Математическое моделирование динамики пространственных трубопроводных систем

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ..............►..................... .................. 6
1 СОВРЕ МЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.....................;........ 11
1.1 Стержневые модели динамики пространственных трубопроводных систем...........................................-........................................ 12
1.1.1 Прямолинейный трубопровод.......................... 13
1.1.2 Криволинейные трубопроводы......................... 20
1.1.3 Основные направления прикладных исследований 30
1.1.4 Методы численного анализа динамики трубопроводных систем................................................... 34
1.2 Оболочечные модели деформаций пространственных трубопроводных систем........................................ 37
2 УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБ ............................ ........... 44
2.1 Физическая постановка задачи............................ 44
2.2 Система криволинейдшх координат......................... 45
2.3 Деформации оболочки трубы................................ 49
2.4 Связь между внутренними усилиями и деформациями 50
2.5 Уравнения равновесия и граничные условия................ 53
2.6 Модель нагружения трубопровода........................... 54
2.7 Уравнения перехода системы в положение равновесия 56
2.8 Вариант полубезмоментых уравнений деформаций трубы 57
2.9 Приближешшй вариант уравнений равновесия................. 62
2.10 Безразмерные уравнения и уравнения в отклонениях......... 65
2.11 Выводы по разделу........................................ 67
3 ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИЙ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБ............................................ 69
3.1 Разложение по окружной координате...................... 69
3.2 Выделение "стержневой " группы уравнений................. 72
3.3 Граничные условия....................................... 77
3.4 Выводы по разделу....................................... 80
4 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ ТРУБЕ ........................ 81
4.1 Постановка задачи........................................ 81
4.2 Уравнения в отклонениях ................................. 82
3
4.3 Решение задачи нулевого приближения......................... 85
4.4 Решение задачи первого приближения...................... 86
4.5 Силы, действующие на трубу со стороны потока жидкости .... 92
4.6 Выводы по разделу....................................... 96
5 ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ 98
5.1 Изгиб трубы с осью в виде плоской кривой. Оценка
коэффициента податливости................................... 98
5.1.1 Нагружение трубопровода внутренним давлением 100
5.1.2. Изгиб трубы в плоскости кривизны .................. 101
5.1.3. Изгиб трубы из плоскости кривизны................ 102
5.1.4. Учет краевых эффектов при изгибе плоской трубы 104
5.1.5. Совместное влияние краевых эффектов и внутреннего давления на изгиб трубы.................................. 111
5.2 Деформирование трубы при комплексном нагружении 118
5.3 Эффекты, связанные с неправильностью формы нормального
сечения............:................................... 124
5.3.1. Труба с прямолинейной осью ......................... 126
5.3.2. Манометрический эффект.............................. 131
5.4 Влияние жидкости на колебания трубопровода............... 132
5.5 Выводы по разделу........................................... 138
6 ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ........................................ 140
6.1 Уравнения деформаций....................................... 140
6.2 Особенности влияния стационарных составляющих
внутрсиного потока жидкости .............................. 146
6.2.1 Круговой трубопровод................................. 149
6.2.2 Аналогия с температурными напряжениями............... 152
6.2.3 Примеры многопролетных трубопроводов................. 154
6.3 Взаимодействие трубопровода с нестационарным потоком
жидкости................................................... 159
6.3.1 Параметрическая неустойчивость прямого трубопровода
при резонансных колебаниях жидкости........................ 160
6.3.2 Параметрические колебания шарнирного трубопровода
с неподвижными концами в условиях синхроггизма............. 170
6.3.3 Параметрические колебания тупикового трубопровода ... 175
4
6.3.4 Общие выводы о механизме вынужденно-параметрических колебаний криволинейных трубопроводов... 181
6.4 Выводы по разделу.............................~.......—. 183
7 ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.......................... 185
7.1 Трубопроводный участок.................................. 186
7.2 Узлы соединения.............................. .......... 187
7.2.1 Жесткое соединение.....................................~.................................. 188
7.2.2 Промежуточная упругая опора ........................ 189
7.2.3 Упругое соединение двух участков.......................~.................... 189
7.2.4 Тройниковое соединение............................... 190
7.3 Метод ортогональной прогонки.............................. 192
7.4 Определение собственных чисел задачи (7.1)..............— 198
7.5 Определение собственных векторов задачи (7.1)............. 202
7.6 Программа ARAP............................................ 203
7.7 Выводы по разделу......................................... 213
8 МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБОПРОВОДОВ .. 216
8.1 Динамические процессы, обусловленные воздействием
внутреннего потока жидкости................................ 216
8.1.1 Динамические процоссы при гидроударе........~........ 217
8.1.2 Структура решения .................................. 220
8.1.3 Схема численного интегрирования..................... 224
8.1.4 Пример анализа реакции трубопровода на гидроудар 226
8.2 Моделирование динамики тубопроводов при разрыве........... 232
8.3 Моделирование динамики трубопроводных систем на
нелинейных опорах.......................................... 239
8.3.1 Математическая постановка задачи.................... 240
8.3.2 Построение решения................................... 243
8.3.3 Примеры.............................................. 248
8.4 Учет пластических деформаций при нагружении стержневых
элементов.................................................. 256
8.4.1 Поперечный изгиб стержня............................. 257
8.4.2 Колебания прямой трубы............................... 263
8.5 Модель опоры на базе упруго-демлфирующих элементов 274
8.6 Выводы по разделу......................................... 283
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................... 286
5
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.................. 292
Приложение 1 Соотношения для решения задачи поперечного изгиба стержня.................................... 311
6
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию низкочастотных процессов колебаний трубопроводных систем ядерных энергетических установок.
