РАЗДЕЛ 2
СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО И
НЕГАУССОВСКОГО ШУМОВОГО СИГНАЛОВ,
ПРИНИМАЕМЫХ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ
В данном разделе полученные результаты математической теории проверки
статистических гипотез, основанной на использовании стохастических полиномов,
будут применены для синтеза обнаружителей простейшего сигнала, а именно
постоянного сигнала и его разновидностей в виде шумового сигнала, принимаемого
на фоне негауссовских помех. Именно на примере обнаружения простейшего сигнала
можно наиболее выпукло показать достоинства нового подхода и принципиально
новые результаты, получаемые при его применении.
Несмотря, на первый взгляд, на простоту задачи обнаружения постоянного сигнала
на фоне помех, она весьма часто встречается при решении практических задач в
статистической экономике, геологоразведке, медицине и т.д. Остановимся на
технических задачах, возникающих в статистической радиотехнике и радиолокации.
Одними из первых радиолокационных станций обнаружения были станции с
излучаемым сигналом в виде непрерывного гармонического колебания. При этом в
идеальном случае, когда объект локации неподвижен и представляет одну блестящую
точку, то сигнал на выходе линейного детектора будет равен сумме постоянного
сигнала и помехи. Если же объект отсутствует, то на выходе детектора будет
только одна помеха. По результатам наблюдения сигнала на выходе детектора
необходимо вынести решение о наличии или отсутствии постоянного сигнала. Это
идеальный случай, но с теоретической точки зрения он нуждается в тщательном
исследовании, особенно когда помеха является негауссовской.
В приближенных к реальным условиям, объект движется и представляет совокупность
хаотически размещенных блестящих точек. Поэтому, принимаемый высокочастотный
сигнал, в силу случайного изменения амплитудно-фазовых соотношений сигналов
отраженных от каждой точки за счет их движения, будет
амплитудно-модулированным. Следовательно, сигнал на выходе детектора в случае
наличия объекта локации будет представлять собой сумму случайного полезного
шумового сигнала и помехи. При этом математическое ожидание шумового сигнала
отлично от нуля. С точки зрения теории вероятности такой шумовой сигнал равен
сумме постоянного сигнала (математическое ожидание) и шумовой составляющей с
нулевым математическим ожиданием. Поэтому подобный полезный сигнал, в отличии
от чисто постоянного сигнала, можно условно назвать флуктуирующим постоянным
сигналом или шумовым сигналом с отличным от нуля математическим ожиданием. При
отсутствии объекта наблюдения, так же как и в идеальном случае, на выходе
детектора будет наблюдаться только одна помеха.
В данном случае представляет и теоретический и практический интерес
синтезировать обнаружители полезного шумового сигнала, когда и помеха и сигнал
имеют распределение, отличное от гауссовского (нормального).
При обнаружении радиотепловых и плазменных источников излучения полезный
сигнал, как правило, представляет случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием, т.е. в таком сигнале отсутствует постоянная составляющая. Такие
сигналы будем называть чисто шумовыми сигналами.
Рассматривая задачу синтеза обнаружителей постоянного и шумового сигналов,
будут найдены количественные значения верхних границ вероятностей ошибок
первого и второго рода, а так же количественные значения критерия качества Кu ,
и асимптотические значения самих вероятностей ошибок в зависимости от различных
характеристик помехи. На этой задаче фактически будет исследовано влияние
негауссовской помехи на характеристики обнаружителей.
2.1. Синтез обнаружителя постоянного сигнала в негауссовском шуме с помощью
линейного решающего правила
Рассмотрим простейшую задачу обнаружения постоянного сигнала в негауссовском
шуме, т.е. когда при гипотезе Н1 принимается независимых выборочных значений,
имеющих вид:
где a - константа, а при гипотезе H0:
Случайные величины будем считать негауссовскими величинами и в качестве
априорной информации при гипотезе Н0 будем использовать последовательность
моментов и кумулянтов:
, (2.1)
При гипотезе Н1 последовательность моментов и кумулянтов имеет следующий вид:
, (2.2)
Так, как распределения каждого выборочного значения и при гипотезе H0 и при
гипотезе H1 одинаковы, то в качестве решающего правила заданного в классе
степенных полиномов будем использовать полиномы II-го типа.
Первоначально в качестве решающего правила рассмотрим правило вида (1.66) при
S=1, т.е.
h1 [xv - (m1+u1)] 0, (2.3)
С учетом моментов 1-го порядка решающее правило примет следующий вид:
h1 [xv - а] 0.
Коэффициент h1 определим из решения линейного уравнения:
h1 F1,1 = m1 - u1 , (2.4)
где F1,1 - совместный момент, определяемый через корреляционные моменты
случайной величины xv при гипотезе H0 и H1 по формуле (1.53).
Корреляционные моменты при гипотезе H0 и H1 соответственно будут равны:
F1,1 (H0) = u2 - u1u1 = c2
F1,2 (H0) = F2,1(H0) = u3 – u2u1 = c3
F1,3 (H0) = F3,1(H0) = u4 - u3u1 = c4 + 3c22
F2,2 (H0) = u4 - u2u2 = c4 + 2c22
F2,3 (H0) = F3,2(H0) = u5 - u2u3 = c5 + 9c2c3 (2.5)
F3,3 (H0) = u6 - u3u3 = c6 + 15c2c4 + 9c32 + 15c22
F1,1 (H1) = u2 - u1u1 = c2 ,
F1,2 (H1) = F2,1(H1) = m3 – m2m1 = 2ac2 + c3 ,
F1,3 (H1) = F3,1(H1) = m4 - m3m1 = c4 + 3c22 + 3a2c2 + 3ac3 ,
F2,2 (H1) = m4 - m2m2 = c4 + 2c22 + 4a2c2 + 4ac3 ,
F2,3 (H1) = F3,2(H1) = m5 - m2m3 = c5 + 9c2c3 + 6a3c2 + 9a2c3 + ac4 ,
F3,3 (H1) = m6 - m3m3 = c6 + 15c2c4 + 9c
- Київ+380960830922