РАЗДЕЛ 2
ОБРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА ЧАСТИЦАМИ СЛУЧАЙНОЙ ФОРМЫ, СОИЗМЕРИМЫМИ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
В этом разделе представлены результаты исследований рассеивающих свойств частиц со случайной структурой, размер которых соизмерим с длиной световой волны. Все рассчитанные зависимости усреднены по ансамблю реализаций случайных частиц. Это усреднение эквивалентно исследованию характеристик облака независимых частиц со случайной структурой. Мы изучаем зависимости рассеивающих свойств такого облака от размерного параметра частиц, их вещественной и мнимой части показателя преломления, степени фрагментации вещества в частице. Проведен также сравнительный анализ рассеивающих свойств усредненных по ориентациям кластеров, состоящих из двух частиц случайной структуры и двух шаров эквивалентного объема.
2.1. Метод дискрет-дипольного приближения
Среди известных подходов к решению задачи дифракции света на диэлектрических частицах неправильной формы, соизмеримых с длиной волны, метод дискрет-дипольного приближения (ДДП) [75, 162] выделяется тем, что он не накладывает ни каких ограничений на форму и структуру материала рассеивателя. По этой причине мы использовали этот метод в нашей работе. Рассмотрим подробнее метод ДДП.
Пусть на произвольную частицу, занимающую область пространства V, падает плоская монохроматическая электромагнитная волна с частотой ?. Согласно [43] электрическая напряженность поля E(r), рассеянного некоторым объемом V (частицей), определяется выражением
, (2.1)
где r - вектор, задающий точку наблюдения; r? - вектор, задающий точку внутри объема; Einc(r) - поле падающей волны в точке наблюдения; E(r?) - поле внутри объема; ?(r?) - диэлектрическая проницаемость вещества частицы; k = ?/c - волновое число. Для того чтобы воспользоваться формулой (2.1) необходимо найти функцию E(r?). Это можно сделать, если выражение (2.1) несколько модифицировать, рассматривая его формально как интегральное уравнение
, (2.2)
где вектор и ? V; Einc - поле падающей волны.
Заменим исследуемую частицу дискретной системой достаточно малых по сравнению с длиной волны субчастиц (диполей), расположив их в узлах кубической решетки, равномерно заполняющей объем. Размер субчастицы равен размеру кубической ячейки. При такой замене интегральное уравнение (2.2) переходит в систему линейных алгебраических уравнений:
, (2.3)
где (j - поляризуемость j-ого диполя; - падающее поле на i-ом диполе; Ej -полное поле, наведенное на j-ом диполе; rij - вектор соединяющий i-ый и j-ый диполи, rij = |rij|. Когда электрическая напряженность полного поля Ei, найдена, становиться возможным определение рассеянного поля в дальней зоне; оно пропорционально величине :
, (2.4)
где вектор n - единичный вектор, определяющий направление рассеяния; вектор rj - задает положение j-ого диполя.
Решив задачу дифракции плоской монохроматической волны на исследуемой частице для двух ортогональных поляризаций падающего поля можно построить соответствующую матрицу Мюллера [11], использование которой позволяет исследовать рассеяние как неполяризованного, так и произвольно поляризованного света.
Точность метода ДДП обычно контролируется сравнением аналитического решения задачи дифракции на шаре (теории Ми) с результатом, полученным при помощи ДДП. В общем случае, можно выделить два источника погрешностей возникающих при решении задачи дифракции методом ДДП. Первый из них связан с представлением непрерывного (монолитного) вещества рассеивателя набором элементарных рассеивателей (диполей). Для краткости будем называть такие рассеиватели зернами. В случае, когда зерно намного меньше длины волны метод ДДП обеспечивает хорошую точность. В этом случае связь диэлектрической проницаемости вещества частицы ? с поляризуемостью отдельного зерна ( может быть установлена с помощью соотношения Клаусиуса-Моссотти [76]
, (2.5)
где d3 - объем зерна. Когда размерный параметр x (х = 2?r/?, где r - радиус зерна, ? - длина световой волны) отдельного зерна не мал, но все еще существенно меньше единицы, связь между ? и ( может быть установлена соотношением, полученным в [76],
, (2.6)
где
. (2.7)
Здесь (CM - поляризуемость, определенная при помощи формулы Клаусиуса-Моссотти (2.5), а d - размер зерна. Использование соотношения (2.6) существенно повышает точность метода ДДП. Например, при значении показателя преломления m = 1,65 + 0,2i становится возможным использование зерен с размерным параметром x = 0,35.
В нашей работе мы в основном используем формулу (2.6), хотя существуют и другие формулы связи диэлектрической проницаемости вещества частицы с поляризуемостью отдельного зерна. Они обеспечивают более высокую точность метода ДДП [76], однако их использование требует существенного усложнения расчетов.
Другой источник погрешностей связан с приближенностью решения системы линейный алгебраических уравнений (2.3). Мы исследовали три метода приближенного решения системы уравнений (2.3): метод простой итерации, скорейшего спуска и сопряженного градиента. В данном случае оказалось, что метод сопряженного градиента обеспечивает скорейшую сходимость и более высокую точность.
Отметим некоторые модификации метода ДДП. В работе [167], при решении системы уравнений (2.3) используется разложение в ряд по кратностям рассеяния между зернами. Применение такого подхода не улучшает точности метода ДДП. В работе [190] метод ДДП обобщается учетом магнитного дипольного, электрического и магнитного квадрупольных моментов. Такая модификация улучшает точность расчетов, однако, существенно усложняет расчеты.
Значительное повышение скорости расчетов обеспечивает использование быстрого преобразования Фурье (БПФ) ?84?. Действительно, систему уравнений (2.3) можно представить в векторно-матричном виде
. (2.8)
Здесь i = {ix, iy, iz} и j = {jx, jy, jz} - векторные индексы, определяющие местоположение зерен, такие, что 1? ix, jx ? Nx, 1? iy, jy? Ny, 1? iz, jz? Nz (где Nx, Ny, и Nz - м
- Київ+380960830922