Методические основы учета нелинейных эффектов при решении контактных задач механики твердого деформируемого тела

Оглавление
Аббревиатуры и основные условные обозначения...............................5
Введение...................................................................7
1. Анализ состояния проблемы, цель и задачи исследования..................11
1.1. О специфике контактных задач и выборе методов их решения..........11
1.2. Методология механики контактной пссвдосреды.......................17
1.3. Выбор рациональных алгоритмов, снижающих трудоемкость решения задач по МКЭ...................................................25
1.4. Результаты анализа публикаций, постановка цели и задач исследования...........................................................32
2. Построение контактных конечных элементов...............................34
2.1 Двухузловой контактный элемент (двумерный и
трехмерный варианты)..............................................34
2.2 Четырехузловой контактный конечный элемент (двумерный).............40
2.3. Шестиузловой контактный конечный элемент (двумерный)..............49
2.4. Объемные контактные конечные элементы.............................54
2.5. Результаты и выводы главы 2.......................................65
3. Разработка метода решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов различного вида................................................66
3.1. Оценка эффективности известных алгоритмов решения контактной задачи по МКЭ. .......................................................66
3.1.1. Метод минимизации нелинейного функционала....................66
3.1.2 Оценка эффективности известных методов решения нелинейных задач теории пластичности применительно к решению контактной задачи по МКЭ.............................................70
3.2. Разработка метода решения контактных задач с учетом различных нелинейных свойств контактных конечных элементов.......................81
3.3 Применение разрабатываемого метода для решения задач с
известной площадкой контакта.....................................88
3.4 Пример применения разрабатываемого метода для решения задач с
поиском локальных площадок контакта, в пределах номинальной площадки контакта................................................90
3.5 Алгоритм применения разрабатываемого метода для решения задач
с поиском площадки контакта, обусловленной макрогеометрией контактирующих тел...............................................94
3.6 Особенности алгоритма учета нелинейных свойств материала
контактирующих тел..............................................105
3.7 Алгоритм учета специфики объемной задачи. Учет различных
касательных свойств контактного слоя в разных направлениях 110
3.8 Общий алгоритм решения контактных задач на основе механики
контактной псевдосреды..........................................118
3.9. Результаты и выводы главы 3.....................................119
4. Методика идентификации свойств контактных конечных элементов на основе анализа экспериментальных исследований контактной жесткости.. 121
4.1 Описание экспериментальных установок для исследования
контактной жесткости............................................121
4.2 Влияние параметров экспериментальных образцов и вариантов
приложения нагрузки на погрешность эксперимента.................127
4.3 Пример идентификации свойств контактных конечных элементов.... 132
4.4. О расчетных методах идентификации свойств контактных
конечных элементов..............................................143
4.5 Результаты и выводы главы 4......................................151
5. Применение разработанного метода к решению некоторых практических задач.................................................................152
5.1 Учет нелинейных свойств тел при решении контактных задач
(на примере о внедрении инденторов).............................152
5.2. Сравнительный анализ НДС двух вариантов вкладышей
подшипников компрессора........................................159
5.2.1 Анализ повреждения вкладышей подшипника компрессора........159
5.2.2. Расчет контакта вкладыша подшипника и головки шатуна......169
5.3 Результаты и выводы главы 5....................................177
Заключение.............................................................178
Литература.............................................................181
Приложения.............................................................191
Аббревиатуры и основные условные обозначения
МКЭ - метод конечных элементов
КЭ - конечный элемент
ККЭ - контактный конечный элемент
СЛАУ - система линейных арифметических уравнений
НДС - напряженно-деформированное состояние
ЭВМ - электронно-вычислительная машина
МДН - метод дополнительных напряжений
МДД - метод дополнительных деформаций
г - касательные напряжения
у - касательные деформации
е - относительная деформация
