РАЗДЕЛ 2
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НЕЗАМКНУТОЙ КОНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ СПЕЦИАЛЬНОГО
ВИДА
В данном разделе изложен метод решения задачи рассеяния электромагнитных волн
на незамкнутой конической трехмерной структуре, состоящей из двух конусов с
продольными щелями, имеющими общую вершину. В качестве источника падающего поля
рассмотрены электрический и магнитный диполи. Метод решения основывается на
сведении электродинамической задачи к первой и второй краевым задачам уравнений
Гельмгольца для потенциалов Дебая. Потенциалы Дебая представляются в виде
интеграла Конторовича-Лебедева, что позволяет отделить радиальную координату в
сферической системе координат, и тем самым свести трехмерную задачу к
двумерной. В результате использования граничных условий и условия непрерывности
поля в щелях получены функциональные уравнения для определения коэффициентов
Фурье, через которые выражаются потенциалы Дебая для рассеянного поля. В случае
возбуждения электрическим диполем незамкнутой конической структуры проведена
процедура сведения системы функциональных уравнений I-го рода к бесконечной
системе линейных алгебраических уравнений типа Фредгольма II-рода (СЛАУ-2).
Матричный оператор СЛАУ-2 является вполне непрерывным. Такой подход позволяет
построить эффективный численный алгоритм для получения численного решения с
любой наперед заданной точностью. Однако, использование интегрального
преобразования Конторовича-Лебедева имеет ряд ограничений, о которых указано в
конце раздела.
2.1. Постановка задачи и метод решения
Рассмотрим задачу рассеяния поля точечного гармонического источника на
неограниченной тонкой идеально проводящей конической структуре с продольными
щелями. Эта структура состоит из двух круговых конусов с общей осью и
периодически прорезанных вдоль образующих щелями (). Углы раскрыва конусов и
обозначим соответственно через и . Период структуры и ширина щелей конуса и
конуса являются угловыми величинами (величины двугранных углов, которые
образованы плоскостями, проведенными через ось конусов и ребра соседних
конических секторов).
Введем сферическую систему координат ,, в общей вершине конусов, в которой
конус () задается уравнением . Источник расположен в т. и имеет момент ( для
электрического диполя, - для магнитного). Поле источника меняется по
гармоническому закону. Среда, в которую помещена коническая структура однородна
и изотропна с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью .
Полное поле , в среде с конической структурой удовлетворяет
уравнениям Максвелла;
граничному условию на конической поверхности : , – единичный вектор нормали;
условию ограниченности энергии;
условию на бесконечности.
Электродинамическая задача в такой постановке имеет единственное решение
[49,122].
Представим полное поле в виде
, (2.1.1)
, (2.1.2)
где , – поле источника, , – поле, рассеянное конической структурой.
В точке источника введем локальную ортогональную систему координат с базисом ,
и разложим момент диполя в этом базисе:
Диполь с моментом назовем радиальным, а с моментом – поперечным диполем.
Решение исходной задачи распадается на решение двух задач: в случае возбуждения
конической структуры радиальным диполем и в случае возбуждения поперечным
диполем. В силу того, что в случае неограниченной конической структуры решение
задачи возбуждения поперечным диполем сводится к задаче возбуждения радиальным
диполем, то последнюю будем считать базовой и построим алгоритм ее решения.
Поле радиального диполя в присутствии сложной незамкнутой конической
поверхности.
Рассмотрим задачу возбуждения конической поверхности радиальным диполем с
моментом (Рис.2.1.1) Во введенной системе координат поле и относительно
радиальной координаты можно представить в виде суперпозиции поля -типа (, ) и
поля -типа (,) [122,123]. Для удобства решения поставленной граничной
электродинамической задачи введем электрический и магнитный потенциалы Дебая,
через которые составляющие электромагнитного поля выражаются по следующим
формулам
Поле - типа:
, (2.1.3)
Поле - типа:
, (2.1.4)
где для зависимости поля от времени в виде , (),
для зависимости поля от времени в виде , (), - волновое число.
Искомые потенциалы Дебая , , которые соответствуют полному полю ,
удовлетворяют:
однородному уравнению Гельмгольца
всюду вне конической структуры и источника;
краевому условию на секторах конуса
- условие Дирихле, - условие Неймана;
принципу предельного поглощения;
условию ограниченности энергии.
Первая краевая и вторая краевая задачи математической физике для уравнения
Гельмгольца с незамкнутой конической геометрией имеет единственное решение
[49,88,122,123].
Решение краевых задач будем искать с помощью интегрального преобразования
Конторовича-Лебедева [75,124] относительно радиальной координаты в сферической
системе координат
, (2.1.5)
. (2.1.6)
где – функция Макдональда.
Преобразование Конторовича-Лебедева подробнее описано в пункте 2.3.
В соответствии со структурой поля (2.1.1), (2.1.2), потенциалы Дебая полного
поля , представим в виде:
, , (2.1.7)
где - соответствует полю источника,
, – волновое сопротивление среды;
- соответствует полю, обусловленному присутствием конической структуры.
Источник поля может быть расположен в любой точке пространства. Для
определенно