Актуальность проблемы
В начале 70-х годов в связи с ростом удельной мощности ядерных энергетических установок (ЯЭУ) и увеличением скорости движения теплоносителя остро встала проблема колебаний элементов ЯЭУ, в том числе и трубопроводов. В состав конструкции ЯЭУ входит большое количество соединительных трубопроводов, которые объединены в ряд основных систем: систему циркуляции теплоносителя первого контура, систему очистки, систему компенсации давления, систему питательной воды и паропроводы второго контура, систему аварийного расхолаживания, системы охлаждения оборудования. Все эти трубопроводы имеют сложную пространственную конфигурацию, что обусловлено условиями компоновки оборудования и требования компенсации температурных деформаций. Кроме этого трубы разной конфигурации используются и в оборудовании: в парогенераторах, теплообменниках, компенсаторах давления, фильтрах. Возникающие при эксплуатации вибрации и шум значительно снижают срок службы оборудования, сужают диапазон допустимых режимов работы установки, ухудшают условия работы персонала, могут явиться причиной серьезных аварий. Аналогичные проблемы имеют место в самолетостроении, химической, нефтяной и газовой промышленности, машиностроении. В связи с этим представляется целесообразной разработка математических моделей колебаний пространственных криволинейных трубопроводов, их анализ и подбор конструктивных методов решения возникающих динамических задач. Особое место занимают здесь одномерные математические модели. Они позволяют достаточно точно описывать длинноволновые колебания трубопроводов, соответствующие собственные частоты которых попадают в диапазон наиболее интенсивных внешних возмущений. Относительно простые с точки зрения их исследования, такие
7
модели дают возможность обнаружить и проанализировать все основные особенности гидроупругого взаимодействия движущейся жидкости и оболочки трубы в практически важном диапазоне частот. Особо следует отметить, что рассматриваемый класс математических моделей дает возможность проводить исследования динамики разветвленных трубопроводных систем со сложной пространственной конфигурацией без значительных упрощений.
Анализ публикаций по проблеме динамики трубопроводов и требования практики определили направление исследований, результаты которых представлены ниже.
Основной целью настоящей работы является:
1) развитие конструктивных математических моделей низкочастотных гидроупругих колебаний криволинейных трубопроводов;
2) исследование механизма влияния стационарного и нестационарного внутреннего потока жидкости на свободные и вынужденно-параметрические колебания трубопроводов, уточнение математической формулировки возникающих задач;
3) разработка численных методик, алгоритмов и пакетов прикладных программ для исследования широкого класса актуальных для ЯЭУ задач динамики трубопроводов.
Научная новизна
1) Разработана математическая модель низкочастотных (длинноволновых) колебаний тонкостенных криволинейных трубопроводов с внутренним нестационарным потоком жидкости. Эта модель занимает промежуточное звено между стержневыми и оболочечными моделями труб и по сути является вариантом полубезмоментных оболочечных уравнений;
2) Получено решение ряда задач, демонстрирующих особенности деформирования тонкостенных криволинейных трубопроводов, содержащих жидкость;
3) Показано, что стержневые уравнения колебаний криволинейных трубопроводов с жидкостью являются частным случаем разработанной математической модели;
8
4) В рамках стержневой модели криволинейных трубопроводов проведено уточнение влияния параметров стационарного и нестационарного внутреннего потока жидкости;
5) Разработана эффективная методика численного исследования задач динамики криволинейных трубопроводов;
6) Разработана математическая модель деформаций упругодемпфирующих элементов, входящих в конструкцию опор трубопроводов ЯЭУ.
Практическое значение
1) Математическая модель деформаций тонкостенных криволинейных трубопроводов может быть использована для разработки класса одномерных конечных элементов трубопровода с жидкостью (в том числе и для конструкций труба в трубе с жидкостью в зазоре), для вывода уравнений деформирования неоднородных тонкостенных стержней с замкнутым профилем. Такого типа элементы находят широкое применение (в энергетике это оболочки ТВЭлов, трубки парогенераторов).