а - напряжение
{(/} - вектор перемещений
и, - перемещение мч> узла вдоль оси х
V, - перемещение 1-го узла вдоль оси у
{м} - вектор перемещений произвольной точки конечного элемента
{х} - вектор координат произвольной точки конечного элемента
[к] - матрица жесткости
{/>} - вектор сил
[б] - матрица градиентов
[о] - матрица упругости
Е, в - модули упругости материала в нормальном и касательном на-
правлениях ц - коэффициент Пуассона
[г] - матрица преобразования координат
- обобщенная зависимость напряжений от деформаций (линей-
ная или нелинейная) для нормальных напряжений
- обобщенная зависимость напряжений от деформаций (линей-
ная или нелинейная) для касательных напряжений
- вектор начальных напряжений
- вектор начальных деформаций
- напряжения, соответствующие текущей деформации с учетом
нелинейной зависимости
- деформации, соответствующие текущим напряжениям с уче-
том нелинейной зависимости
- дополнительные деформации
- дополнительные напряжения
- эквивалентные напряжения и деформации
- эквивалентные деформации, соответствующие текущим экви-
валентным напряжениям с учетом нелинейной зависимости
- эквивалентные напряжения, соответствующие текущим экви-
валентным деформациям с учетом нелинейной зависимости
- дополнительные эквивалентные напряжения
- дополнительные эквивалентные деформации
- зависимость нормальных напряжений от деформаций при уп-
ругопластическом деформировании
- зависимость нормальных напряжений от деформаций при уп-
ругом деформировании
- зависимость касательных напряжений от деформаций при уп-
ругопластическом деформировании
- зависимость касательных напряжений от деформаций при уп-
ругом деформировании
Введение
Актуальность темы. Огромные резервы роста производительности общественного труда и дальнейшего повышения жизненного уровня населения скрываются в проблеме повышения качества выпускаемых машин и приборов. Надежность, долговечность, эффективная работоспособность машин, механизмов и приборов в значительной степени определяется процессами, происходящими в зоне контакта. Именно в зоне контакта часто условия нагружения материала наиболее жесткие, а процессы повреждения конструкций начинаются с поверхности. В ряде случаев, при решении контактных задач, наряду с поиском площадки контакта важен учет тонких нелинейных эффектов, обусловленных шероховатостью, окисными пленками, наличием продуктов изнашивания и т.д. В решении контактных задач существует значительный разрыв между направлением, решающим прикладные контактные задачи тел без учета их шероховатости, и направлением, изучающим контакт шероховатых поверхностей.
В связи с указанным разработка эффективных методов и алгоритмов, позволяющих учесть многие типы нелинейностей при решении контактных задач, является актуальным направлением.
Известны многочисленные попытки решать нелинейные контактные задачи, применяя методы и алгоритмы, разработанные ранее в теории пластичности. В отечественной и зарубежной научно-технической литературе эти подходы получили названия такие, как: методы переменных параметров упругости (переменной жесткости); методы дополнительных (начальных) деформаций; методы дополнительных (начальных) напряжений и т.п. Для сохранения общепринятой терминологии будем далее подразумевать, что разработка "методических основ учета нелинейных эффектов при решении контактных задач", вынесенная в название работы, предполагает разработку' метода и алгоритмов.
8
Целью настоящей работы является разработка метода и алгоритмов решения контактных задач с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел.
Научная новизна исследований, проводимых лично соискателем и выносимых на защиту, состоит в том, что разработан метод и алгоритмы решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов с учетом шероховатости поверхности, геометрии контактирующих тел; истории нагружения и других нелинейных эффектов.
Разработанный метод основан на методах дополнительных напряжений и дополнительных деформаций и отличается от них тем, что менее требователен к виду нелинейных зависимостей напряжений от деформаций, и практически для всех видов нелинейных зависимостей обеспечивает устойчивость итерационного процесса. В рамках метода разработаны алгоритмы, позволяющие учитывать:.
геометрию контактирующих тел (поиск площадки контакта) за счет специальных свойств контактных конечных элементов; влияние величины нормальных напряжений (контактных давлений) на зависимость напряжений от деформаций в касательном направлении;
различные свойства контактного слоя в двух взаимоперпендикуляр-ных касательных направлениях;
упругопластическое деформирование материала и другие явления.
Достоверность результатов и выводов настоящей работы подтверждена удовлетворительным соответствием результатов решения тестовых задач с аналитическими решениями или решениями, полученными другими численными методами.
