения в этих моделях также интенсивно изучаются, причем особое внимание уделяется обмену энергией между бранями и окружающим многомерным пространством |54] - [57]
Рассматриваются космологические во шущения на фонах соответствующих обобщенным вариантам эйнштейновской гравитации [61], в струнных космологиях (62], на фонах новых космологических решений ОТО Недавнее открытие современного [не инфляционного] ускоренного расширения [см интересный и полезный обзор [63] Чернина] также стимулирует многие исследования Само расширение стало моделироваться в рамках скалярно-тензорных теорий [64], см , например, [65], или гравитации Эйнштейна-Гаусса-Боне, которая таже модифицируется [6б| А на фоне точных решений таких теорий рассматриваются возмущения Идет поиск новых космологических решений и в стандартной ОТО, но с экзотическими наполнителями, такими как квинтэссенция [67].
Классические возмущения в фоновом пространстве-времени, представленном решениями для черных дыр:
Модели черных дыр являются одними из самых важных в современных космологии и астрофизике, поэтому их изучение продолжает быть очень интенсивным. На фоне самых общих решений для черных дыр исследуется эволюция метрических возмущений, а также устойчивость этих решений относительно возмущений [68] - [71]; рассматриваете я распространение, усиление и рассеяние массивного и безмассового скалярного ноля [72] - [75] Очень важным является изучение распространения гравитационных и электромагнитных волн на фоне черных дыр [76] - [79].
И
Решения для заряженных и вращающихся черных дыр рассматриваются как помещенные в пробное внешнее классическое поле, изучается поток внешнего поля через центральную дыру, а также влияние пробных полей па точное решение [80) - [81]
Квантовые эффекты в сильно искривленном фоновом пространстве-времени:
Прежде всего, продолжается активное исследование различных свойств излучения Хоукинга в гравитационном иоле разного вида черных дыр (82) - (87); рассматривается взаимодействие излучения Хоукинга с квантовыми метрическими флуктуациями (88) Рассматривается вакуумная поляризация различных нолей, например, на фоне '-экзотических черных дыр [89), в поле ко< мических струи (90), под горизонтом черных дыр [91), рассеяние квантовых частиц на фоне черных дыр [92]
Генерация и распространение гравитационных волн:
В связи с интесивиым развитом техники детектирования гравитационных волн эта область теоретической гравитационной физики также развивается чрезвычайно интенсивно, об этом, в частности, можно узнать из недавнего обзора [93|. Могли бы детектироваться гравитационные волны самого разнообразного происхождения [94, 95). В силу этого, анализируются самые разные источники Так, рассматриваются, конечно, двойные системы (96) - [98], модели с несимметричными орбитами пробных частиц вокруг нейтронных звезд и черных дыр [99,100); возможные флуктуации космических магнитных полей [101, 102); асимметрия астрофизических объектов [103, 104), включая вращающиеся нейтронные звезды с различными модами возмущений [105] - |Ю7); такие экзотические источники, как космические струны [108] Очень важным является детальное изу-
чение распространения и взаимодействия гравитационных волн с учетом точных эффектов. Алексеев в работах |109] - [110) для построения точных уравнений Эйнштейна при наличии пространственно-временных изометрий развил метод преобразования монодромии. В работах [111) -[112) описано применение этого метода для построения точных решений уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла, описывающих столкновение и нелинейное взаимодействие плоских гравитационных, а также гравитационных и электоромагнитных волн обладающих выделенными волновыми фронтами и рапространяющихся на фоне пространства Мин-ковского. Во многих из работ приходится рассматривать энергию и импульс, переносимые гравитационными волнами, в части работ этим проблемам уделяется отдельное внимание [113) - [115].
1.2 Законы сохранения в ОТО и других метрических теориях. Обзор
Очень важную роль в приведенных выше ж следованиях'играют такие характеристики возмущенной системы как энергия, импульс, угловой момент, плотности этих величин. Однако существует объективная трудность в их определении. Хорошо известно, что в ОТО, и метрических теориях вообще, определение гыотпости энергии и других сохраняющихся величин не является однозначным, в отличие от аначогичных определений в „обычных“ полевых теориях (таких, например, как электродинамика) в пространстве Минковскою С геометрической точки зрения причина проблемы состоит в двойственной роли пространства-времени, которое, с одной стороны, — арена для физических взаимодействий, на которой обычно и определяются сохраняющиеся величины, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во взаимодействиях С точки зрения основания гравитационной теории, проблема рас-
13
сматриваетея как связанная с принципом эквивалентности |3)
Начиная с работ Эйнштейна эта ситуация интерпретируется как нело-кализуемость энергии и других сохраняющихся величин в метрических теориях гравитации и считается особым свойством теории, но не ее дефектом Оно проявляется в том, что гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, дает вклад в энергетические характеристики гравитирующей системы, но этот вклад определяется лишь нелокально Таких образом, теоретические исследования в основном велись и ведутся по изучению глобальных [интегральных] характеристик, например, таких как энергия и ее изменения во всем пространстве или его конечном объеме. В последнее время очень большое внимание уделяется квазилокальным характеристикам, скажем квази-локалыюй энергии, которые рассчитываются для конечного объема и полностью определяются условиями на границе этого объема С другой стороны, для исследования возмущений в космологии и астрофизике во многих случаях важны наоборот локальные характеристики.
