РАЗДЕЛ 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СУБМИЛЛИМЕТРОВОГО ЛАЗЕРНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ПО ПОЛЫМ СВЕРХРАЗМЕРНЫМ ВОЛНОВОДАМ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
2.1. Методы исследования распространения лазерного излучения по полым сверхразмерным волноводам
2.1.1. Геометрооптический подход. Этот метод применим для анализа передачи излучения как в полых круглых сверхразмерных диэлектрических, так и в металлических волноводах. Как будет показано ниже, определяющую роль в модели распространения излучения играет показатель преломления стенок волновода.
Пусть на входной торец волновода (z = 0) круглого сечения падает гауссовый пучок, линейно поляризованный вдоль оси , распространяющийся вдоль оси волновода в свободном пространстве. Причем перетяжка пучка совпадает со входом волновода. Запишем в общем виде падающее излучение в декартовой системе координат:
, (2.1)
где
, (2.2)
- радиальная координата;
w0 - радиус перетяжки пучка по амплитуде на уровне от ее максимального значения;
А0 - амплитуда поля.
Учтем влияние апертуры волновода на падающее излучение. Рассмотрим слабую дифракцию гауссового пучка. Согласно [49] гауссов пучок, слабо дифрагирующий на круговой апертуре, может быть аппроксимирован в дальней зоне другим гауссовым пучком со слабо отличающимися характеристиками. Связь между параметрами падающего и прошедшего через входную апертуру волновода пучков определяется по следующим выражениям:
, (2.3)
где , - амплитуда поля и радиус перетяжки продифрагированного пучка;
а - радиус волновода.
Учитывая выражения (2.3), в волноводе будет распространяться излучение следующего вида
, (2.4)
где - радиус пучка, где поле спадает в e-1 раз;
? - длина волны;
- радиус кривизны волнового фронта.
Разложим электрический вектор поля распространяющегося пучка на две составляющие параллельную и перпендикулярную плоскости падения излучения на стенку волновода:
, (2.5)
где , ;
- орты цилиндрических координат.
Используя геометрическую оптику, будем считать, что пучок состоит из лучевых трубок или лучей, заключенных в пределах элементарного телесного угла, лежащих в меридиональных плоскостях волновода и имеющих общее начало - центр пучка. При таком рассмотрении поле на оси волновода не может быть определено [52]. В любой другой точке наблюдения внутри волновода поле есть суперпозиция полей исходного и отраженного от границы волновода лучей, которые можно считать исходящими из точек, смещенных по ? на 2an (рис. 2.1.), где n - число отражений
, (2.6)
где ;
- коэффициенты отражения Френеля [128].
Они имеют следующий вид :
, , (2.7)
где - показатель преломления среды в волноводе;
, - определяются из выражения для показателя преломления стенки волновода ;
, - из соотношения ;
, - углы падения и преломления луча.
Угол падения определяется выражениями: , .
Площадь поперечного сечения лучевой трубки, которое она имела бы без отражений (рис. 2.2), равна: , где -
расстояние до точки наблюдения вдоль луча. Тогда поток энергии, проходящий через это сечение, равен:
,
где - интенсивность излучения в сечении, перпендикулярном лучу. Считаем, что при отражении луч фокусируется в линию, лежащую на оси волновода. Тогда в точке наблюдения площадь поперечного сечения луча равна:
,
где ;
- угол, под которым эта точка видна из центра пучка.
Поскольку поток энергии в луче постоянен, то интенсивность в данной точке:
,
а интенсивность лучей в сечении, перпендикулярном оси волновода: . Отсюда поле n-го пучка в (2.6) имеет вид:
. (2.8)
Таким образом, суммарная интенсивность в любой точке волновода будет определяться следующим выражением
, (2.9)
где ,
.
Мощность пучка на расстоянии L от его входного торца
. (2.10)
Полученные соотношения позволяют определить коэффициент передачи излучения по мощности в волноводе T(L) и степень поляризации выходного излучения П(L):
, , (2.11)
где - мощность излучения исходного пучка,
Однако данный подход имеет ограничения на длину волновода, так длина волновода не должна превышать значения [52]. Это связано с тем, что в волноводе возникают сложные интерференционные эффекты между падающим и отраженными лучами, которые данный подход не учитывает.
2.1.2. Модовый подход для диэлектрических волноводов. Этот метод применим для анализа передачи излучения как в полых круглых диэлектрических, так и в металлических волноводах. Однако главным критерием возбуждения гибридных мод в этих волноводах является удовлетворение соотношения Маркатили-Шмельтцера [45] , где k - волновое число, ? - показатель преломления материала волновода, umn - n-й корень уравнения ( - функция Бесселя m-1 порядка). В субмиллиметровом диапазоне для металлических волноводов это соотношение не выполняется, поэтому данный метод применяют для анализа распространения излучения в полых круглых диэлектрических волноводах.
Запишем конфигурации полей для основных гибридных мод полого круглого диэлектрического волновода:
1. Моды
,
,
.
2. Моды
,
,
.
3. Моды
,
,
,
,
,
,
где - нормированная радиальная координата;
- полярный угол;
? - круговая частота волны;
- постоянные распространения собственных мод волновода вдоль оси z.
, (2.12)
.
Рассмотрим возбуждение полого круглого диэлектрического волновода линейно поляризованным в направлении осесимметричным гауссовым пучком, распространяющимся вдоль оси волновода, у которого ось симметрии совпадает с осью волновода, а перетяжка излучения расположена на входе волновода. Тогда исходное поле излучения в цилиндрической системе координат (?,?,z) имеет вид:
, (2.13)
где .
Вследствие заданной таким образом поляризации исх