Практическая ценность заключена в разработке достаточно универсального метода решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов. Разработанный метод позволяет свести не-
9
линейную систему разрешающих уравнений к сходящейся последовательности решений систем линейных уравнений, без изменения в процессе решения матрицы жесткости системы. Последнее обстоятельство позволяет выполнять факторизацию матрицы жесткости системы один раз в начале решения задачи, что заметно сокращает время расчета.
Имея профилограмму шероховатости поверхности можно методом конечных элементов [50, 51], статистическими или теоретическими методами [20, 34, 38, 67] или с помощью экспериментов [20, 21, 38, 42, 60, 67] получить зависимости напряжений от деформаций для поверхностного слоя (слоя шероховатости). Эти зависимости затем можно использовать в качестве свойств контактных конечных элементов для решения с помощью разработанного метода практических контактных задач с учетом требуемой шероховатости поверхности.
Реализация результатов исследования. Разработанный метод решения контактных задач использован для обоснования замены штатного двухслойного вкладыша подшипника (баббит и бронза) модифицированным трехслойным вкладышем (баббит, бронза, сталь). Экономический эффект при этом достигается благодаря снижению стоимости вкладыша подшипника и увеличению срока его службы (показано уменьшение факторов, влияющих на развитие фрет-тинг-усталости, а также на появление и развитие усталостных трещин).
По заказу Института механики металлополимерных систем Национальной академии наук Беларуси (ИММС НЛНБ) решена задача о контакте иидентора с двухслойным упругопластическим: основанием, показано влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на: Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 1999г); Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России (Брянск, 2000г); Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 2002г); Международной на-
учно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 2002г).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах [3-9, 28, 29, 76, 78, 79] общим объемом 48 страниц, 10 работ написаны совместно с другими авторами.
Сгруктут>а и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, включающего 93 наименования. Работа содержит 194 страницы в том числе: 112 рисунков, 2 таблицы, 3 приложения.
Г. Анализ состояния проблемы, цель и задачи исследования
1.1. О специфике контактных задач и выборе методов их решения
Специфика контактных задач подробно изложена в монографии Е.М. Морозова, М.В. Зернина [45]. Для обоснования ряда положений диссертации, ниже цитируются из монографии [45] некоторые особенности контактных задач, с дополнениями и изменениями..
Практически в любой отрасли, в любом агрегате, в технологическом процессе мы сталкиваемся с таким явлением, как контакт тел. Без этого невозможно представить работу механизмов, передачу механической энергии от одного узла другому. Многочисленные исследования показали, что до 85% выхода из строя машин при их эксплуатации происходит не из-за недостаточной конструктивной прочности деталей и узлов, а в результате контактных разрушений и износа сопряженных поверхностей [30, 31]..
В большинстве случаев нагружение деформируемых тел является результатом взаимодействия двух или более объектов. При этом в зоне контакта тел условия нагружения часто более жесткие и процессы разрушения начинаются с поверхности. Именно поэтому при определении напряженно-деформированного состояния следует учитывать контактное взаимодействие. Однако, из-за сложности решения контактных задач часто пренебрегают явлениями в контакге и решают задачу при заданных значениях сил и перемещений на границе, используя-принцип Сен-Венана. Подобные подходы оправданы-лишь там, где вдали от зоны контакта появляются напряжения и деформации значительно более высокого уровня и процессы разрушения протекают интенсивнее.
Для решения контактных задач применимы основные уравнения теории упругости, пластичности или ползучести в зависимости от уровня силового воздействия на материал и свойств материала при заданном уровне возденет-
12
вия. При учете пластических свойств материала или ползучести используются нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями, то есть задача определения НДС нелинейная физически. Так же в ряде случаев могут возникать области, где соотношения Коши дают существенную погрешность - области больших деформаций, и приходится при решении учитывать геометрическую нелинейность. Например, геометрическую нелинейность приходится учитывать-при решении задач о внедрении штампа в упругие тела, где в местах концентрации контактных напряжений (например, в угловых точках) наблюдаются зоны больших деформаций материала [26]. Перечисленные нелинейности характерны для большого класса задач, но при решении контактных задач приходится также учитывать ряд специфических нелинейностей, харакгерных только для них, что приводит разрешающие уравнения задачи к существенно нелинейному виду.
