Универсально вписанные и описанные многогранники

Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................................................4
ГЛАВА 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в
евклидовом пространстве ............................................16
§1. Лемма о непрерывной функции на многообразии Штифеля 2-реиеров 17
§ 2. Применение к задаче Кнастера................................19
§3. Инфинитезимальиая задача Кнастера............................22
§4. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере ..........................................................24
§ 5. Обобщение задачи о непрерывных функциях на сфере евклидова пространства ..........................................................26
§6. Контрпример к гипотезе Кнастера...............................29
ГЛАВА 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела) ....................................................31
§ 1. Введение и метод доказательства..............................31
§2.0 четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую..............33
§3.0 пятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую ................37
§4. Вписанные и описанные шестиугольники для выпуклой фигуры ... 45 § 5. О многоугольниках, вписанных в сечение и описанных вокруг проекции выпуклого тела ^ #
§ 6. Применение к универсальным покрышкам 5 4
ГЛАВА 3. Подобно вписанные и описанные многогранники в К3 53
§1. Подобно вписанные и описанные трехмерные четырех и пятивершин-ники и пятигранники ^ 3
§2. Подобно вписанные шестивершинники и описанные шестигранники 5? §3. Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины 67 §4. Подобно вписанные пятивершинники 73
§ 5. О симплексах, вписанных в выпуклое тело 7*5
-2-
Оглавление
§ б. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного выпуклого компакта 80
ГЛАВА 4. Аффинно вписанные и описанные многогранники 94
§1. О возможности вписать аффинный образ кубооктаэдра в трехмерное выпуклое тело & Ч
§ 2. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного тела.1
§ 3. Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела.II 34
§ 4. Эквидистанционная проблема 39
§5. Кубы и октаэдры в нормированном пространстве 404
ГЛАВА 5. О плоских сечениях выпуклых тел И О
§ 1. О плоских сечениях трехмерного и четырехмерного выпуклого тела МО § 2. Асимптотически точная оценка асферичности двумерного сечения многомерного выпуклого тела МЧ
§3. Об одновременном приближении сечения нескольких выпуклых тел эллипсоидами или кругами 124
§4. О двумерных подпространствах нормированного пространства 423
§5. Финслеровы метрики на векторных расслоениях над грассмановыми многообразиями /27
ГЛАВА б. О делении непрерывно распределенной массы в евклидовом, проективном пространстве и на сфере 4 33
§1.0 делении непрерывно распределенной массы на плоскости 433
§ 2. О делении плоскостями на равные части массы, непрерывно распределенной в трехмерном евклидовом пространстве 436
§ 3. Теоремы о делении плоскостями нескольких масс, непрерывно распределенных в евклидовом пространстве ШЧ
§ 4. Распределения на 52 и ЯР2 1ЧЧ
Литература 452
-3-
Введение
ВВЕДЕНИЕ
В комбинаторной и выпуклой геометрии, для которой по замечанию Хопфа ((1953)) характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических соображений, имеется немало задач для решения которых используются топологические соображения. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать на отрезке все промежуточные значения ([Яглом, Болтянский, 1951], гл.З), но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому следует использовать более серьезные топологические соображения.
Во многих задачах выпуклой и комбинаторной геометрии при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно [(Болтянский,Гохберг,19б5), (Грюнбаум,1963), Яглом, Болтянский, 1951].
В данной диссертации топологические средства используются для поиска многомерных (чаще всего трехмерных) аналогов некоторых теорем из двумерной геометрии и для решения некоторых экстремальных задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.
Первая глава содержит нижеследующую топологическую лемму и ее применение к известной задаче о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве [(Макеев,1989)].
На многообразии Штифеля Иг.п 2-реперов в. евклидовом пространстве К" свободно действуют циклические группы Zm поворотами реперов в их плоскости на кратные ^ углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму. Ниже мы будем рассматривать на многообразии У2,п вышеописанное действие циклической группы Zp простого нечетного порядка р, образующую которой обозначим через I.
