ГЛАВА 2
Системы дифференциальных уравнений, не разрешенные относительно производных
2.1.О разрешимости системы (1.6.1) относительно
производных.
Изучим вопросы о разрешимости системы (1.6.1)
(1.6)
относительно или части компонент в окрестности точки (0,0,0) и о существовании и свойствах решений задачи Коши (1.6), удовлетворяющих условию:
при . (1.7)
Воспользуемся методом, суть которого сводится к следующему: вводим вспомогательные переменные, относительно которых некоторая система после доопределения в некоторой точке удовлетворяет условиям теоремы о существовании неявной голоморфной функции. Тогда соответствующую систему можно либо разрешить относительно производной или части компонент производной, либо выделить ветвь относительно нее.
Введем вспомогательные функции:
(2.1)
где области таковы, что и выполнено .
Предположим, что выполнено:
. (2.2)
Тогда системе (1.6.1) соответствует система вида
Предположим, что для функции либо выполнено Q(0,0,0)=0, либо она доопределима в точке тем же равенством, и выполнены следующие три условия:
1.Q(z,Y,S)- однозначна и аналитична в области
2. Q(0,0,0)=0;
3.
Тогда система =0 однозначно разрешима относительно аналитической в точке (0,0) функции , удовлетворяющей условию .
Кроме того, если справедливо
,
то в области аналитичности функции выполнено:
.
Рассмотрим различные классы функций в каждом из которых система (1.6.1) разрешима относительно некоторых переменных, которые соответствуют компонентам вектора . Для каждой из полученных задач изучим свойства решений.
2.2. Случай аналитичности функций в точке (0,0,0).
Пусть функции однозначны и аналитичны в точке (0,0,0). Отсюда аналитичны, по крайней мере, в области постоянные.
С учетом того, что функция аналитична в соответствующей области , разрешенную (или частично разрешенную) относительно ветвь для системы (1.6.1) получим из (2.1) , рассматривая систему:
. (2.3)
В силу аналитичности функций соответственно в точках (0,0,0) и (0,0), имеем:
(2.4)
Обозначим:
;
.
Тогда система (2.4) примет вид:
(2.5.1)
G: , где матрица и вектор аналитичны в области по каждой переменной в силу своего построения, и в соответствии с основной теоремой Гартокса [5,с.194] и R(z,Y) являются аналитическими в области .
Будем изучать вопросы о разрешимости системы (2.5.1) относительно или части компонент и о существовании и свойствах решений системы (2.5.1) удовлетворяющих условию:
при . (2.5.2)
Будем искать решения задачи Коши (2.5.1)-(2.5.2), удовлетворяющие условию:
при . (2.6)
2.3. Аналитическое расширение в случае изолированной
особой точки (0,0,0).
Пусть функции однозначны и аналитичны в области , а значит, в точке имеют изолированную особую точку.
Так как изолированная особая точка аналитической функции многих комплексных переменных устранима [11,с.34], то точка (0,0,0) для функций является устранимой особой точкой.
После доопределения функций в точке (0,0,0) значениями , функции становятся аналитическими в области . Таким образом, рассмотрение случая 2.3 сводится к рассмотрению случая 2.2.
2.4. Аналитическое расширение в случае конической области.
Пусть - координаты некоторой точки пространства .
Пусть функции аналитичны в конической области ,
где , -область точек пространства .
Если область A охватывает всю единичную сферу
,
тогда согласно теореме 1.5 область имеет своим аналитическим расширением область .
В качестве аналитического продолжения функций аналитических в области , рассматриваются сходящиеся степенные ряды вида ,i=0,1 (1.20) с центрами в точке области , суммы которых совпадают с всюду в области , и, согласно теореме 1.5, являются аналитическими в области .
Пусть после доопределения функций в точке (0,0,0) значениями , функции становятся аналитическими в области . Проделав рассуждения, аналогичные рассуждениям 2.1, из соотношения (2.3) относительно новой неизвестной функции Y(z) получим дифференциальную систему вида (2.5.1) , причем матрица и вектор будут аналитическими всюду в области , где область такова, что для каждого фиксированного точка принадлежит области .
2.5. Аналитическое расширение в случае радиальной области.
Пусть функции аналитичны в радиальной области вида: ,
где и , причем аналитическое расширение области - область - содержит точку (0,0,0).
Тогда согласно теореме 1.4 найдется такая, не имеющая локальных максимумов функция , что область имеет в качестве аналитического расширения область вида: .
В качестве аналитического продолжения функций аналитических в области , рассматриваются сходящиеся степенные ряды (1.20), суммы которых совпадают с всюду в области , и, согласно теореме 1.4, являются аналитическими в обл