После создания ОТО, в силу этих объективных трудностей и неопределенностей, было предложено множество подходов для определения сохраняющихся величин. Из-за важности как теоретической, так и в приложениях, мы акцентируем на этой проблеме особое и большое внимание в диссертации, а ниже приводим обзор основных концепций и направлений в ее исследовании
I Проблема энергии в работах Эйнштейна
Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения для компонентов энергии [сохраняя лексику тех лет] либо свободного гравитационного ноля либо гравитационного поля вместе с материальными источниками Ь/ + Тии В первых вариантах теория строилась в предположении, когда определитель
метрики равен единице ур^д = 1 Вначале [116] теория была сформулирована в виде, где Т^и служил источником для тензора Риччи Я(11/. Такое построение не казалось удовлетворительным, поскольку не согла-(овывалось с ковариантым законом (охранения для 7]/ В попытке получить совместные уравнения Эйнштейн в работе [117] предложил гипотезу, смысл которой в том, что след тензора энергии-импульса материи взаимодействующей с гравитацией всегда равен нулю Таа = 0. Вообще говоря, это было мало обосновано В обеих упомянутых работах уже были предложены выражения для и сформулирован дифференциальный закон сохранения
+ Г/) = 0. ч (1.21)
Современный и окончательный вид уравнений ОТО был представлен в работе |118]
Я^ = ^ (Т^ - \д^Таа) , (1 2.2)
или, что то же самое, Я^ - иЯаа = кТ\1и
Вот как объясняет такой переход сам Эйнштейн [118]. „Основания, побудившие меня ввести второй член [то есть — 1ди1/Таа\ в правые части уравнений (1 2.2) впервые выявились из следующих соображений, Умножим уравнение (1 2.2) на дци и просуммируем по индексам ц и V Тогда после простых выкладок получим
д^дГ + к(гаа + Г«*) = 0, (1.2 3)
[используется условие р^д — 1] .. Как нетрудно видеть,« наш добавочный член приводит к тому, что тензоры энергии гравитационного ноля и материи входят в уравнение (1 2 3) одинаковым образом, чего нет в .. [предшествующих вариантах]“.
Таким образом, именно требование того, чтобы комплексы энергии-импульса как для материи, так и для гравитационного поля занимали бы равноправное положение в полевых уравнениях привело Эйнштейна
к правильной формулировке теории После того, как теория 'завершена кажется, что проблему совместности было бы проще решить, если сосредоточиться на поиске такой левой части в уравнениях, ковариантная
дивергенция от которой тождественно равна нулю Однако исторически
\
сложилось так, что прямой анализ конкретных дифференциальных законов сохранения оказался решающим Мы привели эти факты, чтобы подчеркнуть насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения в ОТО уже в период ее построения
В работе [119] Эйнштейн, отказавшись от условия у/^д = 1, предложил для вывода уравнений лагранжиан только с первыми производными [так называемый усеченный лагранжиан Эйнштейна, см. ниже (5.1.1)], и на его основе компоненты энергии гравитационного поля были представлены в виде компонент канонического комплекса энергии-импульса [который позднее стал называться псевдотензором Эйнштейна, см. (5 1.2)] Если говорить о приложениях, то прежде всего Эйнштейн использовал комплекс для описания гравитационных волн [120] - [122], которые рассматривалиль как возмущения метрики ОТО, по отношению к метрике Минковекого С самого начала он подчеркивал, что является тензором только для линейных преобразований. Преобразованиями координат можно изменять и даже обращать в нуль. Эта причина во многом послужила поводом, с одной стороны, для многочисленной критики и для дискуссий на следующие десятилетия Но с другой стороны, это был повод для интенсивного познания свойств гравитационного поля в ОТО, которые отличались от привычных свойств других физических теорий
Еще в начале дискуссий Эйнштейн сам привел важные и физически весомые аргументы в пользу использования ^ и соответствующих законов сохранения, несмотря на то, что ни комплекс ни уравнения (1.2 1) ис ковариантны. Вспомним знаменитый пример, когда две массы
к;
соединяются жестким стержнем [123] Поскольку система находится в равновесии, то напряжения в стержне, которые неоспоримр существуют, могут быть интерпретированы только как компенсация напряжений гравитационного ноля с компонентами включенными в Ьр* Он же впервые интерпретировал обращение в нуль при координатных преобразованиях как нелокализуемость плотности энергии гравитационногшо поля Причем отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство гравитационного поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы ,локализации^ гравитационной энергии Так, рассматривая островную [изолированную] систему [122], Эйнштейн предложил следующее „Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотность энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области В Это будет только тогда, когда вне области В
компоненты д^ постоянны, то есть когда рассматриваемая система как
%
бы погружена в ‘галилеевское пространство’, и мы пользуемся ‘галилеевскими координатами’ для описания окружения системы “ Как в этом примере, так и при изучении гравитационных волн, можно сказать, что вводится некоторое „опорное“ фиксированное пространство Минковско-го, которого нет в ОТО как теории с динамической метрикой, но которое определяется характером конкретных моделей или задач.