Введение
Лемма 1.1.1 [(Макеев,1989)]. Если / € СУ2,п, п > 3, а простое р > 2п—2, то найдутся такие х € У2>„ и “числа 0 < г < • • • < {2п-2 < р - 1, что /(£,1(я)) = ••• = /(^2л_3(х)). Если же р < 2п — 2, то орбита некоторой тачки х € Иг.п отображается функцией / в одну точку.
Откуда непосредственно следует [(Макеев,1989)].
1. Теорема 1.2.1.Пусть точки А\,...,АР лежат в вершинах правильного р-угольника, вписанного в большую окруясностъ стандартной сферы 571“1 С К”, п > 3, а р — простое число > 2п — 2. Тогда для произвольной функции } € С(5П_1) найдутся такие номера- 1 < г < ••• < г2п-2 < V и поворот а аферы, что /(а(Л21)) = • • • = /(а(Л,-2п_2)). Если же р < 2/1-2, то для прогхзволъной функции { € С(5П“1) найдется такой поворот а сферы, что ф(а(А\)) = • • • = ф(а(Ар)).
Лемма 1 в дальнейшем применяется при доказательстве различных геометрических теорем.
Вторая, Третья и четвертая главы диссертации посвящены задаче о вписанных и описанных многоугольниках и многогранниках для выпуклого тела.
Многогранник А С К" называется вписанпъии в выпуклое тело К С К", если все его вершины принадлежат границе дК тела К. Многогранник А описан вокруг К, если К С А и К имеет общие точки со всеми гранями многогранника Л.
Пусть (7 — замкнутая подгруппа группы А}/* сохраняющих ориентацию аффинных преобразований пространства Ен. Многогранник А назовем С-вписаиньш в выпуклое тело К (С-описанпъш вокруг К), если для некоторого д € С многогранник дА вписан в К (описан вокруг К). В случае, когда С = А}}пу будем говорить об а<рфинно-вписанных и аффинно-описанных многогранниках. Если С — группа подобий, то будем говорить о подобно-вписанных и подобно-описанных многогранниках.
Глава 2 посвящена в основном вписанным и описанным многоугольникам.
-5-
Введение
Известная теорема Шнирельмана [1914] утверждает, что во всякую регулярную жорданову кривую класса С2 на плоскости можно вписать квадрат. Кажется ничто не противоречит утверждению [Макеев, 1995], что во всякую регулярную жорданову плоскую кривую можно вписать некоторый подобный образ любого наперед заданного вписанного в окружность четырехугольника.
Теорема 2.1.1[Макеев, 1995]. Любые четыре точки окруоіспости можно с помощью подобия поместить на любой плоской С2-гладкой звездной жордановой кривой j, которую нельзя пересечь окружностью более чем в четырех точках.
По теореме Бляшке условию теоремы удовлетворяют звездные овалы с четырьмя вершинами — стационарными значениями кривизны.
Теорема. [Макеев, 1995].На любой С2-гладкой звездной жордановой кривой па плоскости леоісат некоторые четыре вершины правильного р-угольиика для простого р > 5.
Теорема 2.3.1 [Макеев, 1997]. Пусть сумма любых двух соседних углов выпуклого пятиугольника Л1Л2Л3Л4Л5 больше п, а Aq - фиксированная точка границы дК выпуклой фигуры К С R2. Тогда существует аффинный образ пятиугольника, вписанный в К так, что вершина лежит а точке Л0.
Теорема 2.3.3. Во всякую выпуклую фигуру К с Е2 вписан аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника.
Хорошо известна теорема Безиковича [1942], впоследствии неоднократно передоказываемая другими авторами, о возможности вписать (соответственно описать вокруг) во всякую выпуклую фигуру аффинный образ правильного шестиугольника. Эта теорема оказалась очень полезной для решения ряда экстремальных задач из выпуклой двумерной геометрии.
Нижеследующая теорема обобщает теорему Безиковича [1942].
- G—
Введение
Теорема 2.4.1 (см.[Макеев, 1996]) Во всякую выпуклую фигуру на плоскости аффинно вписан и вокруг пес аффипно описан произвольный наперед, заданный центрально симметричный шестиугольник А.
