РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ СТАБІЛІЗАЦІЇ РУХУ ВИМІРЮВАЛЬНОЇ ГОЛОВКИ
В галузі створення систем стабілізації і управління складними динамічними
об’єктами, які знаходяться в процесі експлуатації під дією багатьох
дестабілізуючих факторів, вирішення питань досягнення найвищої якості (як
правило, найвищої точності стабілізації) базується на використанні наукових
підходів та алгоритмів оптимального проектування таких систем, методів сучасної
теорії управління і має важливе значення при розробці автоматизованих систем
управління.
Високоякісне управління координатно-вимірювальною машиною може бути забезпечено
в ковзному режимі при використанні законів управління, побудованих, наприклад,
на основі принципу декомпозиції [78,79]. Ці закони забезпечують асимптотичну
стійкість руху системи, коли відхилення стають рівними нулю в асимптотиці при
необмеженому збільшенні часу. При цьому за деякими змінними (за узагальненими
швидкостями) відхилення стають рівними нулю вже через скінчений час. Можливість
компенсації відхилень через скінчений інтервал часу є важливою, оскільки
дозволяє змінювати характер перехідного процесу та забезпечити високу якість
управління системою.
В роботах [6-10,80,81 та інші.] не вирішені питання розробки математичної
моделі управління КВМ та руху вимірювальної головки, а також синтезу системи
стабілізації вимірювальної головки КВМ.
Вирішення питань високоточних вимірювань, підвищення швидкодії КВМ неможливе
без реалізації вищевказаних задач.
В даному розділі розглянуто математичні моделі руху та стабілізації системи,
стабілізації швидкості та переміщення вимірювальної головки, а також синтез
системи стабілізації руху вимірювальної головки з моделлю-еталоном.
2.1. Математична модель руху та стабілізації системи керування
координатно-вимірювальної машини
Розглянемо систему, що описується рівняннями Лагранжа другого роду [82]
(2.1)
де q – вектор-функція узагальнених координат, Т – кінетична енергія
. (2.2)
Через (Qi + Мi) позначені узагальнені сили, Qi – сили опору, Мi – управляючі
узагальнені сили (управління), які створюються виконавчими приводами.
Допустимими управліннями вважаються функції Мi(t), які сумуються на будь-якому
скінченому інтервалі часу і задовольняють нерівності:
. (2.3)
Ціллю управління системою є
, (2.4)
де - задана програма зміни координати qi. В якості допустимих програм q = (t)
будемо розглядати можливі рухи системи.
Множину всіх можливих рухів системи позначимо через Ф. Будемо вважати, що Ф
містить будь-які вектор-функції q(t) = {q1(t)……qn(t)}, що задовольняють вихідну
систему, причому відповідні управління :
(2.5)
повинні бути допустимими, тобто
. (2.6)
В якості незбурюваного руху системи розглянемо функцію f= з підмножини Фhc
множини Ф виду
. (2.7)
Параметр h > 0 цієї множини може бути вибраний достатньо малим, а с>0 великим,
В цьому випадку множина Фhc допустимих рухів практично співпадає з множиною
можливих (фізично реалізуємих) рухів Ф даної КВМ.
Задача полягає в тому, щоб побудувати такий універсальний закон управління
системою, який забезпечить сильну стійкість практично всіх її рухів (t)ОФhc.
Ідея розв’язання поставленої задачі пов’язана з виводом системи на такий режим
руху
(2.8)
що має властивість сильної стійкості, для " e >0, , таку, що
(2.9)
в систему (2.8) переходить режим , при n =1, q =(t)+x, v =+V.
При русі (2.1) в режимі (2.8) сильна стійкість рухів системи безпосередньо буде
випливати з сильної стійкості режиму (2.9). Основні проблеми пов’язані з
побудовою такого закону управління, який виведе систему (2.1) на стійкий режим
(2.8).
В систему (2.8) переходить вихідна система (2.1) при n=1, a11=1, Qi=0,
q=q*(t)+x1q*(t)є0.
Для побудови закону управління системою , можна використовувати, наприклад,
функцію Ляпунова
(2.10)
де величина характеризує відхилення руху КВМ від заданого.
З рівності
(2.10’)
випливає Х =0, тобто випливає рівність (2.8), що описує заданий режим системи
(2.1).
Обгрунтування рівності нулю функції Ляпунова G(t) пов’язане з аналізом її
похідної
(в силу рівнянь руху системи). Необхідно забезпечити від’ємність похідної G та
спадання її до нуля. Для цього закон управління вибирається з умови:
(2.11)
і має вигляд
. (2.12)
Відповідна замкнута система в цьому випадку записується у формі
. (2.12')
З урахуванням (2.12) вираз для приймає вигляд
. (2.13)
Права частина виразу для похідної (2.13) далі мажорується. Ціль полягає в тому,
щоб побудувати диференціальну нерівність
яка характеризує динаміку зміни функції Ляпунова G на рухах системи , і вже з
аналізу одержати шукану рівність як рішення диференціальної нерівності.
В даному випадку вираз має вигляд
якщо виконується нерівність
(2.13')
де
Розглянемо неперервні режими виду:
(2.14)
Функція L=L(X) при X>0 є деякою неперервною додатньо визначеною функцією при
задовольняє нерівності
(2.15)
Якщо в (2.14) тоді
(2.16)
або
Рух =0 системи (2.16) є сильно