И Два направления в построении законов сохранения в ОТО
Канонический метод Нётер и построение комплексов энергии-импульса и суперпотенциалов:
Исследуя уравнения Эйнштейна вместе с псевдотензором Эйнштейна,
%
Толмен установил [124], что дифференциальный закон сохранения прямо связан с некоторой величиной, двойная дивергенция от которой тождественно равна нулю, и по этой причине названной суперпотенциалом [см
17
Пункт и Раздела 5 1]. Позднее Фрейд показал [125], что суперпотенциал Толмена может быгь заменен другим супсриотенциалом [см. Пункт ш Раздела 5 1] Преимущество последнего в том, что он антисимметричен по индексам, по которым берутся дивергенции, так что дифференциальный закон сохранения становится очевидным.
Начиная с этих двух работ построение законов сохранения с помощью псевдотензоров и суперпотенциалов получило очень активное развитие в последующие десятилетия [см подробный обзор в Разделе 5 1] В качестве результатов многочисленных исследований можно подчеркнуть следующее (а) Псевдотензоры и суперпотенциалы определяются неоднозначно, однако (б) построение многих из них оказалось прямо связанным через каноническую процедуру Нетер с лагранжианами, которые отличаются друг от друга па дивергенцию По этой причине мы будем называть такие величины и законы сохранения для них каноническими, а подход каноническим (в) Нековариантный характер псевдотензоров и суперпотенциалов, конечно, вносит свои трудности. Один из способов избежать их - это ковариантизация, что формально означает введение дополнительной заданной метрики, относящейся к заданному фоновому протранству-времени Если физическая метрика рассматривается независимо [возмущения не определены явно], го такой подход называется биметрическим (г) Наличие суперпотенциалов оказывается очень полезным в построении глобальных (охраняющихся величин, таких как энергия полной изолированной системы в ОТО, и приводит их выражения к поверхностным интегралам. Так, например, энергия некоторого объема определяется с помощью интеграла от суперпотенциала по поверхности этого объема (д) Наконец, необходимо отметить, что были выработаны несколько теоретических тестов, ограничивающих неопределенность в определениях. Так, рассчеты должны давать стандартную массу для черных дыр, правильное значение полного углового момен-
18
та для решения Керра, стандартные потоки для энергии и импульса в решении Бонди, положительную плотность энергии для слабых гравитационных волн на плоском фоне
Симметричный тензор энергии-импульса для возмущений гравитационного поля:
\
Часто для решения конкретных задач возмущенныеуравненя ОТО представляют в следующем виде, линейные возмущения метрики относительно метрики Минковского оставляют слева, а все остальные (нелинейные) члены переносят направо и вместе с материальным тенюром энергии-импульса трактуют как полный [эффективный] тензор энергии-импульса Такой подход |см подробный обзор в Разделе 2.1] был разработан в виде, где вся физическая система формально рассматривается в фоновом пространстве-времени с заданной метрикой. Для такой системы, точно также как в обычной полевой теории, скажем, электородинамике на заданном фойе, определяется путем варьирования по фоновой метрике и поэтому является метрическим тензором энергии-импульса. Естественно, что оказывается симметричным и удовлетворяет дифференциальному закону сохранения По этой причине этот подход в построении возмущенных систем мы будем называть симметричным Мы выделили эти два подхода в отдельный Пункт по следующим причинам Они имеют самую длительную историю развития Это очевидные подходы с точки зрения обычной полевой теории, поэтому в приложениях очень многие авторы обращаются именно к ним в определении энергии, зачастую „нереоткрывая“ давно известные положения Наконец, в диссертации будут развиты в основном именно эти направления в исследованиях но законам сохранения как в ОТО, так и других метрических теориях гравитации.
