РАЗДЕЛ 2
СКАЛЯРНАЯ ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ ИМПЕДАНСНОМ КЛИНЕ
В разделе развит метод отыскания равномерного асимптотического решения в двумерной задаче дифракции высокочастотного лучевого поля на криволинейном импедансном клине. Данная задача является одной из ключевых в лучевых асимптотических методах, поскольку, используя её решение, а также принцип локальности, можно построить высокочастотное поле в широком классе задач дифракции на множественных криволинейных рассеивателях с кромками. Если угол между гранями кромки принять равным , то возможно использование задачи для расчета дифракционных полей от гладких поверхностей, а также поверхностей с разрывами кривизны и ее производных. Поскольку при дифракции на криволинейных поверхностях лучевые поля могут иметь особенности различных типов, в разделе также рассмотрен вспомогательный метод восстановления полей вблизи особенностей лучевых решений на основе лучевых полей вдали от особенностей.
Результаты раздела опубликованы в работах [79-80, 94, 103-104].
2.1. Решение задачи в рамках РАТ
2.1.1. Постановка задачи. Будем рассматривать двумерную задачу дифракции электромагнитной волны на криволинейном клине, расположенном в однородной непоглощающей среде. Геометрия задачи представлена на рис. 2.1. Поскольку случаи, когда вектор падающего поля перпендикулярен плоскости падения либо перпендикулярен ей, отличаются лишь граничными условиями (1.13) и (1.14), задача сводится к решению скалярного уравнения Гельмгольца с граничными условиями (1.15) независимо от поляризации. Пусть падающая волна задана своим лучевым разложением , радиус-векторы граней клина заданы в параметрическом виде , где l - длина отрезка кривой . Будем считать, что показатель преломления среды равен единице. Для определенности также будем считать, что грань расположена в тени падающего поля. Противоположный случай рассматривается аналогично (добавляется волна, отраженная от нижней грани). Коэффициенты в граничных условиях (1.15) для освещенной и затененной граней обозначим через . Будем считать их непрерывными функциями, достаточно мало изменяющимися на длине падающей волны. Для краткости будем называть их импедансами граней.
Лучевое поле отраженной волны будем считать известным. Его отыскание - хорошо изученная задача лучевой теории [10-14]. В частности, начальные направления лучей отраженной волны находятся из выражения (1.10), а амплитуды - из выражения (1.16).
В соответствии с постулатами РАТ, падающая волна возбуждает равномерную цилиндрическую краевую волну с осью на кромке [15]. Кроме того, если радиус кривизны грани клина на кромке отрицателен, падающей волной возбуждаются также волны соскальзывания, и наоборот, при положительном радиусе кривизны образуются волны шепчущей галереи. В случае если , на соответствующей грани образуются также простейшие поверхностные волны. Волны соскальзывания, шепчущей галереи, а также простейшие поверхностные волны имеют, по крайней мере, часть оптического пути, совпадающего с поверхностью клина. Далее для краткости эти волны будем называть поверхностными волнами (ПВ).
С учетом выше сказанного, а также учитывая выражение (1.17), полное поле в рамках РАТ будем искать в виде
, (2.1)
где - подлежащие определению поля краевой волны и ПВ, распространяющихся вдоль затененной и освещенной граней соответственно.
2.1.2. Поле краевой волны. Отыскание поля краевой волны возможно несколькими различными способами. Если известно поле ГТД в исходной задаче, как правило, используется метод асимптотического сшивания [15]. Также, возможно вычисление поля путем интегрирования неоднородных уравнений переноса (1.19) вдоль лучей краевой волны [15]. Если же требуется вычислить лишь старший асимптотический член краевой волны либо не требуется большая точность вычислений, возможно использование эвристических, приближенных и табличных дифракционных коэффициентов [15].
Рассмотрим простейший способ построения приближенных дифракционных коэффициентов для краевой волны в исходной задаче. Поскольку влияние затененной грани на дифракционное поле значительно меньше, чем влияние освещенной, граничными условиями на ней в первом приближении можно пренебречь, как это было сделано в работах по ФО [15]. При таком подходе ожидаемая ошибка вычисления поля будет довольно малой на отрезках фронта краевой волны от затененной грани до границ свет-тень. Наибольшее значение она должна принимать вблизи затененной грани.
На основе решения модельной задачи дифракции лучевого поля на идеально проводящей полуплоскости [15], будем искать поле в виде (2.1), удовлетворяющее импедансным граничным условиям (1.15) на освещенной грани. При подстановке выражения (2.1) в соответствующее граничное условие, получаем модифицированный коэффициент отражения:
, (2.2)
где а также . От коэффициента отражения лучевой теории (1.16) он в первом приближении отличается асимптотически малым членом . Таким образом, добавка модифицирует коэффициент отражения с учетом воздействия кромки. С удалением от кромки она стремится к нулю. Поскольку среда, окружающая рассеиватель, линейна и однородна, в модельной задаче краевая волна может быть разделена на две составляющие, одна из которых пропорциональна амплитуде падающей волны, а вторая - амплитуде отраженной. Поле второй компоненты краевой волны в случае импедансных граничных условий модифицируется с учетом изменившегося коэффициента отражения [15].
Рассмотрим для примера задачу дифракции для случая, в котором падающая волна исходит от точечного источника, расположенного в точке , где - полярная система координат с центром на кромке и полярной осью, совпадающей с касательной к освещенной грани на кромке. В этом случае имеем полное дифракционное поле
где - функция Ханкеля первого рода, , , а также
,
где . В коэффициенте отражения в этом случае
, ,
, .
Представленный метод имеет ограниченную область применения, поскольку полученное с его помощью дифракционно