РАЗДЕЛ 2
АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
УПРАВЛЕНИЯ
ГИБРИДНЫМИ СИСТЕМАМИ
Описан базовый вариант метода конечного состояния как основы для модификации
применительно к гибридным системам управления, систематизированы и получили
дальнейшее развитие методики его применения для решения ряда задач управления,
произведен анализ и выбор форм математического описания гибридных систем для
обобщенных вариантов метода конечного состояния.
2.1. Базовый вариант метода конечного состояния
В данном подразделе описан базовый вариант метода конечного состояния [49],
подлежащий последующим модификациям применительно к двум разновидностям
гибридных систем управления.
Базовый вариант метода конечного состояния предназначен для решения
терминальной задачи в смысле определения из подраздела 1.1, т.е. получения
такого конечного состояния, при котором целевая функция критерия приобретает
(точно или приближенно) желаемое достижимое значение. Соответствующая
постановка задачи имеет вид терминального критерия
(2.1)
и описания объекта управления в виде нелинейной системы дифференциальных
уравнений в нормальной форме Коши с аддитивным управлением:
(2.2)
где ? вектор состояния системы; – вектор управляющих воздействий;
? нелинейная непрерывная и непрерывно дифференцируемая вектор-функция; ? –
матрица коэффициентов при векторе управления ; – целевая функция критерия; –
желаемое значение терминального критерия; – известный вектор начальных условий,
– конечное время функционирования системы.
Известные на всем интервале детерминированные внешние воздействия, по
предположению, входят в вектор-функцию .
Наряду с (2.2) рассматривается также соответствующая однородная система с
переменными, обозначенными :
(2.3)
Для конструирования терминального управления методом конечного состояния
(МКС-управления) используется соотношение В.М.Алексеева [84], обобщающее
известную формулу Коши-Лагранжа на дифференциальные нелинейные системы с
аддитивным управлением, согласно которой решение неоднородной системы (2.2)
представляется через решение однородной системы (2.3) в виде:
. (2.4)
Внеинтегральный член , названный вектором переменных конечного состояния (ПКС),
отображает прогноз конечного (в момент ) состояния неуправляемой системы,
находящейся в момент в точке (состоянии) . Интегральный член содержит под
знаком интеграла нелинейную переходную матрицу , определяемую вместе с ПКС как
функции первого аргумента уравнениями:
(2.5)
где – единичная матрица, – якобиан.
Переменные конечного состояния можно определить и как функции второго аргумента
. Для этого необходимо продифференцировать левую и правую часть формулы (2.4)
по вдоль интегральной кривой .
Поскольку в данном случае не зависит от , производная левой части (2.4) равна
нулю и в итоге получится:
(2.6)
Векторно-матричное уравнение (2.6) называется моделью конечного состояния,
особенностью которого является отсутствие ПКС в правой части.
Наличие связи между переменными состояния и переменными конечного состояния при
любом ) позволяет заменить терминальную задачу с критерием задачей приведения к
желаемому значению критериальной функции времени , при в пространстве
переменных конечного состояния. Функция времени названа критериальной
функцией.
Поскольку для любой целевой функции выполняется равенство (см. начальные
условия из (2.3)), то на этой основе можно строить алгоритмы управления
вектором переменных конечного состояния . При этом автоматически будет
достигнута и цель управления по переменным состояния . МКС-управление строится
на основе обеспечения желаемой траектории критериальной функции , т.е. метод
конечного состояния является одним из методов обратной задачи динамики.
Желаемая траектория критериальной функции задается в виде определяющего ее
дифференциального уравнения с некоторой функцией правых частей :
. (2.7)
Начальные условия для уравнений (2.7) могут быть рассчитаны путем
интегрирования системы (2.3) на интервале .
Для определенной выше критериальной функции времени , полученной путем
подстановки в целевую функцию критерия переменной конечного состояния вместо
состояния в конечный момент времени, получается дифференциальное уравнение:
С учетом (2.6):
(2.8)
После приравнивания (2.7) и (2.8) и выполнения операции псевдообращения [85]
получается выражение для управления:
(2.9)
где
, (2.10)
,
Из (2.9) следует, что достижимость заданной траектории определяется свойствами
скалярной функции (в частности, наличием ее нулевых значений в каких-то точках
временной оси), от выбора и параметра .
Например, при
(2.11)
имеем соответственно экспоненциальную с постоянной времени траекторию,
приближающуюся при к желаемому значению критерия . При (практически ) к моменту
критериальная функция, а, следовательно, и конечное состояние окажутся равными
.
Возможны и другие формы желаемых траекторий, стремящихся к моменту к значению .
Например, при указанная траектория имеет вид прямой, соединяющей начальную
точку и конечную . Однако по ряду причин более предпочтительна экспоненциальная
форма. Во-первых, такая форма проверена на задачах управления разнообразными
объектами, где была достигнута высокая точность управления. Во-вторых, вид
экспоненциальной траектории задается параметром , что позволяет регулировать
время переходного процесса и амплитуду управляющего воздействия. В-третьих,
экспоненциальная форма способствует устранению рассогласования между начальным
и конечным состоянием в начальной стадии процесса управления. В оставшее
- Київ+380960830922