19
ііі Многообразие подходов
В этом Пункте мы перечислим другие направления в построении и исследовании законов сохранения. На некоторые из них мы будем ссылаться в основном тексте, но они нс будут основой для диссертации, а приведены для того, чтобы отобразить их многообразие
Расщепление пространства-времени на простраиствепнопо-добпые гиперповерхности:
Прежде всего, без обсуждений в силу их известности, отметим два родственных метода, на основе которых конструировались и конструируются законы сохранения, с результатами которых, как правило, сравниваются результаты других подходов (см. некоторые обсуждения ниже в этом Пункте] Это метод хронометрических инвариантов Зельмано-ва [126, 127) Вторым является метод 3 4- 1-расщепления пространства-времени и гамильгонова формулировка ОТО предложенные и разработанные Арновиттом, Дезером и Мизнером [128, 129, 3|. Их определение сохраняющихся величии [поверхностных интегралов] основано на редукции нефизических степеней свободы гравитационного поля в гамильтониане построенном только из связей Можно сказать поворотной была статья, Редже и Тейтельбойма |130], где поверхностные интегралы Ар-новитта, Дезсра и Мизнсра вошли в нередуцированный гамильтониан, который обычно И( пользуется как асимптотический генератор эволюции изолированной системы
Поверхностные интегралы от тензора кривизны:
После открытия суперпотенциалов стало ясно следующее. Чтобы определить сохраняющиеся величины внутри некоторого конечного [не бсско-
20
нечно малого] объема нужно зафиксировать лишь значения метрических коэффициентов на границе этого объема Тогда эти величины определяются через поверхностные интегралы по границе. Такие определения называют квазилокальными Насколько нам известно, впервые этот термин был введен Пенроузом в работе [131]. В последние 20 лет это направление получило активное развитие, результаты которого подробно отражены в недавнем обзоре Сшабадоша [132]
В этом подПункте мы обсудим несколько работ, где сохраняющиеся величины определяются так называемыми „зарядовыми“ поверхностными интегралами от некоторых комбинаций компонент тензора Римана Главные принципы подхода содержатся в работе Пенроуза [131]. Рассматривается линейная гравитация в пространстве Минковского Линеаризованные уравнения Эйнштейна выписываются так, что левая часть выражена через линеаризованный тензор Римана. Затем уравнения сворачиваются с каким-либо из векторов Киллинга пространства Минковского так, что левая часть представлена в виде дивергенции от некоторой антисимметричной комбинации компонент тензора Римана Такая форма аналогична уравнениям электородинамики, где справа заряд, а слева ди-вегенция от тензора напряжений. Интегрирование по некоторому объему так определенного „гравитационного заряда“ справа сводится к поверхностному интегралу от иоддивергентного выражения слева. Для каждого из векторов Киллинга определяется соответствующая (охраняющаяся величина, естественно, вектору временных смещений — энергия При использовании этого выражения для определения сохраняющихся величин в асимптотически плоском пространстве-времени линеаризованную версию тензора Римана можно заменить полной.
\
Построение „зарядовых“ интегралов получило развитие и приложения в работах многих авторов, отметим некоторые из них. Тод [133] - [135] использует подход Пенроуза для определения массы черных дыр. Море-
21
ши [136] - [138], используя в качестве фонового также пространство Мин-ковского, разработал описание как углового момента, так и других величин для асимптотически плоского про( транства-времени па изотропной бесконечности Голдберг [139] обобщил кострукцию Пеироуза, используя произвольные векторы смещений и не используя вспомогательного пространства Минковского Показано, что на бесконечности асимптотически плоского пространства-времени его построение переходит в конструкцию Пенроуза '
Си
Квазилокальпый подход Брауна-Йорка:
В последнее десятилетие очень популярным стал подход разработанный Брауном и Йорком [140], о( нованный на обобщенном анализе Гамильтона-Якоби примененном к гравитационному действию. Рассматривается пространственно ограниченная гравитирующая система. „История“ границы представляет собой времсииподобную 3-мерную гиперповерхность 5 [цилиндр] в 4-мсрном пространстве-времени. Рассматривается обычное действие ОТО, для котрого 3-метрика на 5 предполагается фиксированной Эта 3-метрика играет роль фиксированного временного интервала
в обычной иерелятивистской механике, который отделяет начальную и
\
конечную конфигурации Тогда, по аналогии с обычным определением процедуры Гамильтоиа-Якоби, с помощью функциональной производной от действия по 3-метрике на 5 определяется поверхностный тензор эпсргии-имиульса тХ) на 5. Предполагается, что 3-мерное пространственно подобное сечение Е постоянного времени, на котором собственно рассматривается система, ортогонально 5. Пересечение Е и Й — это 2-мерная поверхность В с топологией 2-сферы, она и есть пространственная граница системы. Нормальные и тангенциальные проекции ти на В дают поверхностные плотности энергии, импульса и пространственных
22
\
напряжений на Æ, которые приводят к квазилокальным выражениям Интеграл от поверхностной плотности энергии по В определяет квази-локальную энергию в области Е ограниченной В Существенным оказывается определение фонового ^пространства, которое единственным образом [если В во всех точках имеет положительную внутреннюю кривизну] определяется изометрическим вложением в него В Окончательно квазилокальная энергия определяется в виде интеграла от разницы скаляра внешней кривизны В, как вложенной в Е, и скаляра внешней кривизны В, как вложенной в фоновое пространство. Квази локальный подход Брауна-Йорка получил очень активное развитие, см. лишь некоторые работы по этому поводу [141] - [157] Одним из важных обобщений был отказ от ортогональности Е и S. Необходимо отметить, что наряду с авторами направления в разработке этого подхода самое активное участие принял и принимает Лау Одна из последних работ [158] включает
