Раздел 2
Интегральные уравнения Вольтерра для описания преобразования электромагнитных
полей в нестационарных и нелинейных средах
Введение
Метод интегральных уравнений макроскопической электродинамики, эквивалентных
уравнениям Максвелла, впервые был предложен и успешно применен для решения
многих квазистационарных задач в 60х годах ХХ века Н.А. Хижняком [87,88].
Позднее метод был расширен А.Г. Нерухом для решения различных типов
нестационарных задач [1]. Полное описание данного подхода изложено в
работе [2]. Как показано в работе [1], обобщение метода интегральных уравнений
[87] для нестационарных задач приводит к описанию таких задач интегральными
уравнениями Вольтерра второго рода. Решение данных уравнений можно строить с
помощью метода резольвенты, методом последовательных приближений или методом
прямого численного интегрирования [2]. Существенным преимуществом метода
интегральных уравнений Вольтерра является то, что как граничные, так и
начальные условия учитываются в основных интегральных уравнениях. Кроме того,
общая форма уравнений не меняется ни для различных сред, ни для различных
законов изменения их параметров, а также не зависит от типа первичного
поля [1], что, в совокупности, позволяет реализовать относительно универсальные
алгоритмы и программные пакеты на основе данного подхода для моделирования
широкого класса нестационарных электродинамических задач.
В данном разделе изложены основы метода интегральных уравнений Вольтерра для
описания распространения и преобразования электромагнитных волн в сплошных
нестационарных средах. Предложенный подход сформулирован для исследования
одномерных нестационарных и нелинейных задач, а также получены соответствующие
исходные уравнения. Рассмотрены некоторые модели для описания различных типов
активных сред, позволяющие проводить исследования широкого круга
электродинамических задач с помощью рассматриваемого подхода. Рассмотрены и
проанализированы существующие подходы к решению рассматриваемого уравнения.
Детально разработаны и проанализированы различные методики численного решения
рассматриваемого интегрального уравнения.
2.1. Основы метода интегральных уравнений Вольтерра для описания преобразования
электромагнитного поля в нестационарной среде
Рассмотрим задачу о преобразовании электромагнитного поля в однородной
изотропной немагнитной линейной стационарной диэлектрической среде.
Диэлектрическая проницаемость этой «фоновой» среды равна , электрическая
проводимость . Рассмотрим случай, когда в рассматриваемой области не существует
сторонних источников электромагнитного поля. В некоторый начальный момент
времени в фоновой среде образуется нестационарный объект произвольной формы,
занимающий область пространства с поверхностью . Данная область явно
определяется с помощью характеристической функции , равной единице внутри её и
нулю снаружи. Физические свойства среды внутри области после начального момента
времени описываются вектором электрической поляризацией , который в общем
случае, зависит как от пространственных координат, так и от времени.
Схематически, структура данной задачи показана на рис. 2.1.
На границе нестационарной области векторы поляризации и векторы электрического
и магнитного полей терпят разрыв. Для определения данных величин во всем
исследуемом пространстве необходимо применение разрывных функций. Ввиду этого
для дальнейшего исследования используется аппарат обобщенных функций [115,116].
Классические производные при этом заменяются на обобщенные в соответствии со
следующим правилом:
(2.1)
где - означает классическую производную там, где она существует,
- величина скачка в точке разрыва ,
- дельта-функция Дирака.
Переход к обобщенным функциям и производным позволяет включить начальные и
граничные условия непосредственно в уравнения Максвелла, при этом форма
уравнений остается прежней, за исключением одного слагаемого [87,88],
обусловленного поверхностным током :
(2.2)
где - вектор напряженности электрического поля,
- вектор магнитной индукции,
- вектор электрической поляризации,
Все производные в уравнениях (2.2) понимаются в обобщенном смысле. Следует
отметить, что благодаря использованию обобщенных функций и производных, система
уравнений (2.2) описывает поле во всем рассматриваемом пространстве и в ней
также полностью учтены начальные и граничные условия. Подробный вывод этих
уравнений приведен в работах [2,1,87-88]. От системы (2.2) можно перейти к
следующему волновому уравнению:
(2.3)
где , - скорость света в вакууме.
Уравнение (2.3) полностью описывает электромагнитное поле во всем пространстве.
Следует также отметить, что все характеристики нестационарной области собраны в
правой части уравнения (2.3). С помощью функции Грина можно перейти от
дифференциального волнового уравнения к интегральному уравнению Вольтерра
второго рода [2,1]:
(2.4)
где – первичное электромагнитное поле в фоновой среде, которое существовало бы
в отсутствие неоднородности , являющееся, по сути, решением однородного
уравнения,
- единичная функция Хевисайда,
– единичный оператор,
– диэлектрическая постоянная,
– оператор Гамильтона.
Уравнение (2.4) определено во всем четырехмерном пространстве и полностью
описывает эволюцию электромагнитного поля, хотя и содержит только его
электрическую компоненту. Магнитное поле выражается через электрическое поле
при помощи уравнения Максвелла и, при условии равенства нулю
электромагнитного поля в бесконечно удаленном прошлом, определяется
однозначно.
Ядро интегрального уравнения (2.4) опреде
- Київ+380960830922