2) Разработанные численные алгоритмы и пакет прикладных программ АЯАР пригодны для решения широкого класса задач деформирования трубопроводов (статического и динамического). Этот пакет используется в ОК.БМ для обоснования надежности трубопроводных систем при разработке новой техники.
3) Разработанные математические модели и программы использованы при идентификации и анализе имевших место вибраций и разрушений элементов конструкций ЯЭУ, при разработке РТМ.
Достоверность результатов исследований и выводов подтверждается сравнением с теоретическими и экспериментальными данными других авторов. Используемые методы построения математических моделей и их анализ базируется на применении обоснованных и отработанных методов исследования. Все программные разработки прошли подробное тестирование.
Апробация работы
Основные материалы работы диссертации докладывались: на
Всесоюзном семинаре по динамике ядерных энергетических установок,
9
Горький. 1976 г.;. на Канадско-советском семинаре по исследованию вибраций узлов ядерных энергетических установок, Оттава, 1976 г.; на итоговых научных конференциях ГГУ, 1977,1983 г.г.; на Всесоюзной конференции по проблемам нелинейных колебаний механических систем, Киев, 1978 г.; на семинарах по проблемам вибраций элементов
энергетического оборудования в институте Машиноведения АН СССР, Москва, 1978, 1979 г.г.; на IV семинаре по динамике упругих тел, взаимодействующих с жидкостью, Томск. 1980 г.; на VII Всесоюзной конференции ‘'Двухфазный поток в энергетических машинах и аппаратах", Ленинград, 1985 г.; на Всесоюзной конференции " Долговечность
энергетического оборудования и динамика гидроупругих систем", Челябинск, 1986 г.; на Всесоюзной конференции " Численная реализация
физико-механических задач прочности ", Горький, 1987 г.; на Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем ", Горький, 1987 г., ; на Всесоюзной научно-техническая конференции "Вибрация и
вибродиагностика. Проблемы стандартизации", Горький, 1988 г.; на 6-м симпозиуме "Колебания упругих конструкций с жидкостью", Новосибирск, 1990 г.; на - международных семинарах 'Теплофизические аспекты
безопасности ВВЭР", Обнинск, 1990, 1995, 1998 г.г.; на международных конференциях "Нелинейные колебания механических систем", Н.Новгород, 1996, 1999 г.г.; на отраслевой конференции "Теплофизика 99. Гидродинамика и безопасность АЭС", Обнинск, 1999 г.; на Третьей международной конференции "Безопасность трубопроводов", Москва, 1999 г.; на
международной конференции "Энергодиагностика и CONDITION MONITORING", Н.Новгород, 2000 г.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 36 работах, среди которых 6 статей в сборнике "Вопросы атомной науки и техники", 11 статей в тематических научных сборниках, 4 статьи в центральных научных журналах, одна коллективная монография, 13 докладов в трудах научных конференций и симпозиумов, РТМ. '
10
Результаты прикладных исследований динамики трубопроводов представлены в 40 отчетах по НИР. Результаты диссертации получены в период с 1973 г. по 2000 г. при выполнении НИР, проводимых в НИИ механики ННГУ.
11
1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ
Разработка любой математической модели естествознания начинается с описания исследуемого объекта и выделения класса анализируемых процессов. Этот этап в значительной степени определяет сложность математической модели, необходимую глубину и точность отражения свойств объекта. Как правило, чем шире класс исследуемых процессов, чем выше требования к точности характеристик процессов, тем сложнее итоговая математическая модель и методы ее исследования, тем сложнее анализ получаемых результатов. Одному и тому же физическому объекту может соответствовать целая серия математических моделей, которые отличаются набором учтенных свойств объекта, глубиной описания исследуемых процессов. В большинстве случаев между этими моделями можно установить четкую иерархию, при которой более сложные модели содержат в себе практически все элементы моделей нижнего уровня. Однако это обстоятельство не умаляет роли простых моделей. Именно исследование простых моделей дает качественную информацию о свойствах объекта, которая в значительной степени упрощает систематизацию и анализ многообразия происходящих в объекте сложных процессов, получаемых, как правило, в результате экспериментальных исследований или численных расчетов с использованием сложных математических моделей объекта. Кроме того, анализ простых моделей способствует грамотной формулировке более сложных моделей, предоставляет возможность контроля и понимания результатов численного исследования этих моделей.
В процессе решения конкретных практических задач возникает вопрос выбора оптимальной сложности математической модели. При решении этого вопроса используется принцип разумной достаточности. Учитываются запросы практики в отношении класса моделируемых процессов и требуемой точности результатов, возможностью использования имеющихся методов исследования математической модели и анализа получаемых результатов. В процессе решения практических задач существенными являются также такие
12
факторы, как стоимость исследования, его оперативность, а иногда и имеющиеся технические возможности решения (в частности, парк ЭВМ).
