РАЗДЕЛ 2
МЕТОД МОМЕНТОВ И МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ ДЛЯ
ПРОВОДНИКОВ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ С РЕБРАМИ
В настоящем разделе для решения ключевых задач электростатики предложен
подход, позволяющий свести решение двумерной задачи для элементарных ячеек из
проводников конечной толщины к решению бесконечных систем линейных
алгебраических уравнений второго рода. Метод позволяет исследовать
распределение электростатических полей в многосвязных областях, составленных из
конечного числа элементарных ячеек. Аналогичный подход был применен в [86],
[87] при решении задачи дифракции - волны на открытом конце плоского волновода
с фланцем. Для учета статической составляющей поля пространственного заряда
электронного пучка в пролетном канале сложной геометрической формы, состоящего
из конечного числа ячеек с электродами разной толщины, применен метод функции
Грина. Получены интегральные уравнения второго рода, определяющие функцию Грина
уравнения Лапласа ограниченного по длине пролетного канала без каких-либо
ограничений на геометрические параметры. В приложении А доказаны существование
и единственность решений полученных бесконечных систем линейных алгебраических
уравнений, а также обосновано применение метода редукции для их приближенного
численного решения. Доказана принадлежность интегральных уравнений к классу
уравнений Фредгольма. Основные результаты раздела опубликованы в работах [88] –
[89].
2.1. Плоский конденсатор и квадрупольная линза из двух экранов полубесконечной
толщины со щелями
Рассмотрим структуру, поперечное сечение которой, перпендикулярное оси ,
изображено на рис. 2.1, и найдем пространственное распределение
электростатического потенциала в области, не занятой проводниками. Структура
представляет собой плоский конденсатор, образованный идеально проводящими
полубесконечными экранами, заряженными до потенциалов и . Расстояние между
обкладками конденсатора равно . В каждой обкладке прорезана щель прямоугольной
формы шириной . Здесь же на рисунке представлены рассчитанные эквипотенциальные
кривые, а цифрами обозначены значения , где - значения потенциала в области, не
занятой электродами.
Рис. 2.1. Элементарная ячейка конденсаторного типа
Задача о нахождении пространственного распределения электростатического
потенциала в описанной области является ключевой в двумерных задачах
электростатики для многосвязных областей, состоящих из электродов конечной
толщины. Модель конденсатора, изображенная на рис. 2.1, которую мы в дальнейшем
будем называть элементарной ячейкой, может быть частью более сложной структуры,
состоящей из конечного числа электродов прямоугольной формы и представляющей
собой многосвязную область. Покажем на примере элементарной ячейки
эффективность метода моментов для решения двумерных задач электростатики -
внешних задач Дирихле для уравнения Лапласа.
Итак, решение в области , удовлетворяющее уравнению Лапласа и ограниченное на
бесконечности, будем искать в виде суммы двух функций, одна из которых есть
линейная функция координаты , и описывает распределение потенциала в плоском
конденсаторе, а вторая функция учитывает возмущения потенциала, вносимые в
плоский конденсатор щелями, которую представим в виде интеграла Фурье
(2.1)
где - неизвестная амплитуда Фурье.
В области щелей решение ищем также в виде суммы двух функций, одна из которых
есть константа, а другая описывает распределение потенциала, проникающего в
область щелей плоского конденсатора. Ее представим в виде ряда по полной
системе ортогональных функций, обращающихся в нуль на концах интервалов
(2.2)
где , - неизвестные коэффициенты,
Воспользовавшись граничными условиями - непрерывностью потенциала и
непрерывностью нормальной производной потенциала на щелях при , получим связь
между неизвестными коэффициентами и систему функциональных уравнений:
(2.3)
(2.4)
Для единственности решения задачи требуется, чтобы энергия электростатического
поля была конечной в любой ограниченной области пространства, в том числе и в
окрестности ребра. В силу первого тождества Грина [2]
где - объем, а - ограничивающая его поверхность. Требование ограниченности
энергии электростатического поля эквивалентно условию . Легко показать, что это
условие выполняется, если неизвестную функцию искать в классе функций, для
которых , а коэффициенты - в классе последовательностей
Известно [90], что из условия конечности энергии электромагнитного поля,
запасенной в любом конечном объеме в окрестности ребра, следует, что ни одна
составляющая электромагнитного поля в окрестности ребра не может возрастать
быстрее, чем при , где - расстояние до ребра. Для идеально проводящего
прямоугольного клина поперечная к ребру компонента электрического поля вблизи
ребра имеет величину . При решении внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа
конкретная информация о поведении поля вблизи ребра может существенно облегчить
решение задачи. Как показано в [17], наличие такой информации оказывается
весьма полезным. Учитывая это обстоятельство и симметрию структуры, представим
функцию (2.3) при в виде произведения двух функций
, (2.5)
одна из которых учитывает особенность поведения поля вблизи ребра, а другая -
есть ряд по четным полиномам Чебышева второго рода с неизвестными
коэффициентами . Осуществим обратное преобразование Фурье функции (2.5),
воспользовавшись интегральным соотношением
. (2.6)
В результате получим связь между неизвестной амплитудой Ф
- Київ+380960830922