Во-первых, в ряде случаев формы контактирующих поверхностей тел существенно различаются, и номинальная площадь контакта зависит от величины внешней нагрузки. При этом может меняться не только размер номинальной площади контакта (не следует отождествлять с пятнами контакта при рассмотрении фактической площади контакта), но и ее харакгер: общая поверхность контакта может состоять как из нескольких областей, так и из одной. Это приводит к существенным различиям в распределении компонентов НДС по объему тел, напряжения и деформации изменяются непропорционально изменению нагрузки. Следовательно, очень важно как можно более точно определить границы области контакта, так как в противном случае возможны существенные ошибки.
Во-вторых, обычно контакт имеет односторонний характер деформирования: в кулоновском контакте возможно только надавливание. Ввиду отсутствия сил сцепления (адгезии) нормальные усилия всегда одного знака. При учете сравнительно малых, но иногда существенных сил адгезии условия контактного взаимодействия еще более усложняются [32]. На рис. 1.1.а представлена зависимость между нормальными напряжениями оп и нормальными деформациями сп в контакте. Характер этой нелинейной зависимости определяется шерохова-
13
а) б)
Рис. 1.1 Схематическое изображение графиков взаимосвязи напряжений и соответствующих перемещений контактного слоя в нормальном (а) и касательном (б) направлении
14
тостами поверхности, наличием оксидных пленок и других продуктов изнашивания. Кроме того, после достижения максимального значения сил адгезии (ат1Х на рис. 1.1а) поверхности выходят из контакта.
Подробнее остановимся на зависимости тангенциальных напряжений от деформаций. Во-первых, это не одна кривая, а целое семейство кривых [28] в зависимости от величины нормальных напряжений (рис. 1.16). Действительно, сила трения между телами зависят от того, как сильно мы прижимам эти тела друг к другу.
Если после нагружения определенными давлениями приложить касательные усилия г и измерять сдвиг поверхностей или относительные касательные деформации контактного слоя у, то получают нелинейные зависимости, изображенные на фиг. 16. Сначала контактный слой нелинейно деформируется в пределах предварительного смещения. После достижения некоторого предельного состояния г™ начинается относительное движение поверхностей при касательном напряжении г < (сопротивление трешпо скольжения меньше сопротивления трению покоя). Поэтому на фиг. 16 имеется зона неустойчивости, соответствующая переходу от состояния покоя к процессу скольжения [28,45].
Список факторов, которые в большей или меньшей степени влияют на характер НДС контактирующих тел можно продолжить, но уже приведенные выше факторы демонстрируют специфик}' контактных задач и сложность их решения. Учет даже части этих эффектов при построении аналитического решения сталкивался с серьезными математическими трудностями. Аналитически были решены лишь отдельные частные задачи о контактировании тел правильной геометрической формы друг с другом или полупространством. Такие задачи часто основывались на столь серьезных допущениях, что реализовать их возможно было только в лаборатории. Преимуществом подобных решений была простота выражений для основных параметров НДС.
15
С ростом производительности ЭВМ и развитием численных методов стало возможными значительно расширить класс задач, поддающихся решению. Аналитические решения при этом не исчезли бесследно, они часто используются для поиска решения в пределах малых объемов и как тестовые задачи.
Численные методы сегодня позволяют определить НДС при контактировании тел практически любых форм, как при статическом, так и динамическом нагружении. С помощью численных методов можно моделировать различные факторы, влияющие на конечный результат, учитывать сложные процессы, протекающие внутри и на поверхностях тел.
Большинство численных методов решения задач по определению НДС базируются на поиске состояния с минимумом потенциальной энергии системы. К таким методам относится и широко известный метод конечных элементов.
В МКЭ рассматриваемая область или объем дискретизируется на множество подобластей, называемых конечными элементами. При этом исходный объем (в плоской задаче - площадь) может содержать различные конечные элементы, как по форме, так и по назначению (упругие; контактные; элементы, моделирующие жидкость и другие).