Теорема 2.5.1. [МАкеев, 1994]. Если простое 2 < р < 2п, то для любого ограниченного К С Rn вокруг ортогональной проекции К на некоторую двумерную плоскость, можно описать правильный р-угольник.
Глава 3 посвящена поиску подобно вписанных и описанных многогранников в основном в трехмерном пространстве.
Теорема 3.2.1. [Макеев, 2000] Всякая правильная пятиугольная пира-ми-да П в R3 подобно описана. Кроме того, всякая такая пирамида подобно вписана во всякий выпуклый компакт К в R3 с гладкой границей.
Теорема 3.2.2.[Макеев, 2001] Пусть а,Ь е (0,1). Пусть А\, А2, А3 — вершины правильного треугольника, лежащие на окружности {z = а} стандартной единичной аферы
S2 = {(x,y,z) є R3| х2 + xj2 + z2 = 1},
о A\, Д5, Aq — вершины правильного треугольника, лсэюагцие па окруэюпо-сти {z = -b} той же сферы. Тогда во всякое гладкое трехмерное выпуклое тело К можно вписать подобный образ шести вер шинника А\... Дб-
Следствие. В любое гладкое выпуклое теш вписан правильный октаздр.
Тем самым (в случае тела с гладкой Іран и цей) дается ответ на неоднократно ставившийся вопрос [Klee, 1991].
Ромбододекаэдром называется двенадцатигранник, ограниченный плоскостями, которые проходят через ребра некоторого куба и составляют равные углы с гранями куба.
Теорема [Макеев, 1997/98]. (см.§ 3, гл.З) Вокруг тела постоянной ширины 1 в трехмерном пространстве описан ромбододекаэдр с единичным расстояниелі мсоїсду противополоэ/сными сторонами.
Введение
Это утверждение также доказано в [Hausei,1997, Kuperberg,1999). Купср-берг построил однопараметрнческос семейство многогранников с указанным свойством.
Теорема 3.3.1. Пусть S С S2 — следующее двенадцатиточечное подмножество единичной сферы в R3;
S = {(±1,0,0), (0, ±1,0), (±а, 0, ±\/l — а2), (0, ±а, ±\/l — а2)},
где 0 < а < 1 и знаки ± сочетаются всевозможными способами. Тогда двенадцатигранник M(S), ограниченный опорными плоскостями, проведенными к сфере в точках множества S, подобно описан вокруг произвольного тела постоянной ширины в М3.
Теорема 3.5.2. [Макеев, 2001] Пусть AoBqCqDo — правильная треугольная пирамида с вершиной Dq. Во всякое С2-гладкое выпуклое тело К С R3 вписан подобный образ ABCD пирамиды AqBqCqDq такой, что касательная плоскость в точке D парал^гельпа основанию ABC, а то главное направление в точке D, в котором достигается максимальное значение нормальной кривизны границы д К, составляет наперед заданный угол а0 с ребром AB.
Теорема 3.6.1. Пусть К — центрально-симметричный трехмерный выпуклый компакт в R3. Тогда на границе компакта К лежат середины ребер некоторого прямоугольного параллелепипеда, или же некоторое централь-нос сечение компакта К является прямоугольником.
Глава 4 диссертации посвящена аффинно-вписанным и описанным многогранникам в основном для трехмерного выпуклого тела.
Кубооктаэдром называется выпуклая оболочка середин ребер некоторого куба. Нижеследующая теорема дает положительный ответ' в размерности 3 для большинства выпуклых тел на поставленный Грюнбаумом вопрос о возможности вписать в выпуклое тело в Rn разностное множество п-мерного
— 8—
Введение
симплекса. Отмстим, что это утверждение является пространственным обобщением вышеупомянутой теоремы Безиковича о вписанном аффинно правильном шестиугольнике.
Теорема 4.1.1.[Макеев, 1995] Во всякое выпуклое тело в К3, кроме описанных ниже, аффинно вписан кубооктаэдр. Возможные исключения представляют собой тела, содержащие некоторый параллелограмм Р и содержащиеся в цшиндре с направляющим миоо/сеством Р).
