Содержание
Введение..............................................................4
Глава 1. Продолжение тензорных нолей с гладкого многообразия в расслоение дважды ковариантных тензоров
§ 1. Расслоение дважды ковариантных тензоров.........................11
§ 2. Функции на расслоении дважды ковариантных тензоров, порожденные
тензорными полями....................................................16
§3. Вертикальный лифт тензорных полей типа (0,2).....................20
§4. Полный лифт векторных полей......................................22
§5. Естественное продолжение диффеоморфизма базы в расслоение
Т?(М„)...............................................................24
§5. Специальные вертикальные лифты тензорных полей типа (1,1)........28
§6. Специальные лифты тензорных полей типа (3,1).....................32
§7. Горизонтальный лифт векторных полей..............................35
§8. Связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля.......39
§9. Адаптированные реперы и кореперы на расслоении Г2°(А/Я)..........40
§10. Специальный вертикальный лифт тензорных полей типа (2,2)........43
§11. Специальный горизонтальный лифт тензорных полей типа (3,0)......46
§12. Вертикальный лифт линейных форм.................................49
Глава 2. Продолжение линейной связности с гладкого многообразия на расслоение дважды ковариантных тензоров § 1. Горизонтальный лифт линейной связности на расслоение дважды
ковариантных тензоров......................................... 52
§ 2. Операция ковариантного дифференцирования на расслоении Г2°(М59
§3. Проектируемые поля и связности на Т%(Мп) ........................64
§4. Некоторые свойства горизонтального лифта связности...............66
Глава 3. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения
дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта
§ 1. Разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования расслоения (7’20(Л/„), Vй)......................69
§ 2. Второе разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования расслоения (Т^Vй)...............................83
§ 3. Инфинитезимальное аффинное преобразование пространства
(7,2°0и„), Vй) над максимально подвижным не проективно плоским
пространством (АГ„,У)..........................................89
Библиографический список..........................................106
Введение
Теория расслоенных пространств - одна из наиболее быстро развивающихся областей в современной математике, которая в настоящее время активно исследуется. Теория расслоений возникла на стыке геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и других разделов математики и механики. Методы расслоенных пространств использует гамильтонова механика и физика, [1].
Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам: Сасаки, [23], Яно, Ишихара, [26]. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений, к числу первых можно отнести работы Яно, Мока [27], [22]. В указанных работах авторы рассматривали теорию продолжения тензорных полей и аффинных связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное и кокасательное расслоение. В известной работе Яно и Ишихара [25] подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года.
Общая теория тензорных расслоений была рассмотрена Б.Л. Лаптевым. В работе [8] он, обобщая понятие пространств Финслера, Бервальда, Картана, вводит понятие пространства тензорных опорных элементов, аксиоматически строит аффинную связность в таких пространствах путем обобщения понятия ковариантного дифференцирования. Исходя из ряда требований, определяющих строение ковариантного дифференциала относительного тензора, им было показано, что указанная связность определяется заданием некоторых пфаффовых форм [8]. Такую связность называют внутренней (инфинитезимальной) связностью расслоенного пространства.
Существенные результаты по теории внутренних связностей векторных расслоений получил Тонг, итоги его исследований подведены в
5
работе [24]. Им построена операция внутреннего ковариантного дифференцирования на модуле сечений векторного расслоения. Операция ковариантного дифференцирования в свою очередь может быть положена в основу определения внутренней связности.
Обобщения понятия внутренней связности начались с работ Вонга и Молино. Общую конструкцию обобщенной связности в векторных расслоениях предложил Спесивых В.Л., задавая ее с помощью аффинора [10].
Вопросами построения и изучения внешней связности на векторных расслоениях занимался Б.Н. Шапуков [12]. Им показано, что если на векторном расслоении задана внешняя связность, то при некоторых условиях в расслоении определяется, некоторая внутренняя связность, в общем случае нелинейная.
При изучении векторных расслоений особое внимание Б.Н. Шапуковым уделено тензорным расслоениям, поскольку здесь появляются специфические структуры [13], [14]. Обзор результатов по
дифференциальной геометрии тензорных расслоений изложен Б.Н. Шапуковым в работе [15].
Одним из способов получения внешней связности на расслоении является поднятие базовых связностей в расслоенное пространство. Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связностей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К. Яно, А. Леджером, Ш. Кобаяси, Ш. Ишихарой.
