РАЗДЕЛ 2
Теоретические основы решения прямой задачи в подводе гидравлической турбины
В этом разделе сделана характеристика математических моделей и методов расчета
гидродинамических параметров потока и лопастных систем подвода. Приведены
аналитические выражения для скоростей от гидродинамических особенностей с
использованием которых строят алгоритмы решения прямых задач для анализа и
совершенствования качественных показателей гидравлических турбин на стадии
проектирования. Принципиальным отличием выполненных исследований от имеющихся
является:
- учет взаимного влияния элементов проточной части на течение жидкости в каждом
элементе: спиральной камере, статоре, направляющем аппарате;
- в отличие от работ [21,39,52,55] улучшен алгоритм решения прямой двухмерной
задачи;
- плоская двухмерная задача решена методом панельных гидродинамических
особенностей для всех элементов;
-в основу алгоритма решения прямой трехмерной задачи принята замкнутая вихревая
рамка.
2.1. Общая классификация моделей течения жидкости и особенности их численной
реализации
При проектировании гидротурбин, а так же других гидравлических машин, выбор
геометрических размеров и формы проточной части, учет взаимного влияния
элементов: спиральной камеры, бычков, колонн статора, лопаток НА, лопастей РК и
отсасывающей трубы с целью обеспечения высоких энергетических и динамических
характеристик, представляет собой сложную задачу. Как было отмечено выше, она
решается, в основном, на основании опыта и интуиции конструктора или с
использованием упрощенных математических моделей течения жидкости в проточной
части, анализ которых будет сделан ниже.
2.1.1. Общая модель течения (модель Навье-Стокса)
Наиболее рациональное решение поставленной нами задачи может быть получено в
результате расчета нестационарного трехмерного движения вязкой несжимаемой
жидкости, которое описывается уравнением в векторной форме в напряжениях [ 71]
, (2.1)
где - вектор скорости, - вектор массовых сил, - плотность жидкости, - векторы
напряжений в центре площадок, обозначения которых соответствуют направлению
нормалей к ним.
К трем уравнениям (2.1) в проекциях на оси координат присоединяется уравнение
неразрывности
. (2.2)
В общем случае система уравнений (2.1, 2.2) незамкнута, так как в ней число
неизвестных превышает число уравнений. Для их решения составляют дополнительные
уравнения, связывающие возникающие в жидкости касательные и нормальные
напряжения с ее скоростями.
Согласно обобщенной гипотезе Ньютона, напряжения, зависящие от вязкости,
пропорциональны соответствующим относительным скоростям деформаций жидкой
частицы
; ; , (2.3)
а касательные напряжения пропорциональны относительным скоростям угловых
деформаций
(2.4)
где p - давление в вязкой жидкости, m - коэффициент динамической вязкости.
После подстановки в (2.1) выражения нормальных и касательных напряжений
согласно принятым гипотезам (2.3, 2.4), и считая , а , получим систему
уравнений движения вязкой жидкости, называемую уравнениями Навье-Стокса. В
векторной форме она имеет вид
, (2.5)
где D - оператор Лапласа.
Уравнения (2.5) в проекциях на оси координат – нелинейные дифференциальные
уравнения второго порядка в частных производных. Нелинейность их обусловлена
членом с конвективным ускорением. Их решения следует подчинить начальным и
граничным условиям. Все соображения о начальных условиях для течения невязкой
(идеальной) жидкости сохраняют свою силу и для вязкой жидкости. Принципиально
новым является лишь изменение граничного условия на твердых границах потока.
Граничное условие на теле при обтекании его потоком вязкой жидкости наряду с
условием непротекания и безотрывного обтекания (Vn=0), на поверхности
выполняется условие прилипания жидкости, т.е. касательная составляющая скорости
Vt=0. Выполнение условия прилипания совершенно не зависит от материала
поверхности и степени чистоты его обработки. Оно одинаково выполняется при
обтекании поверхностей как смачиваемых, так и несмачиваемых жидкостей. В
настоящее время это условие является общепринятым в гидромеханике вязкой
жидкости. Анализ возможных решений уравнений Навье-Стокса при полных граничных
условиях показывает, что не существует такого общего решения для уравнения
Лапласа, которое удовлетворяло бы двум граничным условиям для касательной и
нормальной производных потенциала на теле. Из этого следует, что безвихревое
движение вязкой жидкости, удовлетворяющее уравнению движения, не удовлетворяет
граничным условиям на теле. Иными словами, безвихревое течение вязкой жидкости
во всей области течения, в том числе и около твердых стенок, не может
существовать, т.е. уравнения Навье-Стокса описывают вихревое течение жидкости.
Нелинейность уравнений Навье-Стокса и отсутствие потенциала скорости очень
затрудняет решение уравнений ее движения. До настоящего времени не разработаны
общие методы решения нелинейных уравнений Навье-Стокса. Для них нет общей
формулировки и доказательства теорем существования и единственности [62].
2.1.2. Модели на основе теории пограничного слоя (модели Л.Прандтля)
Необходимость удовлетворять одновременно двум граничным условиям на поверхности
тела: непротекания Vn=0 и прилипания Vt=0 делают возможным получить точные
решения этих уравнений только для простейших частных случаев, когда
конвективное ускорение можно считать равным нулю. Численные методы, позволяющие
приближенно решить систему уравнений Навье-Стокса в случае медленных течений,
учитывают конвективное ускорение, но по величине инерционные силы очень малы по
сравнению с силами вязкос