\
детально весь разработанный за эти годы филигранный математический аппарат и может служить в определенном смысле учебником но квази-локальному подходу Брауна-Йорка
Гамильтонов подход в построении законов сохранения:
На первых этапах развития гамильтоновой динамики ОТО [см подпункт Расщепление пространства-времени на пространственно подобные гиперповерхности на стр 20] поверхностными интегралами вообще пренебрегали a prion. Но в результате, после исключения нефизических степеней свободы, поверхностные интегралы возникали снова, как выражения для сохраняющихся величин уже в пространстве-времени с „реальными координатами“ Чтобы предать более последовательный статус поверхностным интегралам требовалось в определенном смысле изменить подход Одним из таких подходов оказался подход Тульчие-
23
ва [159, 160), основанный на симплектических соотношениях. Как отметил Кижовски [соавтор в последней ссылке], „для этого канонического формализма поверхностные интегралы настолько же важны, как и объемные” В абстрактных обозначениях подход означает следующее. Какая-либо полевая теория сводится к теории симплектических соотношений между объектами четырех сортов- полевыми переменными <7, их производными, каноническими импульсами и токами ] [дивергенциями ] = дррР\ Основное соотношение, которое связывает эти объекты имеет вид (1Ь = дцф1 (1д) Его интегрирование по пространству и известный способ определения гамильтониана приводит к истинно гамильтоновой системе только в случае наложения соответстующих граничных условий. Это могут быть либо условия Дирихле, либо условия Неймана, либо какие-то смешанные граничные условия В каждом случае определяется свой собственный гамильтониан, который однозначно генерирует эволюцию системы, но каждый раз в отличном пространстве функций, соответсвующих именно этим граничным условиям
Кижовски и Йежерски развили этот формализм в приложении к ОТО |161| - [164] Отметим важные моменты 1) 14спользуется так называемая „афинная формулировка“ ОТО, то есть в качестве полевых потенциалов ОТО принимаются скорее связности Г*,, чем компоненты метрики. 2) Эволюция гравитационного поля рассматривается внутри конечной трубки, на границах которой и выбираются те или иные условия, чтобы получить замкнутую гамильтонову систему Стенки трубки могут быть смещены на бесконечность, и условия станут асимптотическими. 3) Гамильтониану придается смысл полной энергии системы внутри границы, кроме того его построение [163] вполне соответствует „философии“ ква-зилокальиых представлений [132)
Их подход получил развитие и в различных приложениях Так, в работе [162] в рамках линейной гравитации требование положительной
определенности гамильтониана приводит к возможности „локализовать“ гравитационную энергию в том смысле, что существуют единственные граничные условия [смешанные], которые и приводят к единственному гамильтониану, удовлетворяющему этому требованию Элементы их подхода оказываются полезными при исследовании гравитационных воли на фоне шварцшильдовой геометрии [164].
Метод симплектических сооотношений получил активное развитие в работах Нестора с соавторами (165] - [169] На его основе они построили так называемый ковариантный [4-ковариантный] гамильтонов формализм для обобщенных геометрических гравитационных теорий, то есть теорий включающих как кручение, так и неметричность ОТО рассматривается как частный случай. Обобщенный гамильтониан, кроме как от фазовых переменных, зависит от комбинации функции хода и вектора сдвига как 4-мериого вектора смещений, и в зависимости от его выбора
определяет ту или иную сохраняющуюся величину На связях он пред-
\
ставляет собой некоторую дивергенцию, что для сохраняющихся величин приводит к поверхностным интегралам (квазилокальным выражениям]. В окрестности границы, по которой ведется интегрирование вводится вспомогательная метрика фонового иросгранства-времени. Прежде всего она необходима для определения нуля энергии в пустом пространстве. Вообще говоря, фоновое пространство-время может быть произвольно искривленным
Тслепараллелъная теория гравитации:
Представление ОТО в терминах тетрадных переменных [2] и последующая идея Мёллера на этой основе построить законы сохранения [см. Пункт vin Раздела 5.1] в настоящее время получила мощное развитие. Вариант Меллера оказался иаипростейшим случаем так называемых те-
25
лепараллельных теорий гравитации, где при построении используется как кручение, так и неметричность, а затем Риманова кривизна такого сложного пространства-времени полагается равной нулю ОТО оказывается частным случаем такого класса теорий. Их разработка ведется сейчас многими авторами, но наиболее активно Нестером и его группой (170) - (176) и Малуфом с соавторами [177] - [181] Необходимую информацию можно найти в этих работах и ссылках в них. Мы отметим только, что в рамках этого подхода как в лагранжевом, так и гамильтоновом описании также конструируются законы сохранения, которые могут быть использованы конкретно в ОТО. '
Искривленный фон гшдуцированный энергией гравитационного ПОЛЯ'
Здесь мы отмстим два подхода, различные формально, но имеющие родственную физическую основу, где искривленный фон определяется тем, что энергия гравитационного ноля „прогибает^1 пространство-время. Сначала отмстим две работы Ай таксона [182], на которые особо обращал внимание Зельдович [183]. Айзаксон рассматривает высокочастотное гравитационное излучение Гравитационные волны переносят энергию, а значит сами искривляют иротранство-время Поэтому естественно рассматривать их распрос гранение в фоновом пространстве-времени, кривизна которого определяется их собственным тензором энергии-импульса Термин высокочастотный означает, что длина гравитационной волны много меньше, чем характерный масштаб кривизны фонового пространства-времени К сожалению, не удалось получить ясного самосогласованного решения этой модели и идея не получила должного развития, несмотря на свою физическую привлекательность.