Неоднократно, с различных точек зрения рассматривался полный лифт линейной связности на касательных расслоениях различного порядка, [4]. На расслоении линейных реперов он был построен в работе Мока [21], на тензорных расслоениях полный лифт построен Б.Н. Шапуковым в работе [16]. Проблему построения полного лифта в аффинорное расслоение рассматривал П.Л. Беляев в [2].
6
Горизонтальный лифт линейной связности, заданной на базе, в касательное и кокасательное расслоение построен в работе [25] К. Яно и Ш. Ишихара, в тензорном расслоении произвольного типа (рд) горизонтальная связность изучена Б.Н. Шапуковым в работе [19].
В работе [20] изучаются обобщения расслоения аффиноров -тензорные расслоения типа (1//), определяется диагональный лифт римановой метрики с базы в это расслоение.
Вопрос об инфинитезимальных преобразованиях расслоений над дифференцируемым многообразием с заданной связностью имеет большое значение. Он достаточно подробно изучен для касательных расслоений, [25]. И.П. Егоров изучал преобразования в пространствах аффинной связности, а также в различных обобщениях пространств аффинной связности, [6].
Целью представленной работы является изучение инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта.
Методы исследования. Исследования проводятся в основном локально, с использованием аппарата тензорного анализа. Функции, тензорные поля
предполагаются гладкими класса С*.
Научная новизна. В работе построен горизонтальный лифт линейной связности, заданной на гладком многообразии, с помощью другой линейной связности, заданной на базе, в расслоение дважды ковариантных тензоров.
Получено разложение произвольных инфинитезимальных аффинных
преобразований расслоения (Г2°0и„), Vй). Найдены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования. Выяснена структура тензорных полей, входящих в разложение этого преобразования.
Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер, является продолжением изучения тензорных расслоений типа (0,2) и инфинитезимальных аффинных преобразований этих расслоений. Результаты
7
диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории тензорных расслоений.
Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих 20 параграфов и списка литературы.
Основные результаты диссертации
1. Построены лифты с дифференцируемого многообразия в его расслоение дважды ковариантных тензоров. Изучены некоторые свойства построенных лифтов. Вычислены коммутаторы некоторых типов векторных полей, полученных на расслоении с помощью этих лифтов.
2. Построена связность на расслоении с помощью горизонтального поднятия линейной связности, заданной на базе, горизонтальное поднятие осуществляется с помощью некоторой другой связности, заданной на этом же многообразии. Изучены некоторые свойства поднятой связности, свойства операции ковариантного дифференцирования, определяемой горизонтальным лифтом связности на расслоении.
3. Получено разложение произвольного инфинитезимального аффинного
преобразования пространства (Г20(А/я), Vй). Найдены необходимые и достаточные условия существования этого разложения.
4. Рассмотрено инфинитезимальное аффинное преобразование пространства (Г2°(М„), Vй) над максимально подвижным не проективно плоским пространством (МпУ). Показано, что все слагаемые, входящие в разложение инфинитезимального аффинного преобразования существенны.
Краткое содержание диссертации
Введение содержит краткий обзор по теории расслоенных пространств, обоснование темы диссертации, краткое содержание работы.
В первой главе строятся продолжения тензорных полей с гладкого многообразия на его расслоение дважды ковариантных тензоров.
В §1 дается определение тензорного расслоения типа (0,2), вводится структура гладкого многообразия на нем, индуцированная гладкой структурой на базе.
В §2 определяются функции, порожденные тензорными полями, которые позволяют в дальнейшем построить продолжения тензорных полей с базы в расслоенное пространство.
В третьем параграфе определяются вертикальные лифты тензорных полей типа (0,2), доказывается, что построенный лифт является гомоморфизмом Г-модуля тензорных полей типа (0,2) на базе в Г-модуль векторных полей на расслоении относительно вертикальных лифтов функций.
В §4 изучаются некоторые свойства полного лифта векторного поля с базы в Г2°(М„).
В §5 рассматриваются естественные продолжения диффеоморфизмов базы и векторных полей.
В §6 строятся специальные вертикальные лифты тензорных полей типа (/,/), возникающих при изучении инфинитезимальных преобразований на расслоении. Вычисляются коммутаторы некоторых типов векторных полей.
В §7 определяются специальные лифты тензорных полей типа (3,1), показывается, что эти лифты можно получить как тензорное произведение некоторых полулинейных лифтов.
В §8 изучаются некоторые свойства горизонтального лифта векторных полей, определенного Б.Н. Шапуковым в [18].
В §9 выясняется связь между полным и горизонтальным лифтом векторного поля.
- Київ+380960830922