ГЛАВА 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
В настоящей главе рассматриваются следующие задачи: оценивание состояния
линейной дискретной системы при высокоточных измерениях, оценивание состояния
линейных дискретной и непрерывной систем при большой начальной неопределенности
в задании начальных условий, поведение линейного квадратического регулятора с
малым параметром при управлении в критерии качества для дискретной системы.
2.1 Оценивание состояния в линейных дискретных системах при малом шуме в
измерениях
Пусть задана линейная дискретная система
, , (2.1)
где – n - мерный вектор состояния системы, – случайный вектор; – n x n
матрица; – дискретный случайный процесс типа белого шума,
, – некоррелированы; – 1 x n матрица; , – наблюдения;
, ,
, ,
и фильтр Калмана [33, 71], оценивающий ее состояние
, , , (2.2)
где
, (2.3)
, (2.4)
, , (2.5)
Требуется построить оценку состояния системы (2.1), минимизирующую дисперсии
ошибок оценивания , , при асимптотически точных измерениях, т.е. в
предположении, что параметр стремится к нулю.
Без ограничения общности будем далее полагать, что , т.к. в противном случае,
делая замену , приходим к соотношению .
Определение 2.1. Фильтр (2.2) при будем называть предельным фильтром линейной
дискретной системы при асимптотически точных измерениях.
Делая в (2.2) - (2.5) предельный переход по параметру , приходим к следующим
соотношениям
, , (2.6)
где
, (2.7)
, , (2.8)
, (2.9)
которые будут справедливы при условии, что
, . (2.10)
Покажем, что эти условия выполняются при , если .
Будем полагать, что исходная система (2.1) приведена к канонической наблюдаемой
форме (КНФ)
, , (2.11)
где – единичный вектор,
, ,
Пусть . Подставляя (2.7) и (2.9) в (2.8), находим
, . (2.12)
При выражение (2.12) имеет вид
и в силу того, что .
При выражение (2.12) дает
и необходимо показать, что .
Имеем
Или в блочном виде
где – нулевые блоки указанных размерностей, а элементы матрицы равны
, .
Откуда следует, что
Таким образом, .
С другой стороны, применяя к матрице алгоритм исключения Гаусса [69] с ведущим
элементом , получим
где элементы матрицы равны
, .
Но так как алгоритм Гаусса для положительно определенной матрицы эквивалентен
алгоритму Лагранжа приведения квадратической формы с этой же матрицей к
каноническому виду [69], то . Замечая, что приходим к тому, что .
Предположим теперь, что для некоторого справедливо представление
, (2.13)
где элементы матрицы равны
,
и при этом .
Покажем, что оно будет справедливо и при . Имеем
Или в блочном виде
где элементы матрицы равны
, . (2.14)
Далее находим
откуда следует, что
С другой стороны, применение алгоритма Гаусса к матрице с ведущим элементом
приводит к соотношениям (2.14), давая при этом .
Следовательно, согласно индукции представление (2.13) справедливо для любого .
Поэтому
, ,
и условия (2.10) выполняются для при .
Соотношение (2.13) при дает
Имеем
откуда устанавливаем справедливость следующего соотношения
т.е. коэффициенты усиления в соотношении (2.7) не определены.
Найдем теперь выражения, определяющие коэффициенты усиления фильтра при .
Используя тот факт [70], что
из уравнения для фильтра Калмана (2.4) находим
Откуда следует, что
Матрицы и – невырожденные матрицы при условии, что
, , , . (2.15)
Действительно, подставляя (2.3), (2.4) в (2.5), находим
откуда следует, что
где
В КНФ устанавливаем, что
, ,
Далее находим
. (2.16)
Положим
, (2.17)
тогда из (2.16) следует, что
. (2.18)
Используя (2.5), последовательно находим
(2.19)
Выражение (2.18) при дает
. (2.20)
Из рекуррентного соотношения (2.19) с начальными условиями (2.20) при находим
. (2.21)
Положим
Нетрудно убедиться, что матрица является решением разностного уравнения
, .
Тогда соотношение (2.21) можно представить в виде
откуда устанавливаем справедливость выражения
. (2.22)
Из наблюдаемости пары следует невырожденность матрицы при [71].
Покажем, наконец, что в КНФ при коэффициенты усиления предельного фильтра,
определяемые выражениями (2.7) и (2.17), совпадают.
Из выражений (2.7), (2.13) следует, что
Покажем это, используя выражения (2.17), (2.22).
Матрица имеет вид
где
Далее находим
·······················································
где символом "*" помечены ненулевые элементы. Откуда следует, что
где L – невырожденный блок.
Используя формулу Фробениуса [69], находим n-ый столбец матрицы :
Поэтому,
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1 ([72, 73]). Пусть система (2.1) удовлетворяет условию (2.15) и
может быть приведена к КНФ. Тогда коэффициенты усиления фильтра Калмана
являются непрерывными функциями в точке , и при справедливы следующие
представления:
(2.23)
где
, (2.24)
, ,
, , (2.25)
, .
Следствие 2.1. В КНФ при коэффициенты усиления (2.23) предельного фильтра не
зависят от элементов матриц , и равны
, (2.26)
где
, .
Действительно, из представления (2.13) видно, что при элементы матрицы зависят
только от элементов матрицы , и
, ,
откуда следует справедливость представления (2.26).
2.2 Оценивание состояния в линейных дискретных системах при малом шуме в
измерениях и большой начальной неопределенности
Пусть задана линейная дискретная система
, , (2.27)
где – n - мерный вектор состояния системы, – случайный вектор; – n x n
матрица; – дискретный случайный процесс типа белого шума, – малый параметр,
, – некоррелированы; – 1 x n матрица; – наблюдения;
, ,
, , ,
- Київ+380960830922