Второй подход — это подход Полшцука [184, 185], где вместе с зель-
26
мановской монадой [1-формой времени] рассматриваются еще три пространственных взаимоортогональных 1-формы, то есть рассматривается взаимоортоюнальная тетрада Уравнения Эйнштейна переписываются в виде сходном с формой уравнений Максвелла, где слева линейный оператор от тетрадных переменных, а справа тетрадный ток [включающий и материальные переменные]. В основе подхода та же идея, что все поля [включая гравитационное] прогибают пространство-время. Для локализации энергии требуется локализация системы отсчета, то есть тетрады. В общем случае такая фиксация могла бы определяться 14-ю инвариантами кривизны, которые определяют 4 собственных значения тензора Вейля, 4 собственными значения тензора Риччи и 6 углов между их каноническими тетрадами.
Центральные заряды в калибровочных теориях:
Построение физически значимых зарядов, соотнесенных к калибровочным симмефиям в таких теориях как электродинамика или теория полей Янга-Миллса имеет, как минимум, важное теоретическое значение Проблемы их построения имеют много общего с построением комплексов энергии и импульса в ОТО и связаны с изучением асимптотических симметрий и законов сохранения на их основе В качестве основы для этих построений, как правило, используется канонический метод Нетер, который приводит к сохраняющимся токам. На полевых уравнениях эти токи представлены в виде дивергенций от суиерпотенциалов Одной из ключевых работ на эту тему является статья Барнича и Брандта |186]. Они дают подробный анализ предшественников и устанавливают общее соотношение между структурой суперпотенциалов и калибровочными симметриями в лагранжианах Там же можно найти многочисленные ссылки на эту тему и составить представление, насколько ингееивно это
27
направление развивается в последнее время.
Широко известна, неоднозначность в определении супериотснциалов, которая проявляет (ебя в любой теории. Сильва [187, 188] предложил критерий для ее ограничения. В качестве основы он взял принцип Редже и Тейтельбойма |130] [см. также подПункт Расщепление пространства-времени на пространственно-подобные гиперповерхности на стр 20], где гамильтониан ОТО, нредставленнный интегралом от связей свернутых с вектором смещений, дополняется специальными поверхностными интегралами Это вызвано следующим поскольку вариации полей в гамильтоновой динамике скорее имеют асимптотическое поведение на пространственной бесконечности, чем исчезают вообще, то вариация интеграла связей дает поверхностный интеграл, который не исчезает. При введении же этих специальных интегралов варьирование не приводит к таким неисчезающим членам и дает корректное построение гамильтоновых уравнений гравитационного поля Таким образом, принцип Сильвы для выбора суперпотенциала состоит в том, что дивергенция возникающая при варьировании тока должна компенсироваться вариацией дивергенции от супериоюнциала
Обобщенная теория и обобщенные принципы применяются для построения центральных зарядов в конктретных теориях, таких как супергравитация [189, 190], а также в конкретных приложениях [191]. С одной стороны, ОТО используется как тестовая теория для результатов ио построению центральных зарядов [192]. С другой стороны, эти обобщенные результаты оказываются полезными для анализа известных результатов в ОТО
28
1.3 Мотивация и результаты исследования
і Актуальность темы и цель работы
Невозможно переоценить значение огромного количества результатов полученных в исследованиях отмеченных в разделах 1.1 аце! 1.2. Однако, отдавая им должное, необходимо отметить следующее
• Часто ржч матривается лишь линейное приближение, без учета обратного действия возмущений, в то время как точность современных наблюдений в космосе требует более детальных рассчетов
• Часто используется лишь плоский фон или фон с очень ограничивающими симметриями, либо фоновое пространство-время вводится лишь в окрестности замкнутой поверхности для определения квази-локалыюй величины, либо вводится лишь фоновое пространство, но не пространство-время, и тд .