Теорема 4.3.1. [Макеев, 2001) Пусть К С R3 — центрально-атметричпое тело с центром О е R3. Тогда в К можно вписать аффинно-правильный икосаэдр А[... Л\2 (т.е. афхфипный образ правильного икосаэдра) так, чтобы (по нашему выбору) было выполнено любое из следующих условий 1-3:
(1) ОА\ = ОА2 — ОДз и А\А2 = Д2Д3 < Л]Д3 (или, по выбору, > Л1Л3), где А\А2Аз — треугольная грань икосаэдра;
(2) А\А2 = А2А^ = Л1Л3 и OAi = ОД2 < ОА3 (или, по выбору, > ОЛ3), где А\А2Аъ — треугольная грань икосаэдра;
(3) О А1 = ОЛ2 = ОЛ3 = ОА.\ < ОЛ5 (соответственно > ОЛ5), где А\,..., Л5 — вершины икосаэдра, образующие аффинно-правильный пятиугольник (или, что то же, лежащие в одной плоскости).
Следующая часть главы 5 посвящена возможным обобщениям понятия правильного многогранника на нормированном пространстве.
Назовем симплекс в пространстве с нормой || || правильным (|| Ц-правильным), если все его ребра имеют' одинаковую длину. Неизвестно, имеется ли в 71-мерном нормированном пространстве правильный n-мерный симплекс при п > 3.
В трехмерном нормированном пространстве имеется много правильных тетраэдров [Petty, 1991]. Нижеследующая теорема [Макеев 2000, 2001] содержит новые результаты в этом направлении.
— О—
Введение
Теорема 4.4.1. [Макеев, 2000] Пусть в трехмерном векторном пространстве Е заданы две нормы: || • Ці и || • ||2. Тогда в Е найдется такой || • ||i-равносторопний тетраэдр ABCD, что
\\АВ\\2 = IICDII*, ||ЛС||2 = \\BDh и ІИОІІ2 = ||2?С||2.
В Е также найдется такой || • \\\-равиосторонпий тетраэдр ABCD, что
\\АС\\г = \\ADh = \\ВС\\2 = ||ßD||2.
Теорема 4.4.2. Пусть в пространстве R3 заданы две нормы: || • Ці и || • ||2. Тогда в R3 найдется || • Ці-правильный тетраэдр ABCD с
цлвц2 = цлсц2 = ||ляц2,
\\ВС\\2 = \\BD\\2 > \\CDh
(соответственно < ||CD||2^. В R3 также найдется || • Ці-правильный тетраэдр ABCD с
\\ВС\\2 = \\BD\\2 = ||CD||2,
1ИВ||2 = ||ЛС||2 > \\ad\\2
( соответственно < ||Л£>||2/?.
Назовем кубом параллелепипеде попарно равными диагоналями и попарно равными ребрами.
Теорема 4.5.1. Пусть Е — двумерное нормированное пространство. Тогда
(1) В Е имеется квадрат с диагональю (или стороной), параллельной наперед заданной прямой.
(2) Во всякую регулярную жордаиову кривую в Е можно вписать квадрат.
Таким образом, теорема Шнирельмана [1944] верна и на нормированной плоскости.
-10-
Введение
Теорема 4.5.2. Пусть Е — трехмерное нормированное пространство. Тогда
(1) В пространстве Е существует куб.
(2) Во всякий шар, гладко и центрально-симметрично вложенный в Е, можно вписать куб с тем же центром симметрии.
Таким образом, теорема [Hausei, 1999] о вписанном кубе также переносится в нормированное пространство.
Назовем правильным октаэдром в нормированном пространстве выпуклую оболочку п отрезков с общей серединой и равной длины таких, что все расстояния между концами (разных) отрезков попарно равны.
Теорема 4.5.3. Пусть || • Ці и || • Ц2 — две нормы в трехмерном пространстве Е. Тогда найдется || • Ці -правильный октаэдр ABC А! В'С' с диагоналями АА!, ВВ', С С' такой, что
цлл'іь = iißß'ih > \\ссъ
(или, по нашему выбору, ||ЛЛ'||2 = ||І?ІЗ'||2 < ЦСС'Цг/.