При анализе деформирования криволинейных пространственных трубопроводов выделяется два класса математических моделей и соответствующих подходов и методов исследования. К первому классу следует отнести одномерные модели, в которых в качестве базовых используются различные варианты уравнений деформации тонких криволинейных стержней. В этих моделях нормальное сечение трубы в процессе деформации считается плоским и недеформирусмым, внутренний поток жидкости также считается одномерным. Ко второму классу математических моделей деформирования трубопроводов следует отнести оболочечные модели, которые учитывают изменение формы нормального сечения трубы. Область применимости отмеченных классов математических моделей в низкочастотной области нагружения в основном определяется параметром б = Ь/г, характеризующем относительную толщину трубы (Ь-толщина стенки трубы, г-радиус срединной поверхности трубы). Остановимся более подробно на результатах проведенных исследований.
•
1.1 Стержневые модели динамики пространственных трубопроводных систем
При достаточно больших б (порядка 0.1) оболочечные эффекты на поведение трубопроводов практически никакого влияния не оказывают и в этой ситуации можно использовать стержневые уравнения деформирования криволинейных трубопроводов. Исследование стержневой модели динамики криволинейных трубопроводных систем имеет самостоятельный практический интерес, так как такими моделями описывается достаточно широкий класс трубопроводных систем, используемых в машиностроении, самолетостроении, ядерной энергетике. С другой стороны, используемые методы численного исследования допускают расширение на более сложные одномерные конструкции, к числу которых следует отнести и тонкостенные криволинейные трубопроводы.
13
Особенности поведения трубопроводов связаны с наличием внутреннего потока жидкости. Известные из литературы основные * качественные черты протекающих динамических процессов получены к началу 70х годов для прямых трубопроводов в силу относительной простоты математической модели, позволяющей во многих случаях использовать аналитические методы. Существенная для настоящей работы роль такого изучения сводится к следующему.
1. Аналитические исследования этого предельного случая криволинейного трубопровода служат критерием правильности результатов, получаемых численным счетом.
2. Получаемые представления о характере протекающих процессов позволяют разобраться в некоторых иногда существенно более сложных явлениях, присущих пространственным трубопроводам.
3. Исследования прямых ■ трубопроводов позволяют обосновать некоторые предположения, лежащие в основе получаемых математических моделей пространственных трубопроводов, подобрать конструктивные методы решения возникающих задач.
4. Уравнение движения прямого трубопровода представляет собой интересный объект изучения, позволяющий продемонстрировать некоторые математические особенности несамосопряженных краевых задач, встающих при решении неконсервативных проблем упругой устойчивости (25,162].
1.1.1 Прямолинейный трубопровод
Важная роль в исследовании динамики прямолинейных трубопроводов принадлежит работам Феодосьева В.И., Картвелишвили H.A., Болотина В.В., Ушакова B.C., Коврсвского А.П., Натанзона М.С., Комарова A.A., Ильгамова М.А., Доценко П.Д., Смирнова Л.В., Байрда и Бехтольда (Baird R.C., Bechtold J.C.), Ашди и Хавиланнда (Ashley H., Haviland G.), Хауснера (Hausner G.W.), Ниордсона (Niordson F.I.N.), Стейна и Тобринера (Sntin R.A., Tobriner M.W.), Чена (Chen S.S.), Уивера и Юнни (Weawer D.S., Unny J.E.), Пейдауссиса (Paidoussis M.P.), Рота (Roth W.), Беккера (Becker D.) и ряда других авторов. Используемые при этом уравнения являются частным случаем более сложных
14
математических моделей [40,68,175,225,226], но чаше всего они выводятся самостоятельно [24,69,162,178,182,197,199,211]. При выводе обычно предполагается равномерное распределение скорости и давления жидкости по поперечному сечению трубопровода (гипотеза плоских сечений). В работах [116,171] показано, что поправки, связанные с уточнением выражения для гидродинамической силы за счет отказа от "гипотезы плоских сечений", имеют тот же порядок, что и поправки, необходимые при учете сдвиговых деформаций и инерции поворота сечения в стержневой модели трубной оболочки [183]. Обширная библиография с соответствующим обсуждением результатов, полученных при изучении динамических свойств прямых трубопроводов, содержится в работах [137,140,164,165,170,203,228,233]. Основным результатом можно считать тот факт, что параметры внутреннего стационарного потока жидкости (скорость и давление) могут оказать определенное влияние на динамические свойства трубопроводов, и это влияние во многом аналогично влиянию следящей сжимающей силы на изгибные колебания и устойчивость стержней [25]. С ростом скорости и давления внутреннего потока жидкости частоты собственных колебаний трубы с закрепленными концами уменьшаются. При некоторых значениях давлений и скоростей, называемых критическими, прямолинейная форма равновесия трубы становится неустойчивой. Тип неустойчивости (дивергенция, флаттер) зависит от условий крепления трубопровода. Если конец трубопровода может свободно (консоль) или упруго смещаться, то внутренний- поток жидкости оказывает на трубопровод демпфирующее влияние. Характерная особенность процесса колебаний состоит в том, что при ненулевой скорости движения жидкости возникает анизотропия скорости волн изгиба, и бегущие в разные направления простые гармонические волны одной и той же длины имеют разные скорости и не дают в сумме чисто стоячей волны [162].