• Часто используются дополнительные предположения, и поэтому не ясно какие из результатов имеют общую значимості?, а какие могут измениться при изменении предположений Например, может ли подход использованный для одного фона использоваться для дру-юго, можно ли использовать различные системы координат, и тд
• Иеііользуїоі с я различные отображения возмущенного ирос транс т-ва-времени на фоновое, то есть различные фиксации калибровчных свобод для возмущений. Не всегда ясно, когда различный выбор может повлиять на результаты, а когда нет, как различные качибровки связаны между собой.
• Часто трудно найти связь между различными определениями сохраняющихся величин, иногда они противоречат друг другу, часто
не связаны с описанием возмущений, а относятся только к нелокаль-
\
29
ным величинам, и, как правило, невозможно понять как проявляет себя нслокализуемость.
Исходя из актуальности изложенных выше проблем в исследованиях возмуіцеиий на заданном фоне очевидна необходимость единого описания, в рамках которого предполагается их одновременное решение Таким образом, для такого описания требуются:
(а) ковариантность;
(б) возможность использовать произвольно искривленное фоновое пространство-время,
(в) самосогласованные правила 4
- для построения возмущенных уравнений,
- для построения сохраняющихся величин и законов сохранения для них, при этом необходимо дать конструктивный математический аппарат для рассчста нелокализуемоети, и дать связь локальных величин с глобальными и квазилокальными
(г) определение калибровочных преобразований для возмущений и их действия на возмущенные уравнения и сохраняющиеся величины;
(д) точная (нелинейная] формулировка возмущенных уравнений, сохраняющихся величин (и законов сохранения для них|, калибровочных преобразований, это дает возможность получить и использовать любой порядок при разложениях,
(е) простіле рекомендации для приложений
Чтобы удовлетворить требованиям (а) — (е) необходимо разработать комплексный и обобщенный подход, использование которого приводит к
30
представлению метрических гравитационных теорий в виде точной теории возмущений в произвольно искривленном фоновом пространстве-времени Такая переформулировка гравитационной теории должна обладать всеми свойствами и атрибутами „обычных“ нолевых теорий на фиксированнном фоне, описание которых основанно на принципе наименьшего действия Роль динамического поля должна играть совокупность всех возмущений — полевая конфигурация. Такая теория, будучи лишь переформулировкой, должна быть эквивалентна исходной метрической теории и мы будем называть ее теоретико-полевой [или просто полевой] формулировкой гравитационной теории, в отличие от исходной метрической [или геометрической] формулировки
Таким образом, цель исследования настоящей диссертации состоит в разработке нового направления в физике гравитационного поля, развитие которого приводит к построению теоретико-нолевых формулировок метрических теорий гравитации Существенно большее внимание будет уделяться ОТО, поскольку она остается самой востребованной терией гравитации Целыо является также использование возможностей развитого метода для решения некоторых важных задач космологии и астрофизики, и теоретических проблем гравитационной физики.
Л Постановка задач и структура изложения
Диссертация состоит из 8 Глав. 6-ти основных, а также Введения и Заключения. Главы делятся на Разделы, а Разделы — на Пункты Чтобы не загромождать изложение тройными цифровыми представлениями Пункты нумеруются простыми малыми римскими числами Иногда мы вводим подПункты, которые не нумеруются, а их заголовки представлены курсивом в начале первого абзаца Для достижения поставленных в предыдущем Пункте целей ставятся конкретные задачи, сформулированные ниже. Здесь мы отмечаем в каких Главах они рассматриваются,
31
а во введениях к Главам и Разделам это описание конкретизируется до Пунктов
Теперь перейдем к постановке задач Изучение возмущений имеет длительную историю, в течение которой представлены многочисленные и разнообразные подходы. Естественно, что в определенной степени наше исследование является продолжением работ предшественников Из них в большей мере соответвуют требованиям (а) — (е) два подхода отмеченных в Пункте н Раздела 1 2 этого Введения.
Первый из них, канонический, в рамках ОТО более полно развит Кацем, Бичаком и Линдси-Беллом [193). Он представлен на произвлольно искривленных фонах и в точной форме. Они построили дифференци-
л
альные законы сохранения д^ = 0. Сохраняющиеся токи, векторные плотности «7/х, в свою очередь выражаются через дивергенции от супер-
л
потенциалов, антисимметричных тензорных плотностей JtiV.
> = (13 1)
Эта форма законов (охранения как раз дает связь между локальными в<>-
л
личинами, поскольку токи № существенным образом выражаются через тензор энергии-импульса, и нелокальными величинами, поскольку интегрирование правой части (131) ведет к поверхностным интегралам. В качестве векторов смещений могут использоваться произвольные векторы, а не только фоновые векторы Киллинга При всех достоинствах канонического подхода Каца, Бичака и Лииден-Белла, 1) не исследованы калибровочные свойства возмущенных систем; 2) поскольку изначально используется биметрическая форма, то есть возмущения не вводятся явно, то возмущенные уравнения не входят в структуру построения — разложения нужно делать независимо, 3) как в любом каноническом подходе, сохраняющиеся величины существенно зависят от дивергенций в лагранжиане, а значит от граничных условий при варьировании действия Существуют задачи, где такое определение необходимо и естс-
32
ственно. Однако важно иметь и более универсальные величины, которые не зависит от граничных условий Подробное описание этого подхода и его проблем дано в Разделе 5 2 и в Пункте 1 Раздела 5 А
Для развития второю подхода отмеченного в Пункте и Раздела 1 2* симметричного, ключевую роль сыграла работа Дезера (194] Он представил возмущеные уравнения Эйнштейна на плоском фоне в точном [без приближений] и замкнутом [без итераций] виде.
