ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНОСТЬ ПРОЦЕССА ПОЛЗУЧЕСТИ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
Известно, что ползучесть вязкоупругих материалов может реализоваться как в
линейной, так и в нелинейной областях деформирования. В связи с этим выделение
области линейности и соответственно нелинейности при изучении реологического
поведения материалов является одним из первых и основных вопросов,
рассматриваемых в теории вязкоупругости. Определение границы между указанными
областями способствует достаточно корректному расчету и прогнозированию
характеристик ползучести вязкоупругих материалов.
2.1. Определение области нелинейной вязкоупругости
Ползучесть металлов при высоких температурах и ползучесть большинства
полимерных и композитных материалов реализуется в нелинейной области
деформирования [9,31,43,80]. Эта область характеризуется несовпадением опытных
кривых податливостей и соответственно отсутствием единой функции ползучести.
Область линейности и соответственно нелинейности вязкоупругих свойств
материалов устанавливается экспериментально с использованием функций ползучести
и изохронных диаграмм ползучести [43,80]. Функции ползучести и изохронные
диаграммы ползучести строятся на основе серии экспериментальных кривых
ползучести, полученных для нескольких уровней напряжений при постоянной
температуре.
Функция ползучести определяется по кривым податливости, которые строятся для
каждого из нескольких уровней напряжений . Для функций ползучести из (1.6) с
учетом (1.33) получаем
, (2.1)
где - полная деформация, включающая упругую компоненту и компоненту
ползучести.
Из второго соотношения в (2.1) следует, что необходимым условием линейности
свойств вязкоупругих деформаций, задаваемых уравнением (1.6), является
инвариантность функции ползучести по отношению к уровню напряжений . Условие
линейности записывается соответственно в виде
, (2.2)
которое является условием существования единой кривой податливости, поскольку .
В действительности, однако, вследствие статистической природы механических
свойств реальных материалов, экспериментальные кривые податливости, построенные
для каждого из напряжений согласно (2.2), будут расслаиваться. В этом случае
судить о совпадении функций ползучести и соответственно о линейности
вязкоупругих свойств можно только с определенной погрешностью и вероятностью.
Пусть будет истинное значение функции ползучести в момент времени tj и равно её
генеральному среднему или математическому ожиданию. Величина определяется при
объемах выборки п ? 50. При малых объемах выборки (п<50), которые наиболее
часто реализуются в испытаниях на ползучесть, определяется выборочное среднее
значение функций ползучести в виде [93]
; (2.3)
где - значение функции ползучести в момент времени tj при напряжении ; п –
число кривых податливостей; j – количество временных интервалов разбиения
экспериментальной кривой ползучести и соответствующей кривой податливости.
Примем далее, что погрешность оценки единой кривой податливости составляет д по
отношению к выборочному среднему значению . В этом случае считаем, что материал
является линейным вязкоупругим с погрешностью д, если интервал
(2.4)
накрывает истинное значение функции ползучести с некоторой вероятностью Р. С
такой же вероятностью Р величина охватывается доверительным интервалом [93]
, (2.5)
где tб,k – расчётное значение квантиля статистики; SJ(tj) – выборочное среднее
квадратичное отклонение податливости , определяемое из уравнения
. (2.6)
Из совместного решения неравенств (2.4) и (2.5) для значения квантиля
статистики tб,k получаем соотношение
, (2.7)
где величине tб,k соответствует некоторое значение вероятности Р попадания в
интервалы (2.4) и (2.5).
Будем считать, что линейность вязкоупругих свойств материалов соблюдается, если
при заданной погрешности d = 0,05 вероятность попадания в интервалы (2.4) и
(2.5) будет не ниже 90%.
Проверка выполнения условия линейности (2.2) осуществляется далее в следующей
последовательности. Для вероятности Р = 90% и уровня значимости k = n – 1 по
таблицам [93] находится критическое значение квантиля статистики . Расчётное
значение квантиля статистики tб,k, найденное по формуле (2.7), сравнивается с
величиной . Считается, что материал обладает линейными вязкоупругими
свойствами, если выполняется условие
(2.8)
в исследованном диапазоне напряжений и длительностей нагружения. Если условие
(2.8) не выполняется, т.е.
, (2.9)
то вязкоупругий материал является нелинейным.
На рис. 2.1-2.4 приведены значения податливости для исследованных вязкоупругих
материалов. Экспериментальные данные (точки) получены нормированием первичных
кривых ползучести (рис. 1.2-1.5) с использованием соотношения (2.2). Тонкими
сплошными линиями нанесена аппроксимация экспериментальных значений
податливости сглаживающими кубическими сплайнами вида
(2.10)
на основе которых рассчитывались также выборочные средние значения функции
ползучести . Штриховыми линиями нанесены границы интервала, соответствующего
величине максимальной погрешности dmax = 10% (±5% от величины ).
Значения коэффициентов в аппроксимирующем сплайне (2.10) для исследованных
материалов приведены в таблицах П11-П18. В таблицах принято:
; ; ; .
Из рис.2.1 видно, что в интервалы, построенные по величине дmax = 10% от ,
попадают практически все кривые податливости для арамидных волокон СВМ и
параполиамидных нитей. Расчетные значения tб,k для этих материалов, вычисленные
по формуле (2.7) (см. рис. 2.1,в, пунктирная линия), превышает их
- Київ+380960830922