Розділ 2
Побудова області стійкості дискретних лінійних систем в просторі параметрів,
які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння
В розділі розглянуто аналітичний підхід побудови границі області стійкості
(ГОС) дискретних лінійних систем в просторі двох параметрів, один із яких
лінійно, а другий нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння.
Отримано в загальному вигляді рівняння границі області стійкості в просторі
параметрів лінійних дискретних систем. Запропоновано аналітично-числовий метод
визначення границі області стійкості в просторі двох параметрів, які нелінійно
входять в коефіцієнти характеристичного рівняння досліджуваної лінійної
дискретної системи. Ці методи базуються на використанні дискретного аналогу
D-розбиття по одному параметру і є більш економічно ефективними при машинній
реалізації і більш точні при визначенні області стійкості в просторі
параметрів, в порівнянні з відомими чисто числовими методами. Розроблено
алгоритми визначення ОС в просторі параметрів дискретної системи.
2.1. Визначення області стійкості дискретних лінійних систем в просторі
параметрів, один із яких лінійно, а другий нелінійно входять в коефіцієнти
характеристичного рівняння.
Розглянемо задачу побудови області стійкості в площині параметрів стаціонарних
лінійних дискретних систем, які в загальному випадку описуються різницевими
рівняннями
, (2.1)
де Т – період дискретності; – дійсні коефіцієнти, які нелінійно залежать від
параметрів об’єкта керування.
Передаточні функції дискретної системи, використовуючи дискретне перетворення
Лапласа і z-перетворення, можуть бути записані у вигляді
або
Лінійна дискретна система (2.1) з заданими коефіцієнтами буде стійка, якщо
корені характеристичного рівняння розміщені в основній полосі лівої половини
q-площини, а корені характеристичного рівняння знаходяться всередині одиничного
кола z-площини з центром в початку координат, або, іншими словами, корені
характеристичного рівняння повинні бути по модулю менше одиниці.
Однак задача визначення стійкості фіксованої лінійної дискретної системи є
недостатньою для реальних систем автоматичного керування. Це обумовлено тим, що
параметри реального об’єкта керування можуть змінюватися в процесі роботи
системи, у зв’язку з чим на практиці важко встановити параметри цифрових
регуляторів в точній відповідності до параметрів об’єкта. Тому важливим є
побудова області стійкості в просторі тих параметрів, вплив яких на систему
досліджується, при невизначеності інших параметрів.
Для побудови області стійкості в площині двох параметрів, один із яких
нелінійно, а другий лінійно входять в коефіцієнти рівняння (2.1), будемо
використовувати рівняння границі D-розбиття по одному параметру
, (2.2)
де - параметр, який лінійно входить в коефіцієнти і, як правило, є коефіцієнтом
коректуючої ланки, або коефіцієнтом передачі об’єкта керування; поліном містить
параметр , не залежить від нього.
Відомо, що в роботах [9, 12] D-розбиття використовується для визначення
стійкості або нестійкості системи для параметрів, які відповідають різним
точкам перебору в площині двох параметрів. В даному розділі, з допомогою (2.2),
розглянемо задачу аналітичного визначення множини значень деякого параметра ,
для відповідної множини попередньо заданих значень деякого параметра , який
нелінійно входить в коефіцієнти рівняння системи. Ці параметри в сукупності з
розрахунковими значеннями параметра визначають точки точної (з похибкою
обчислень) границі області стійкості в просторі параметрів і .
Таким чином, задача побудови ГОС в площині двох параметрів переходить в
розв’язання задачі дискретного D-розбиття по одному параметру.
Визначення множини значень параметру і побудову границі області стійкості
будемо здійснювати без побудови кривих D-розбиття, а використовуючи розв’язки
рівнянь, які визначають ці криві.
Для розв’язку поставленої задачі рівняння границі D-розбиття по одному
параметру, враховуючи, що , представимо у вигляді
, (2.3)
де
, (2.4)
де – ступінь полінома, що містить параметр ;
– ступінь полінома, що не містить параметр .
З рівняння (2.3) одержуємо вираз для визначення лінійної залежності параметра
Так як параметр є дійсною, фізично реальною величиною, то задачу визначення
границі області D-розбиття можна звести до задачі визначення відрізка
стійкості, яким є відрізок АВ дійсної осі, що лежить в області стійкості
площини (рис. 2.1).
Граничні значення параметра , що відповідають точкам переходу кривої D-розбиття
через вість абсцис, визначаємо без побудови кривих D-розбиття із виразу
, (2.5)
який, після деяких перетворень і з врахуванням (2.4), можна записати в
загальному вигляді
. (2.6)
Значення відносної частоти , які відповідають граничним значенням , визначаємо
з виразу
,
або з рівняння
, (2.7)
яке, з врахуванням (2.4) і після деяких перетворень, представимо у вигляді
де , ,
або у вигляді
, (2.8)
де коефіцієнти рівняння (2.8) порядку рівні , , , , . При цьому коефіцієнти
при дорівнюють нулю. Значення коефіцієнтів , , , , для рівнянь порядку мають
той самий вигляд, як і для рівнянь порядку . В залежності від порядку ,
рівняння (2.8) набуває вигляду:
– для : ;
– для : ;
– для : ;
– для :
– для :
Відрізок стійкості, який відповідає числу коренів характеристичного рівняння
всередині одиничного кола ( – порядок системи), включає в себе
номінальне значення , тобто , де і – граничні значення відрізку, при
номінальних значеннях всіх інших параметрів. Тому, використовуючи вищенаведені
співвід