РАЗДЕЛ 2
УСОВЕРШЕНСТВОВАННАЯ МОДЕЛЬ АДМИТАНСА ОТКРЫТОГО КОНЦА КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ
В данном разделе получены основные соотношения для расчета электромагнитных
полей при измерениях диэлектрической проницаемости методом открытого конца
коаксиальной линии и рассмотрены их частные случаи. Проведено сравнение
точности результатов, обеспечиваемых в этих случаях различными моделями
адмитанса коаксиального зонда, Оценена сходимость вычислений по полноволновым
моделям.
2.1. Основные расчетные соотношения
2.1.1. Постановка задачи. Рассмотрим коаксиальный зонд, один конец которого
снабжен бесконечным идеально проводящим фланцем. Пусть ось цилиндрической
системы координат направлена вдоль оси коаксиальной линии, а плоскость фланца
(и апертура зонда) задается уравнением (геометрия задачи представлена на
рис. 2.1).
Рис. 2.1. Цилиндрическая система координат
Внутренний и внешний радиусы коаксиальной линии равны и , а относительная
диэлектрическая проницаемость ее заполнения - . Зондируемая среда представляет
собой совокупность слоев, занимающих или все полупространство , или его часть.
В последнем случае среда, в свою очередь, может быть ограничена или
полупространством с относительной диэлектрической проницаемостью (см. рис. 2.2)
или идеально проводящей плоскостью. Толщина -го () слоя равна , координаты его
левой и правой границ и , соответственно, причем в наших обозначениях , и он
характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью .
Рис. 2.2 Геометрия многослойной зондируемой среды
Размеры коаксиальной линии и рабочая частота выбираются таким образом, чтобы в
ней могла распространяться только основная мода ( волна). Наличие открытого
конца линии обуславливает появление в ней также отраженной волны и возбуждение
мод высших порядков. Поскольку и поле падающей волны, и коаксиальная линия
аксиально-симметричны, то возбуждаются только моды , в которых отличны от нуля
только радиальная и продольная компоненты электрического поля, а также
азимутальная компонента магнитного поля .
Как внутри, так и вне коаксиальной линии и (зависимость от времени вида всюду
ниже опущена) выражаются через функцию , удовлетворяющую уравнению
15316
посредством соотношений
17418
где и - волновые числа в среде и в вакууме, соответственно.
2.1.2. Поля в коаксиальной линии и в зондируемой среде. Выражения для
электрического и магнитного полей при можно представить в виде модовых
разложений [41]
19520
21622
где коэффициент обеспечивает нужную размерность, индекс соответствует основной
() моде, а - высшим модам, распределение поля в которых определяется функциями
Здесь и всюду ниже и - функции Бесселя порядка первого и второго рода, а () -
упорядоченные по возрастанию корни уравнения
обеспечивающего выполнение граничных условий для продольной компоненты
электрического поля на поверхностях внутреннего и внешнего проводников
коаксиальной линии
Множители находятся из условия ортонормированности на интервале
полной системы функций и определяются выражениями
Постоянные распространения основной и высших мод равны
где - волновое число в коаксиальной линии (для простоты полагалось, что
магнитная проницаемость ).
Как видно из структуры выражений (2.3) и (2.4), имеет смысл коэффициента
отражения основной моды, а - амплитуды возбуждения на апертуре моды. Поле
внутри коаксиальной линии определяется всеми коэффициентами , однако, если
интересоваться только процессом отражения основной моды, то задача сводится к
определению величины .
Для нахождения полей в слоистой зондируемой среде удобен спектральный метод
[59-61], который применительно к данной задаче сводится к использованию
преобразования Ханкеля по поперечной координате . Если магнитное поле в i-том
слое (при ) представить в виде
, 23724
то, в соответствии с (2.2), для продольной компоненты электрического поля
получаем
, 25826
где ,
- волновое число в -том слое, причем корень выбирается так, чтобы , ,
и определяются условиями на его границах при и .
Условие непрерывности тангенциальных составляющих магнитного (2.5) и
электрического (2.6) полей между смежными -м и ()-м слоями зондируемого
пространства дает пару уравнений
из которых получается рекуррентное соотношение, связывающее и :
Его можно преобразовать к явному виду [57]
27928
где
291030
Аналогичным образом, условие непрерывности тангенциальных составляющих полей на
границе последнего -го слоя дает для ограничивающего полупространства равенства
и, как следствие, формула (2.8) принимает вид
311132
где ,
,
а корень опять выбирается так, чтобы выполнялось , .
Для ограничивающей идеально проводящей границы вместо (2.7) имеем,
соответственно, . Таким образом, получается выражение для через диэлектрические
и геометрические характеристики всех слоев и ограничивающей среды.
2.1.3. Согласование полей на апертуре зонда. Рассмотрим отдельно процедуру
сшивки общих решений на апертуре зонда. Поля в первом прилегающем к фланцу слое
в соответствии с выражениями (2.5) и (2.6) представляются при в виде
, 331234
. 351336
Обращая преобразования Ханкеля (2.11), получим равенство
, 371438
позволяющее, с учетом (2.10), связать значения магнитного и электрического
полей при :
391540
где
. 411642
431744
В силу непрерывности и при , равенство (2.13) можно переписать также в виде
Подстановка в него вытекающих из (2.3) и (2.4) выражений для полей на апертуре
приводит к искомому функциональному (относительно ) уравнению в параметрическом
(по коэффициентам ) виде
451846
решать которое можно различными способами.
Метод точечного согласования (метод коллокаций). Приведение подобных членов
- Київ+380960830922