При эксплуатации в любой гидросистеме поток является нестационарным, так как всегда присутствуют пульсации скорости и давления. Энергия этих пульсаций при соответствующих условиях может переходить в энергию механических колебаний трубы. Первые публикации
15
по этому вопросу посвящены анализу вибраций магистральных нефтепроводов, напорных трубопроводов ГЭС [69,199] . Аналогичные проблемы возникли при эксплуатации самолетных гидросистем
[79.80.81.154.178], трубопроводов в химическом машиностроении и ядерной энергетике [237].
В общих чертах процесс возбуждения колебаний можно представить следующим образом. При движении жидкости по трубопроводу из-за наличия местных неоднородностей (повороты, задвижки и т.д.), а также из-за работы насосов возникают пульсации скорости и давления. Эти пульсации могут вызвать два вида колебаний трубы: вынужденные и параметрические
[50.156.178]. Возбуждение вынужденных колебаний связано с переменными гидродинамическими силами, приложенными в местах гибов и действующими в плоскости кривизны трубопроводов [21,27,28,83,237]. Режим вынужденных колебаний может быть неустойчивым, и тогда в системе развиваются параметрические колебания.
Устранить пульсации скорости н давления практически невозможно. Меры по снижение уровня пульсации, выявлению наиболее опасных режимов колебаний жидкости в гидросистеме (в частности, резонансных колебаний) и отстройке от них рассмотрены в работах [41,148].
В случае трубопровода с прямолинейной осью механизм вынужденных колебаний не проявляется, и возникают только параметрические колебания. Работы по изучению параметрических колебаний прямых трубопроводов условно можно разбить на две группы. К первой группе относятся исследования по. определению областей параметрической неустойчивости, изучению влияния на их границы параметров жидкости и трубы. Аналитические исследования базируются при этом на линейных относительно функции отклонений уравнениях движения трубы. Вторая группа объединяет работы, основное внимание в которых уделяется оценке амплитуд колебаний трубы. Исследуемые уравнения в этом случае содержат нелинейные относительно смещения слагаемые, приводящие к ограничению амплитуды колебаний.
16
В ряде опубликованных работ исследовано влияние диссипации энергии на колебания [70,71,78,103,196,205,210,228,229,230,233]. Так, в
работах [70,205,210,228,229,230,233] уравнения движения содержат слагаемые, учитывающие рассеяние энергии в материале трубы согласно гипотезе
Кельвина-Фохта, а в работах [205,228,229,230,233] учтены силы внешнего вязкого рассеяния энергии, пропорциональные скорости движения точек трубы.
В большинстве работ исследованы колебания шарнирно закрепленного трубопровода. Такая модель дает возможность значительно упростить все математические выкладки и вместе с тем получить для труб с закрепленными концами многие качественные результаты общего характера. В работе [233] рассмотрен также случай бесконечного трубопровода, а в работах [228,229,230] - консольного трубопровода и трубопровода с одним
защемленным, а другим шарнирно опертым концом. При аналитическом
исследовании колебаний методом разделения переменных или методам
Бубнова-Галеркина задача сводится к изучению системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Границы областей неустойчивости при этом, как правило, определяются методом Болотина [23], то есть из условия реализации периодических колебаний. После сведения задачи к рассмотрению уравнения Матье в работах [76,103,196,233] указывается на существование областей динамической неустойчивости вблизи частот колебаний скорости и давления со, определяемых соотношением со =2со/к, j - 1,2..., к = 1,2..., где со} - собственные частоты поперечных колебаний грубы.
Для прямых трубопроводов с шарнирно-закрепленными концами показано [196,205,210,228,229,230,233], что, как и в случае параметрического возбуждения стрежней [23], наибольшую опасность представляют области параметрической неустойчивости при к=1 для низших форм колебаний. Области неустойчивости при к = 2,3,... значительно меньше главной и уменьшаются с увеличением их порядка (к). Рассеяние энергии при поперечных колебаниях трубы оказывает стабилизирующее влияние на систему: области неустойчивости уменьшаются, особенно велико это
17
уменьшение для областей высших порядков. Возбуждение колебаний трубы с учетом затухания оказывается возможным только при . превышении амплитудами пульсации скорости и давления определенного (порогового) значения. В работах [210,228] отмечено, что рассеяние энергии в материале . трубы более эффективно действует на высшие формы колебаний. С
практической точки зрения возбуждение параметрических колебаний на высших формах представляет опасность только там, где велики пульсации скорости и давления относительно их стационарных значений. Все эти выводы в равной мерс относятся и к колебаниям прямого стержня при действии на него периодической сжимающей силы [23].