Автору неизвестно, имеются ли правильные октаэдры в произвольном нормированном пространстве размерности > 4.
Назовем подмножество К С R'* f-сферическим, если оно содержит некоторый шар и содержится в гомотетичном щаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 + Є.
Дворецкий [(I960)] доказал, что для фиксированного натурального к и є > 0 при п > N(k}e) = exp(215f ~2/с2 ln/с) через центр центрально симметричного тела в Rn проходит f-сфсрическое Ar-мерное сечение. В дальнейшем оценка N(k, є) улучшалась различными авторами, а условие центральной симметричности было снято.
Определим две функции е(п,к) = inf{f| любое ограниченное центрально симметричное выпуклое тело в Rn обладает f-сферическим /с-мерным центральным сечением} и fi(n, к) = inf{f| через любую внутреннюю точку О
Введение
выпуклого тела в Еп проходит /с-мерное сечение, содержащее некоторый к-мерный шар с центром в О и содержащееся в шаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 4-£}.
Обозначим через р(п) наибольшее простое число, меньшее п.
Теорема 5.1.1. При ті > 3
г— -1<£(п,2)<—---------------1
С05£П2 СОЗда^2)
и
1 1
Кажется правдоподобным [(Макеев,1989)], что верхние оценки в сформулированной теореме являются точными.
2 2 Из теоремы непосредственно следует, ЧТО е(п, 2) ~ ^ И £1(71,2) ~
Более слабые оценки имеются в [Макеев,1984, МПтап, 1988].
Теорема 5.1.2. Если п — 1 - простое нечетное число, то
£(тг,2) = ьес2^2 — 1 и £Лп>2) = 8ес^тт “ 1-
Заметим, что эта теорема вычисляет £(4,2) и £1(4,2).
Всюду в дальнейшем под нормирооанпьш пространством понимаем вещественное нормированное пространство, Кп обозначает п-мерное вещественное пространство со стандартной евклидовой нормой.
Пусть Е\ и Е2 — два нормированных пространства одинаковой размерности. Расстоянием Банаха-Мазура между ними называется число
ад,^)=шГ{1п(И|.||Л-1||)},
А
где инфимум берется по всем линейным изоморфизмам А : Е[ —> Е2.
- 12-
Введение
Теорема 5.2.1 [Макеев, 2002]. Do всяком трехмерном нормированном пространстве найдется двумерное подпространство Е2 с
d(E\ R*)<ln-2=,
Данная оценка неулу'шаема.
Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Дворецкого.
Определим на классах изоморфных векторных расслоений над топологическими пространствами неотрицательный скалярный вариант.
Пусть 7 : Е —> D - вещественное векторное расслоение с базой В. Обозначим через ^(7) множество финслеровых метрик на 7. Символом Ех будем обозначать слой 7"1(т) над точкой х. Соответственно, Е[^ обозначает этот же слой, снабженный нормой из финслеровой метрики / е Е(у). Положим
771(7) = SUP inf di{E$f\Rn)> где п = dim 7.
/Є^(7)ХЄД
Обозначим через Gk{Rn) многообразие Грассмана неориентированных к-плоскостей в Rn, проходящих через нуль. Пусть 7J : E^R71) —* Gf;(Rn) -каноническое расслоение, в котором слоем над А;-илоскостыо из Gk(R71) является она же, рассматриваемая как линейное пространство. Нижеследующая гипотеза обобщает известную теорему Дворецкого [I960].
Гипотеза. Для всякого натурального к имеем
lim rn (7J.1) = 0.
п—*оо
Случай к = 1 тривиален. При к = 2 гипотеза следует из того, что га(7?) ~ ^ [Макеев, 2002]. При к > 3 гипотеза не доказана (и не опровергнута).
Инвариант 771(7) геометрический и трудно вычислим. В [Макеев, 2002], например, вычислены 771(7!) = \ 1п(4/3), т(7з) = 1п л/3,771(7?) = 1п у/7.
-13-