ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПТШ ДЛЯ АНАЛИЗА КОРОТКОКАНАЛЬНЫХ ЭФФЕКТОВ
Задача рассмотрения особенностей статических и динамических характеристик GaAs ПТШ в области вхождения в перенапряженный режим, включая пробой, требует создания практически эксплуатируемой численно-аналитической модели ПТШ.
Анализ приближений, используемых при описании ППП и методов их моделирования, показал, что традиционно используемые методики моделирования либо не отвечают условиям поставленной задачи, либо требуют существенных дополнений, связанных с особенностями функционирования, во-первых, короткоканальных GaAs приборов, во-вторых, приборов в режиме больших токов. Первое приводит к необходимости учета процессов рассеяния и особенностей зонной структуры арсенида галлия, второе - к необходимости рассмотрения процессов лавинного умножения носителей, особенностей тепловых режимов функционирования транзистора.
Общая задача моделирования сведена к задаче описания токово-тепловых процессов в полупроводниковой структуре с геометрией, определяемой геометрией ПТШ и задаче описания переноса заряда через контакты металл-полупроводник (КМП), создаваемые электродами транзистора, в том числе барьер Шоттки.
2.1. Численно-аналитическая модель ПТШ на GaAs
Решение задачи описания процессов, происходящих в полупроводниковых приборах, в большой степени определяется ее постановкой и требуемой точностью решения. Традиционно ППП описываются в рамках дрейфово-диффузионного или гидродинамического приближения. Для субмикронных структур короткоканальные эффекты, специфика рассеяния, лавинообразные процессы роста скорости генерации носителей, сопровождаемые активным выделением тепла, не позволяют осуществлять исследование поведения транзисторов в напряженных режимах работы и в условиях пробоя данными методами. Соответственно, поставленная задача требует более строгого рассмотрения физики процессов токопереноса в ППС.
В квантово-механической постановке строгое решение поставленной задачи требует решения уравнения Шредингера для системы электронов и ионов с соответствующими граничными и начальными условиями. Строгое решение данной задачи не представляется возможным. Существует ряд общепринятых допущений позволяющих решить уравнение Шредингера с той или иной степенью точности [119-122]. Одним из наиболее важных следствий данных решений является зонная структура полупроводниковых материалов и приближение эффективной массы для электронов проводимости [122-123].
Внутренняя кинетическая энергия кристалла GaAs складывается из кинетической энергии ядер, потенциальной энергии ядер в полях друг друга, кинетической энергии электронов, потенциальных энергий электронов в полях атомов и полях друг друга, а также магнитной энергии, обуславливаемой спиновым и орбитальным моментами электронов. Пренебрегая магнитной энергией по сравнению с энергией электрических сил, гамильтониан кристалла, при разделении электронов на свободные и валентные, записывается в виде:
где индексы и нумеруют ионы, и - электроны, - импульс, - масса иона, - масса электрона, - потенциал взаимодействия между ионами, а - потенциал взаимодействия свободных электронов с ионами.
Уравнение Шредингера для энергии стационарных состояний системы записывается в виде:
. (2.1)
Поскольку , ионы движутся примерно в 100 раз медленнее электронов и, следовательно, можно считать, что электроны практически мгновенно подстраиваются под движение ионов. Следовательно, волновую функцию можно представить в виде: , где - волновая функция всех ионов, а - волновая функция всех электронов, зависящая от мгновенного расположения ионов.
Тогда уравнение (2.1) примет вид:
где: ,
. (2.2)
Относительный вклад слагаемого, содержащего - порядка . Пренебрегая им, что соответствует адиабатическому приближению, уравнение распадается на два:
только для ионов - ;
и электронное - .
Из условия, малости отклонения ионов от положения равновесия в твердом теле, следует, что их движение рассматривается как простые гармонические колебания. Обозначив: - положение равновесия иона - его смещение, гамильтониан примет вид:
где - возвращающая сила, отнесенная к единичному смещению; - аддитивная постоянная, зависящая только от равновесного расположения ионов; - вклад ангармонических сил.
Смещения раскладываются по колебательным модам решетки, которые отвечают поперечно и продольно поляризованным волнам (акустическим и оптическим, если решетка с базисом, т.е. более одного атома на примитивную ячейку). Таким образом, движение ионов представляется в виде бегущих плоских волн, слабо взаимодействующих друг с другом из-за наличия ангармонического слагаемого с энергией:
где - среднее число фононов, т.е. колебательных квантов.
Из уравнения (2.2) следует, что при усреднении электрон-электронного взаимодействия, любые отклонения от среднего можно рассматривать как малые возмущения. Слагаемое, ответственное за отталкивание, принимает вид:
где - постоянная, составляющая энергии отталкивания электронов, а - малая флуктуирующая часть электрон электронного взаимодействия.
Поскольку, мало, считается, что каждый электрон взаимодействует с ионами решетки независимо от остальных, следовательно:
Заполнение одноэлектронных состояний определяется принципом Паули. Получается одноэлектронное уравнение Шредингера:
где: .
Взаимодействия с ионами в положениях равновесия , тогда - гамильтониан межфононного взаимодействия.
Электронная зонная структура определяется уравнением:
Собственными функциями этого уравнения являются функции Блоха.
Для кристалла GaAs с алмазоподобной структурой, существует три вида энергетических зон (долины). Зона проводимости арсенида галлия состоит из одной центральной Г-долины, боковых восьми L- и шести X-долин [114, 122-126]. Г-долина является первой центральной энергетической зоной (находится в пределах первой зоны Бриллюэна), она параболическая,