С увеличением постоянных составляющих внутреннего давления и скорости размеры областей неустойчивости для труб с закрепленными концами растут и сдвигаются в направлении уменьшения частот возбуждения [70,178,205,210,228,233]. Это является следствием понижения частоты собственных колебаний, так как указанные воздействия снижают
эквивалентную жесткость системы. При скоростях и давлениях, далеких от критических значений (соответствующих потере устойчивости), размеры и расположение областей неустойчивости можно считать независимыми от постоянных составляющих скорости и давления [78]. С увеличением
плотности жидкости растет уровень параметрической нагрузки на трубопровод, и области неустойчивости расширяются [205,210,228].
В работах [205,230] указано на принципиальную возможность
существования у трубопроводов областей комбинационных резонансов как разностного, так и суммарного типов.
Основные результаты аналитического исследования параметрической неустойчивости закрепленных трубопроводов подтверждаются и экспериментально [178,229].
Существенные особенности поведения консольных трубопроводов при наличии пульсирующего потока жидкости отмечены в работах [228,229,230,236]. Теоретически установлено и экспериментально подтверждено, что даже при отсутствии рассеяния энергии области неустойчивости появляются только при достижении определенного значения
18
скорости потока и глубины модуляции (порогового значения). С увеличением скорости потока пороговое значение глубины модуляции увеличивается. Такое поведение системы объясняется демпфирующим влиянием потока жидкости на колебания трубы. Неустойчивость избирательно связана с формами колебаний, как правило, со второй и третьей. (Не было обнаружено неустойчивости, связанной исключительно с первой формой.) Это является следствием более сильного демпфирующего влияния потока на первую собственную форму. В эксперименте при низких частотах и высоких амплитудах пульсации были обнаружены комбинационные резонансы, включающие первую и более высокие формы собственных колебаний. Наблюдались также области, включающие в себя суперпозицию нескольких параметрических резонансов. Во время экспериментов наблюдался еще один интересный факт. Пульсирующий поток при некоторых частотах и амплитудах пульсаций может подавить неустойчивость типа флаттера, обусловленную постоянной составляющей скорости потока [229].
В ряде работ основное внимание уделено оценке амплитуд колебаний трубопровода внутри областей параметрической неустойчивости. В работах [73,114] рассмотрен случай трубопровода, опирающегося на неподвижные шарнирные опоры. Исследуемые уравнения содержат нелинейное (кубическое) слагаемое, которое учитывает возникающие при колебаниях в трубной оболочке растягивающие осевые усилия.
Работы [47,72,82] посвящены изучению движения трубопровода, один конец которого опирается на неподвижный шарнир, а второй - на шарнир, подвижный в продольном направлении. Свободному продольному движению трубопровода в этом случае препятствует инерционная нагрузка (сосредоточенная масса на конце) и упругая связь. К такой схеме могут быть сведены многие практические случаи крепления трубопроводов. Как и в случае колебаний прямых стержней [23], учет этих особенностей привел к появлению в уравнении движения дополнительных кубических относительно смещений трубы слагаемых.
С помощью одночленного приближения метода Бубнова-Галерки на задача расчета параметрических колебаний трубы сводится к исследованию
19
обыкновенного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами и нелинейными кубическими слагаемыми. Рассматривается, как правило, главная область параметрических колебаний. Нелинейные члены уравнения приводят к ограничению роста амплитуды колебаний при попадании частоты в область параметрической неустойчивости [23,193]. Для отмеченных выше нелинейных задач [47,114] резонансные кривые имеют вид, характерный для систем с жесткой характеристикой, а в работах [72,82] в зависимости от соотношения параметров эти кривые могут иметь вид, характерный для нелинейных систем, как с жесткой, так и с мягкой характеристикой. Если в системе присутствует нелинейное демпфирование [47,82], то амплитуды колебаний трубы при всех частотах пульсаций жидкости не превышают определенного максимального значения. Отмечено [47], что причиной нелинейного затухания у трубопровода с подвижным в продольном направлении концом может быть внутренний поток жидкости.
При возбуждении параметрических колебаний энергия пульсаций жидкости в гидросистеме переходит в энергию колебаний трубы. Во всех рассмотренных выше задачах этот переход учтен односторонне: убыль энергии пульсаций во внимание не принималась. Оценки этой энергии и соответствующих потерь напора жидкости в гидросистеме проводились в работе [114].