= С, (1 3.2)
где (лева линейное по метрическим возмущениям выражение Позднее нами (195] на основании этих результатов симметричный подход был развит для произвольно искривленных фонов, в его рамках детально ис-
\
следоваиы калибровочные свойства, а уравнения выведены сразу в возмущенной форме В этом заключаются одни из основных результатов автора, представленных в его кандидатской диссертации „Лаграпжево и гамильтоново описание релятивистского гравитационного ноля“ и защищенных в 1988 году Однако, 1) законы сохранения были построены лишь для ограниченного класса искривленных фонов, не включающего важные космоло!ические решения, 2) не были построены законы сохранения с использованием суперпотенциалов Более подробно о проблемах симметричного подхода см. Пункт 1 Раздела 5.5
Оба подхода — это различные методы в рамках одной и той же теории, в данном случае ОТО, каждый из них дополняет другой и между ними должна существовать связь Поэтому, чтобы представить ОТО в закончено!! теоретико-полевой формулировке ставится общая задача
• объединить канонический и симметричный методы
Эта задача включает в себя более конкретные задачи, кроме того, каждый подход имеет собственные перспективы.
33
Сначала обсудим задачи в развитии симметричного подхода в ОТО самого но себе. Начиная с работы Дезера 1970 года [194] в основном используется определение метрических возмущений [динамического поля] в виде возмущения контравариантной метрической плотности
л ■ ■
Vй = у/—уд^1/ — у/^дд^- Именно с использованием этого определения проведены большинство исследований в настоящей диссертации Одной из главных ставится задача
л
• в терминах возмущений 1^и построить сохраняющиеся токи выраженные через дивергенции от суперпотенциалов на произвольно искривленных фонах и для произвольных векторов смещений
Эта задача рассматривается в Главе 5, для ее решения необходимы результаты Главы 2. Также симметричный подход может быть развит в терминах возмущений других [кроме у/-дд1и/\ метрических переменных, таких как д1хи, д^у (—д)д,хи и тд. Боульвар и Дезер [196] в 1975 году отметили, что из-за этой разницы в определении возмущений возникает неопределенность в определении симметричного тензора энергии-импульса гравитационного ноля. До сих пор эта проблема не была решена В свя *и с этим ставится задача
• для различных определений метрических возмущений 1) выписать возмущенные уравнений Эйнштейна, 2) построить сохраняющиеся токи и суперпотенциалы, 3) исследовать соотношения между различными вариантами, и 4) в конечном итоге разрешить неопределенное ть Боульвара-Дезера
Она изучаете я в Главах 2 и 5 Далее, поскольку сущее твует необходимость исследовать не только линейные, но квадратичные и следующие порядки возмущений мы ставим задачу
• представить конструктивный алгоритм в каждом порядке 1) для построения возмущенных уравнений и 2) для действия калибровочных
преобразований
В силу того, что нолевая формулировка ОТО обладает свойствами обычных калибровочной теорий, должна существовать возможность
• построить полевую формулировку ОТО с помощью 'методов стандартных калибровочных теорий, то есть как результат локализации каких-либо параметров
Мы рассматриваем эту задачу в Главе 2 Это важно как теоретическое И( следование возможностей метода, а также для сравнения ОТО с калибровочными теориями типа Янга-Миллса
Обращаясь к каноническому подходу, отмечаем, что для построения углового момента кроме тензора энергии-импульса, как правило, необходимо участие спинового члена Но для определения всех сохраняющихся величин часто более предпочтительно использовать единый объект — симметричный тензор энергии-импульса В обычных „полевых” теориях в пространстве Мииковского для симметризации используют классический метод Белинфанте [197]. Он же определяет связь симметричного и каноничсскского подходов Поэтому мы поставили следующие задачи*
• Обобщить процедуру Белинфанте для использования в нолевой формулировке ОТО на произвольно искривленном фоне Затем применить ее для „симметризации“ известных канонических законов сохранения в ОТО Как ожидается, симмстризованные суперпотенциалы и сохраняющиеся токи не должны зависеть от введения каких-либо дивері енций в лагранжиан системы, а также от явного использования спинового члена.
• Исследовать связь симметризованных методом Белинфанте величин с новыми токами и суперпотенциалами полученными в рамках симметричного подхода в ОТО ч
35
- Київ+380960830922