РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗАННЯ ОДНОСТОРОННІХ ЗАДАЧ У ВИГЛЯДІ
ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ
В даному розділі запропонуємо апроксимаційний алгоритм обчислювального
розв'язання варіаційних нерівностей в умовах відсутності неперервної
диференційованості функціоналів відповідності або можливості досягення ними
значення нескінченність на основі методу функціональної параметризації.
Розробимо два варіанти алгоритму: із застосуванням апроксимації на етапі
представлення задачі в узагальненій формі та на етапі представлення в локальній
формі.
Також запропонуємо субградієнтний алгоритм для обчислювального розв’язання
варіаційних нерівностей із негладкими функціоналами відповідності на основі
методу функціональної параметризації. Порівняємо характеристики розроблених
алгоритмів.
2.1.Вихідні положення та базові методи
Будемо розглядати односторонні процеси дифузії та тепломасообміну, які
описуються варіаційними нерівностями вигляду:
(2.1)
,
де - оператор, дія якого визначається у загальному випадку виразом
,
- змушуюча функція, яка діє у деяких підобластях об’єму , в якому розглядається
еволюція процесу на протязі відрізку часу . Нехай - обмежена відкрита множина з
регулярною границею , - гільбертів простір С.Л.Соболєва, , - спряжений простір
до , причому . Через позначимо скалярний добуток в . Функціонал : описує
односторонні властивості процесу, індекс i позначає тип процесу, а значить, і
тип функціоналу: при і=1 функціонал неперервно диференційований, при і=2
функціонал скічений, але не є неперервно диференційованим, при і=3 функціонал
приймає значення . Функціонали будемо називати функціоналами відповідності.
До односторонніх процесів, моделі яких містять негладкі, але скінчені
функціонали відповідності, відносяться процеси із багатозначною прямою та
зворотною провідністю товстої стінки, багатозначною м'якою перешкодою зверху та
знизу. Ці процеси відносяться до типу 2. До односторонніх процесів, функціонали
відповідності яких можуть приймати значення нескінченність, відносяться процеси
із прямою та зворотною провідністю тонкої стінки, жорсткою перешкодою зверху та
знизу. Ці процеси відносяться до типу 3.
Вираз (2.1) являє собою узагальнену форму описання односторонніх задач. Далі
будемо розглядати процеси, що описуються варіаційною нерівністю (2.1) при .
Вирази для функціоналів , що відповідають типам процесів, представлених в
табл.2.1, буде наведено у наступних підрозділах.
Відомо, що варіаційна нерівність (2.1) може бути зведена до розв’язання задачі,
записаної в локальній формі. Опишемо локальну форму запису односторонніх задач
із перешкодою в області та задач із односторонньою провідністю границі.
У випадку процесів із односторонньою перешкодою в області, локальна форма
представлення задачі набуває вигляду рівняння:
(2.2)
із початковою умовою
u(0)=u0
та граничною умовою
де функція називається функцією перешкоди і пов'язана із функціоналом
співвідношенням
де - просторова координата в області .
У випадку процесів із односторонньою провідністю границі, локальна форма
представлення задачі набуває вигляду рівняння:
, (2.3)
з початковими умовами
,
та граничними умовами
.
Тут функція називається функцією односторонньої провідності границі та
пов'язана із функціоналом відповідності співвідношенням:
де - просторова координата на границі .
Функції односторонньої перешкоди чи провідності границі також будемо називати
функціями відповідності.
Просторово-часові характеристики дії функції відповідності відомої структури
невідомі заздалегідь. Щоб уникнути задачі пошуку невідомої просторової та
часової області дії функції відповідності, використаємо метод функціональної
параметризації, згідно якого представимо функцію відповідності в параметричному
вигляді:
для процесів із перешкодою в області, або
для процесів із односторонньою провідністю границі, де - параметр перешкоди або
односторонньої провідності, що є невідомим.
Таким чином, задача пошуку невідомих просторово-часових областей дії функції
відповідності зводиться до пошуку невідомого параметру в просторі .
Для розв'язання задач (2.2) та (2.3) при наявності невідомого параметру функції
відповідності початкових та граничних умов не достатньо. Звідси постає
необхідність вводити додаткову інформацію про поведінку процесу. Зробимо це,
вводячи критерій виду:
(2.4)
у випадку односторонніх процесів із перешкодою в області, або
(2.5)
у випадку односторонніх процесів із односторонньою провідністю границі.
Функцію будують, виходячи із виду наявної інформації, що характеризує процес.
Сформулювавши критерій виду (2.4) або (2.5), приходимо до оптимізаційної задачі
мінімізації цього критерію при умовах (2.2) або (2.3). Розв’язком цієї задачі є
пара , яка доставляє мінімум критерію додаткових даних. Розв'яжемо отриману
задачу методом Лагранжа.
Згідно методу Лагранжа, задача умовної оптимізації, що розглядається,
зводиться до мінімізації лагранжіану. Для випадку процесів із перешкодою в
області лагранжіан має вид
а для випадку односторонньої провідності границі
де змінну буде визначено нижче, - нормаль до границі.
Варіюючи лагранжіани за отримуємо
(2.6)
. (2.7)
Прирівнюючи вирази (2.6), (2.7) до нуля, визначаємо рівняння відносно змінної
p, спряжені до вихідних, з граничними та кінцевими умовами. У випадку процесів
із перешкодою в області воно набуває вигляду:
(2.8)
з кінцевими умовами
та граничними умовами
У випадку процесів із односторонньою провідністю границі спряж
- Київ+380960830922