В рамках настоящей работы проведен анализ механизма перехода колебательной энергии при параметрических колебаниях трубопровода с потоком жидкости [119,134]. Использовано представление трубопровода в виде двух взаимодействующих колебательных систем. Первая определяет колебания скорости и давления жидкости в гидросистеме относительно их стационарных значений, а вторая определяет колебания трубопровода при наличии постоянного потока жидкости. За обмен колебательной энергией между этими системами в математической модели движения (согласно общим положениям работы [36]) ответственны нелинейные квадратичные слагаемые. Для реальных амплитуд колебаний жидкости и трубы эту нелинейную связь можно считать слабой, и заметное влияние на поведение всей системы она
20
может оказать только в условиях синхронизма, когда частота свободных колебаний трубы приблизительно вдвое меньше частоты свободных колебаний жидкости в гидросистеме. При этом амплитуды установившихся колебаний могут значительно отличаться от полученных без учета рассматриваемой связи [119]. Вдали от условий синхронизма учет этой связи приводит к появлению в расчетных уравнениях движения трубопровода малых кубических слагаемых [234,235].
В практических расчетах параметрических колебаний основное внимание сосредоточено на точном определении границ областей неустойчивости [8,23,26], и стремлении при эксплуатации трубопроводов не допускать попадания частот внешнего возмущения в окрестность этих областей. Оценка амплитуд колебаний внутри областей неустойчивости является более сложной задачей. При ее решении используются приближенно определенные характеристики системы (например, нелинейное затухание), в связи с чем получаемые результаты обладают низкой точностью. Проводить эти оценки целесообразно только в случаях, когда избежать работы трубопровода в области неустойчивости невозможно.
1.1.2 Криволинейные трубопроводы
В технических системах, в частности в ЯЭУ, условия размещения и монтажа, требования компенсации монтажных и температурных деформаций приводят к использованию криволинейных трубопроводов, а значит, и к необходимости изучения их динамических свойств. В зависимости от круга решаемых задач и требований точности расчетов выделяются два подхода к исследованию колебаний криволинейных труб. В первом случае трубопровод моделируется криволинейным пространственным стержнем. Влияние внутреннего потока жидкости при этом учитывается только в качестве дополнительной массы. Развитие этого подхода связано с работами Богомолова С.И., Журавлева А.М. и Ингульцова С.В., Вилитченко В.И. и Шульмана С.Г., Вереземского В.Г. и Грудева И.Д., Самарина A.A., Костовецкого Д.Л., Фудзикава, Эдзири, Тиба и ряда других авторов.
21
Выполнен ряд важных расчетов динамических свойств трубопроводов,' а также исследований вопросов сейсмостойкости (см., например, работы [22,30,32,153,185,188,194,204,214,238]). Однако многие трубопроводы работают иод высоким давлением,’ а внутренний поток имеет высокую скорость, может быть нестационарным. В случае прямых трубопроводов это приводит к изменению частот и форм собственных колебаний, появлению областей параметрической неустойчивости. Естественным является вопрос о влиянии указанных факторов на динамические свойства криволинейных трубопроводов. Такие исследования нужны и для оценки границ применимости модели трубопровода в виде пространственного стержня..
Уравнение колебаний криволинейного трубопровода постоянной кривизны с учетом нестационарного внутреннего давления и скорости движения жидкости впервые приведено в работе Ушакова B.C. [178]. Это уравнение малых (линейных) колебаний трубопровода относительно его свободного состояния. Длительное время исследование [178] было основополагающим. В конце шестидесятых годов резко возросло количество публикаций, посвященных разработке математических моделей и исследованию динамических свойств криволинейных трубопроводов. Здесь следует выделить работы Башта О.Т., Доценко П.Д., Зефирова В.H., Старова
A.М., Ковревского А.П., Кондрашова Н.С. и Лашковой Л.А., Светлицкого
B.А., Девиса и Хилла (Davis C.G., Hill J.L.), Чена (Chen S.S.), и других. Предметом изучения были как трубопроводы частной конфигурации (с круговой осью) [77,191,206], так и трубопроводы с произвольной пространственной осью [48,49,53,55,86,155,156,157,159,240]. В этих работах используются в качестве основы математической модели уравнения пространственных криволинейных стержней [51,106,109,158,159], а влияние жидкости заменяется действием некоторой распределенной нагрузки. При получении выражения для этой нагрузки движение жидкости считается одномерным. Специфика трубопроводов, применяемых в разных отраслях (самолетостроении, энергетике, машиностроении), привела к тому, что внимание разных исследователей привлекли разные вопросы, при решении которых использовались различные модели. Воздействие потока жидкости на
22
поведение криволинейных трубопроводов является существенно нелинейным, что и нашло отражение в нелинейных уравнениях колебаний трубопроводов [54,86,155,156].
