РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛООБМЕННЫМИ АППАРАТАМИ
2.1. Общий вид уравнений границ областей устойчивости в пространстве варьируемых параметров
В общем случае зависимость характеристической функции (1.54) от параметров можно представить следующим образом:
(2.1)
где ; ;
, ; .
Уравнение основной кривой D-разбиения имеет вид [85]
(2.2)
или
(2.3)
Вещественные решения уравнения (2.2) определяют границы областей D-разбиения, среди которых находятся искомые границы областей устойчивости.
Перепишем (2.1) при :
(2.4)
и выделим его вещественную и мнимую части. Для полиномов и можно записать
, (2.5)
, (2.6)
где
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
. (2.10)
Представим показатель экспоненты в (2.4) в виде
, (2.11)
где , , , записываются аналогично (2.7)-(2.10):
, (2.12)
, (2.13)
, (2.14)
. (2.15)
После преобразования получаем
, (2.16)
. (2.17)
Уравнение (2.1) с учетом (2.11) перепишем в виде
. (2.18)
Подставляя в (2.2) формулы (2.5) и (2.6) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем (2.3) в виде системы двух трансцендентных уравнений
(2.19)
2.2. Уравнения границ областей устойчивости в пространстве
одного варьируемого параметра
Рассмотрим систему (2.19) в пространстве одного варьируемого параметра .
2.2.1. Пусть от линейным образом зависят коэффициенты полиномов, входящих в показатель степени экспоненты трансцендентной передаточной функции (1.53). В этом случае, опираясь на (2.11), (2.16) и (2.17), можно записать
, (2.20)
. (2.21)
Выполнив преобразования, получаем
, (2.22)
, (2.23)
где
Уравнения границ областей устойчивости рассматриваемой САУ с учетом (2.20) - (2.23) запишутся в виде
(2.24)
Таким образом, из вида вещественной и мнимой частей (2.22), (2.23) показателя степени экспоненты, входящей в характеристическую функцию (2.1), следует, что при линейной зависимости коэффициентов ее полиномов от одного варьируемого параметра в уравнения границ областей устойчивости (2.24) САУ ТА этот параметр уже входит полиномиальным образом. Поэтому далее будем рассматривать случаи полиномиальной зависимости коэффициентов характеристической функции от варьируемых параметров.
2.2.2. Пусть от полиномиальным образом зависят коэффициенты многочленов, входящих в показатель степени экспоненты характеристической функции (2.1). В этом случае для показателя степени экспоненты можно записать
, (2.25)
где , , , ,
или меняя порядок суммирования и подставляя ,
. (2.26)
Выделим вещественную и мнимую части (2.26). Для этого с учетом формул (2.11) - (2.17) запишем
, (2.27)
тогда согласно (2.16) и (2.17) получаем уравнения для вещественной и мнимой частей (2.26):
, (2.28)
. (2.29)
Уравнения границ областей устойчивости САУ ТА в данном случае определяются формулами (2.24) с учетом (2.28) и (2.29). Как видно из полученных уравнений, варьируемый параметр входит в показатель экспоненты и под знаки функций синуса и косинуса с той же степенью, с которой он входит в характеристическую функцию системы.
2.2.3. Рассмотрим теперь случай, когда от параметра полиномиальным образом зависят коэффициенты многочленов дробно-рациональной части системы. В этом случае для характеристической функции системы можно записать:
, (2.30)
. (2.31)
Подставляя (2.31) в (2.30) и меняя порядок суммирования, получаем
. (2.32)
Уравнение, определяющее границы областей устойчивости рассматриваемой САУ, можно записать в виде
, (2.33)
где определяются формулами (2.7) - (2.10) с добавлением индексов r или u; , определяются формулами (2.16) и (2.17) в случае независимости от . С учетом сказанного перейдем к виду (2.19) уравнений границ областей устойчивости САУ с РП:
(2.34)
Таким образом, в случае полиномиальной зависимости коэффициентов характеристической функции (2.1) от одного варьируемого параметра границы областей устойчивости рассматриваемых САУ определяются вещественными решениями систем вида (2.34) двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными.
2.3. Уравнения границ областей устойчивости в пространстве двух
варьируемых параметров
Установим вид уравнений, определяющих границы областей устойчивости САУ ТА, в пространстве двух варьируемых параметров и .
При построении областей устойчивости в пространстве двух варьируемых параметров САУ с дробно-рациональными передаточными функциями при линейной зависимости коэффициентов характеристического полинома от параметров кроме основной кривой D-разбиения границы областей могут дополнять особые прямые, в большинстве практических случаев соответствующие значениям и . Особая прямая при получается путем подстановки в характеристическое уравнение . Особая прямая при мо