РАЗДЕЛ 2
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ
Важной предпосылкой эффективного управления сложными техническими системами является выбор математических средств, позволяющих получить их адекватное и компактное описание. В настоящем разделе рассматривается совокупность стохастических моделей, необходимых для функционирования самонастраивающихся систем управления многомерными объектами в условиях медленного дрейфа параметров. При этом принимается во внимание концепция байесовского описания управляемых процессов, основанная на применении условных распределений вероятностей.
2.1. Обобщенная модель процесса
Рассмотрим стохастическую систему, данные о которой наблюдаются в дискретные моменты времени В соответствии со схемой адаптивного управления, приведенной в разделе 1, эти данные содержат управляющий вход , управляемый выход , внешнее измеряемое возмущение , вектор установок регулятора . Совокупность всей информации, доступной в момент , обозначим как
(2.1)
Предположим, что существует стохастическая модель, позволяющая определять распределение вероятностей вектора данных и его отдельных составляющих для последующих тактов идентификации и управления по результатам текущих наблюдений.
В случае обычного регулирования или программного управления процессом сигналы для всех тактов принятия решений априори известны и заданы. В более общем случае (для следящего управления) будущий сигнал установки, как правило, однозначно не определен.
Применяя последовательно байесовское цепное правило (А.18), можно представить совместную функцию условного распределения для прогнозирования будущих данных следующим образом:
. (2.2)
Рассмотрим смысл отдельных сомножителей произведения (2.2).
Стратегия управления функцией условных распределений вида
(2.3)
представляет собой стохастическое преобразование, в соответствии с которым управление на каждом такте генерируется на основании доступных данных.
Эволюция внешних возмущений определяется функцией вида
(2.4)
Очевидно, что изменение сигнала можно считать автономным процессом, определяемым внешней средой.
Если предположить, что не существует скрытых связей в контуре управления, которые могут влиять на изменение сигнала уставок , то в общем случае можно прогнозировать его эволюцию с помощью функции вида
(2.5)
Важнейшей составляющей произведения в правой части (2.2) является функция, определяющая вероятностную зависимость выхода управляемой системы от предыстории процесса и текущих данных, т.е.
. (2.6)
Очевидно предположить, что обусловленность выхода от является избыточной, т.к. эволюция сигнала уставок может влиять на только посредством данных , которые уже включены в условие. Таким образом, управляемый процесс характеризуется следующим стохастическим преобразованием:
(2.7)
Семейство функций условных распределений (2.7) для всех задает математическую модель процесса. Целью моделирования с использованием байесовских оценок можно считать определение параметров этих распределений, позволяющих проводить выбор необходимых стратегий управления, основанных на пошаговом вычислении функции (2.3).
Рассмотрим зависимость (2.7). Предположим, что в соответствии с зафиксированной ранее совокупностью данных выбирается некоторое управление , которому соответствует оценка прогнозируемого выхода . Этот прогноз может оказаться и абсолютно точным на отдельных тактах контроля и управления, но в общем случае действительное значение выхода будет равно
, (2.8)
где величина отражает рассогласование между действительным значением и его оценкой и может быть как положительной, так и отрицательной. В момент времени регистрируется новый набор данных и выбирается новое управление в соответствии с некоторой стратегией. По этим данным опять можно осуществить прогноз значения выхода , действительное значение, которого составит
. (2.9)
Естественно предположить, что выбираемые оценки , , являются средними значениями действительных величин
. (2.10)
Выразим оценку с помощью некоторой детерминированной функции
. (2.11)
В этом случае выходную величину можно представить в виде
. (2.12)
Таким образом, модель процесса определяется совокупностью детерминированной части и случайной составляющей .
Для большинства реальных технических систем допустимо считать временной ряд дискретным белым шумом, т.е. последовательностью некоррелированных величин с нулевым средним значением. Нетрудно видеть, что эта последовательность обладает следующими свойствами
; (2.13)
; (2.14)
; (2.15)
. (2.16)
Доказательства этих свойств приведены в [11].
Отметим, что в детерминированной части зависимости (2.12) учитывается полная совокупность данных от начального момента наблюдения до момента . Однако известно, что в реальных системах на текущий выход не влияют существенно данные, измеренные много тактов наблюдения назад. Зачастую можно предположить, что существует такое целое число n, для которого справедливо
, (2.17)
где определяет учитываемую часть предыстории. Если оценивать качество модели по критерию среднеквадратичной ошибки прогноза, то для целей управления, как правило, достаточно использовать модель порядка .
Очевидно, что в случае линейности функции (2.11) прогнозирующая модель процесса будет также линейной.
Определение 2.1. Модель стохастического процесса является линейной, если математическое ожидание (среднее значение функции (2.17)) может быть представлено линейной функцией данных, причем ковариация не зависит от этих данных, т.е.
; (2.18)
. (2.19)
Подставив (2.18) в (2.8), получаем
, (2.20)
где