Каждый параметр, переменный в пределах КЭ, аппроксимирован функциями формы. Чаще всего для этого применяют полиномиальные функции. При этом ряд полиномиальных функций для аппроксимации неизвестных параметров является ограниченным, и его степень определяется из условия согласования на границах соседних элементов, как самих параметров, так и некоторых производных [45].
Для получения разрешающих уравнений применяются известные методы строительной механики. Это могут быть вариационный метод или метод перемещений или другие методы, но все они приводят к одной и той же системе разрешающих уравнений. Эти уравнения также можно получить методом взвешенных невязок, например, методом Бубнова-Галеркина.
16
Систему разрешающих уравнений для решения краевой задачи теории упругости по МКЭ в общем виде можно представить следующим образом:
Ми’}+№'}+№}={р, (г)}+{/>, (г)}, (1.1)
где {£/},{(У'},{сг} - соответсгвенно векторы перемещений, скорости и ускорения соответствующих узлов конечно-элементной сетки; [Л/]- матрица масс; [с] - матрица демпфирования; [к] - матрица жесткости; {?,(/)} - вектор поверхностных сил; {Ру (0) - вектор объемных сил (кроме инерционных составляющих).
Если решается задача в линейной постановке, то, вообще говоря, будет получена система линейных уравнений, для решения которой существует ряд методов, как прямых (методы Гаусса, Холетского и др.), так и итерационных.
Но чаще (например, при решении контакшых задач) бывает получена нелинейная система разрешающих уравнений. Такую систему тем или иным способом приводят к итерационной сходящейся последовательности решений линейных систем уравнений. При этом для получения логически верного результата (система нелинейных уравнений может иметь несколько решений) следует использовать метод последовательного нагружении, то есть нагрузка прикладывается не сразу вся целиком, а по частям и для каждой новой доли нагрузки проводится поиск решения, удовлетворяющего всем уравнениям и граничным условиям. Тогда каждое решение для следующего шага итерации будет опираться на предыдущее. Фактически численно моделируется реальный процесс нагружения, если шаги нагрузки невелики. Такой алгоритм обязателен при необходимости учитывать историю нагружения:
Методом конечных элементов можно также решать и задачи совсем других классов, например, температурные, гидродинамические, задачи пластического деформирования и др. То есть в рамках МКЭ есть возможность учесть все перечисленные выше особенности контактирования реальных деталей машин. Поэтому в качестве метода решения был выбран метод конечных элементов.
1.2. Методология механики контактной исевдосреды..
Выше были рассмотрены наиболее значимые нелинейности, встречающиеся в области номинально неподвижного контакта. Очевидно, что успех решения контактной задачи во многом зависит от качества модели контакта, се способности воспроизводить те или иные нелинейные эффекты. Бесспорно, что каждая конкретная задача индивидуальна. В одних случаях достаточно обеспечить лишь неироникновение одного тела в другое, а в других это будет очень грубой моделью. Одни модели применимы для очень узкого круга задач, другие же позволяют применять их достаточно часто.
Простейшим вариантом являются контакгные задачи без учета тонких нелинейных эффекгов в зоне контакта. В большинстве конечно-элементных алгоритмов решения контактных задач заранее определены пары узлов на противолежащих поверхностях, которые в принципе могут вступить в контакт. Эти пары узлов связаны определенными геометрическими условиями, обычно это условие взаимонспроникновения контактирующих тел в месте расположения пары узлов. Если после вступления пары узлов в контакт координаты их должны совпадать на последующих этапах расчета и перемещаться одинаково, то реализуется полное сцепление поверхностей. В этом случае узлы не могут проскальзывать под действием касательной нагрузки и, соответственно, не моделируется ряд нелинейных эффектов, связанных с касательными перемещениями. Если сцепление поверхностей происходит только в нормальном направлении, а в касательном узлы могут свободно перемещаться друг относительно друга, то реализуется контакт без трения. Если попытаться описать реализацию проскальзывания в рамках такой модели, то необходимо отслеживать относительные перемещения пар узлов в касательном направлении [45].
Другим подходом являются алгоритмы учета логического контакта двух поверхностей. В них условия непроникновения тел поддерживаются за счет корректировки нагрузки. При этом многие алгоритмы отслеживания положения контактирующих пар узлов и коррекции нагрузки на основе геометрических