розділ 2.3). Використовуючи
(1.40), запишемо у явному вигляді вираз для кінетичного коефіцієнта:
17734178
Підставляючи (2.32) у (2.20), одержуємо ефективний потенціал
17935180
що визначає форму стаціонарного розподілу (2.18), де симетрична та асиметрична
складові мають вигляд
18136182
18337184
Одержані вирази (2.34) та (2.35) дозволяють знайти розв’язки рівнянь
самоузгодження (1.33) та фазової діаграми (1.34). Розглянемо розв’язок рівняння
(1.34), поданий фазовою діаграмою на рис.2.2. Упорядкована фаза лежить в
області параметрів системи вище поверхні поділу фаз. Як бачимо із поданої
діаграми, збільшення часу автокореляції адитивного шуму спричиняє перехід
системи в упорядкований стан при великих . Цілком протилежний ефект
простежується при малих : зростання сприяє утворенню неупорядкованого стану,
при цьому фазовий перехід стає реверсивним при збільшенні значення . Для
ілюстрації реверсивного переходу подамо розв’язок рівняння самоузгодження
залежністю на рис.2.3. З рисунка бачимо, що час кореляції адитивного шуму
починає відігравати важливу роль при певному критичному значенні параметра
зовнішнього впливу . Перевищення критичного значення приводить до зростання
параметра порядку і розширення інтервалу частот шуму при яких реалізується
упорядкована фаза. Зазначимо, що параметр зовнішнього впливу та дифузія у
випадку адитивного шуму відіграють стандартну роль: зростання і приводить до
посилення асиметрії ефективного потенціалу і, відповідно, зростання величини .
Розв’язок рівняння самоузгодження добре погоджується з результатами незалежного
чисельного експерименту, який базується на методах, запропонованих у [89]–[93].
Результати моделювання дискретної моделі (2.26) показують, що представлені
переходи носять ознаки звичайних рівноважних фазових переходів другого роду
теорії Ландау. З рис.2.4 бачимо, що параметр порядку неперервно зростає від
нуля до свого максимального значення, а потім асимптотично спадає. При цьому на
залежності сприйнятливості , де ( – усереднення за ансамблем, – усереднення за
часом) простежується поява двох піків, які означають критичне зростання
флуктуацій величини . Відомо, що таке зростання флуктуацій параметрів системи є
ознакою наближення до точки фазового переходу другого роду [29]. З рис.2.5
бачимо що в околі критичних точок з’являються довгочасові та довгопросторові
кореляції, що відображає аномальність поведінки системи у точках фазового
переходу. Проведений розгляд показує, що за наявності адитивного кольорового
шуму рівноважна система поводиться аналогічно до нерівноважній – в ній протікає
реверсивний фазовий перехід вздовж спектральної характеристики флуктуацій .
Порівняння одержаної картини з результатами, викладеними в [49], де розглянуто
модель Гінзбурга-Ландау з адитивним кольоровим шумом показує, що реверсивність
у нашому випадку пов’язується саме з формою синергетичного потенціалу . Таким
чином, узагальнений синергетичний підхід дозволяє виявити додаткові особливості
поведінки стохастичної системи.
2.4.2. Вплив шуму спряженого поля
У випадку шуму спряженого поля амплітуда флуктуацій стає залежною від параметра
стану, тобто . У такому разі лінійний аналіз на стійкість проводиться за
рівнянням:
. 18538186
Із (2.36) випливає, що наявність мультиплікативного шуму приводить до зсуву
точки переходу в область значних . Звідси випливає, що флуктуації спряженого
поля стабілізують однорідний стан.
Для дослідження картини фазових переходів запишемо кінетичний коефіцієнт у
явному вигляді:
18739188
Підставляючи (2.37), , та у (2.20), для симетричної та асиметричної складових
ефективного потенціалу маємо
18940190
19141192
Розглянемо спочатку фазові діаграми системи. Зазначимо, що для випадку шуму
спряженого поля істотною виявляється область малих значень . З рис.2.6а бачимо,
що область несиметричної фази обмежується з боку та при збільшенні часу
кореляції шуму. При малих значеннях (крива 1) у системі реалізується один
перехід типу порушення симетрії при збільшенні . Неістотне підвищення (крива 2)
сприяє процесу відновлення симетрії при збільшенні коефіцієнта дифузії.
Збільшення інтенсивності шуму приводить до подальшого звуження області
упорядкування у напрямку великих (крива 3). Зазначимо, що на відміну від
випадку адитивного шуму, дія флуктуацій спряженого поля приводить до реалізації
реверсивного фазового переходу уздовж осі параметра зовнішнього впливу та
коефіцієнта дифузії . З рис.2.6б бачимо, що шум великої інтенсивності не дає
протікати процесам упорядкування при малих значеннях : точка фазового переходу
зміщується праворуч. При цьому, при малих значеннях точка фазового переходу
відновлення симетрії віддаляється на безмежність. Отже при слабкій кореляції
шуму маємо перехід типу упорядкування при збільшенні параметра зовнішнього
впливу. Суттєво, що на відміну від випадку системи з адитивним шумом у цій
системі реалізується один перехід уздовж осі часу кореляції шуму.
Поведінка параметра порядку подана на рис.2.7. З рисунка бачимо, що при
збільшенні часу кореляції шуму параметр порядку суттєво зменшується і при
великих система перебуває в неупорядкованому стані.
Проведений теоретичний аналіз підкріплюється результатами чисельного
експерименту, поданими на рис.2.8. З нього бачимо, що параметр порядку
відрізняється від нуля лише у певній області значень параметра зовнішнього
впливу, а узагальнена сприйнятливість у точках фазового переходу значно
зростає. Поведінка просторової та часової кореляційних функцій є аналогічною до
випадку системи з адитивним шумом. Типова картина поведінки системи при різних
показана на рис.2
- Київ+380960830922