Автором совместно со Смирновым Л. В. разработаны уравнения "малых колебаний" [134], при выводе которых учтено исходное напряженно-деформированное состояние, связанное с наличием движущейся жидкости. Уравнения, аналогичные приведенным в работе [134], можно получить путем линеаризации нелинейных уравнений вблизи найденного стационарного состояния, однако имеется довольно много работ, где это состояние не учитывается, что и приводит к ошибочным выводам. Уравнения движения работы [134] описывают "малые" колебания, однако в них сохранено нелинейное слагаемое, которое существенно при исследовании некоторых параметрических эффектов. Эти уравнения содержат также поправки, обусловленные нелинейным распределением нормальных напряжений по сечению трубки на участках с ненулевой кривизной (особенности деформации кривых стержней см. в работе [17]). В уравнениях работы [134] учтены сдвиговые деформации и деформации растяжения-сжатия оси трубки. Если непосредственное влияние их на свободные колебания трубки незначительно, то при анализе равновесного напряженно-деформированного состояния и исследовании параметрических колебаний учет деформаций растяжения-сжатия во многих случаях становится необходимым.
Математическая модель движения криволинейных трубопроводов отражает взаимосвязанные изгибные, крутильные и продольные колебания и представляет собой в общем случае систему из 14 уравнений первого порядка с зависящими от пространственной координаты коэффициентами. Если пренебречь влиянием колебаний трубки на движение жидкости в гидросистеме, порядок системы уравнений понижается до 12. При решении конкретных задач необходимо учитывать граничные условия для трубки (12 условий) и для жидкости в гидросистеме (два условия). Наличие-каждой промежуточной опоры приводит к наложению на решение системы в соответствующем сечении двенадцати дополнительных условий.
23
Первым естественным шагом при исследовании движения трубопроводов, как и любой другой упругой конструкции, является изучение свободных колебаний, и этому вопросу посвящен ряд опубликованных работ. Установлено, что влияние внутреннего стационарного потока жидкости на свободные колебания криволинейных трубопроводов имеет характерную особенность. Дело в том, что в криволинейных трубопроводах, в отличие от прямых, наличие движущейся под давлением жидкости приводит к появлению в материале трубки стационарных составляющих напряжений (например, растягивающих усилий). Это напряженно-деформированное состояние может оказать заметное влияние на динамические свойства упругой системы. (Классическим примером могут служить поперечные колебания прямого стержня, нагруженного осевой силой [174]: сжимающая сила снижает, а растягивающая увеличивает частоты свободных колебаний стержня). Отсюда следует, что наряду с уменьшением эквивалентной жесткости, как это было в случае прямолинейного трубопровода, внутренний поток оказывает дополнительное влияние на колебания криволинейных трубопроводов посредством возникающих при этом статических усилий (у прямого трубопровода возникновение похожих статических усилий возможно только за счет сил трения между жидкостью и стенками трубы [75]). Качественное объяснение этого влияния содержится в работах [79,178], однако в уравнениях колебаний этот эффект впервые был учтен и проанализирован в работе Светлицкого В.А. [155]. Роль начального напряженного состояния при колебаниях трубки очень велика. Как показано в работах [52,86,155,156,157,212,240], для криволинейных однопролетных трубопроводов с неподвижными концами возникающие под действием потока статические усилия таковы, что, в отличие от прямых трубопроводов (см. выше), практически полностью компенсируют влияние давления и скорости движения жидкости на свободные колебания и устойчивость. В этом случае влияние осуществляется только через "силу Кориолиса", но в практически используемом диапазоне скоростей течения жидкости оно носит достаточно слабый характер. Говорить при этом о критических скоростях и критическом давлении можно только как о некоторых характерных
24
величинах, на практике никогда не достижимых. Факт слабой зависимости частот и форм собственных колебаний криволинейных трубок с закрепленными концами от параметров потока имеет экспериментальное подтверждение [11,79].
В рамках настоящей работы этому важному вопросу также было уделено внимание. В работе [ 135] на основании модели работы [134] показано, что при постоянной длине с изменением кривизны оси трубки степень влияния внутреннего давления на динамические свойства трубопровода меняется. Наибольшее влияние оно оказывает на колебания трубопровода с осью нулевой кривизны (прямой трубопровод), и с увеличением кривизны это влияние резко падает. Переход происходит непрерывно, без скачков, и чтобы его проследить, учет деформаций растяжения-сжатия является необходимым. В работе [135] показано, что для труб с закрепленными концами поток жидкости качественно влияет так же, как и температурное расширение. То есть динамические свойства трубопровода, конфигурация которого не допускает больших осевых усилий при температурном расширении, слабо зависят от параметров стационарного внутреннего потока.
Исследования многопролетных криволинейных трубопроводов показали, что характер зависимости частот и форм собственных колебаний от давления определяется конструкцией трубопровода и условиями закрепления в концевых и промежуточных сечениях. На разные формы колебаний давление оказывает разное влияние. С ростом давления одни частоты уменьшаются быстрее, другие - медленнее, причем возможны ситуации, когда меняется порядок следования частот. Влияние скорости движения жидкости на динамические свойства консольною кругового трубопровода рассмотрено в работах [157,240] (Задачи, когда требуется рассмотрение консольного закрепления, могут возникнуть при моделировании аварий с разрывом трубопроводов, что в частности актуально для ЯЭУ). В работах [48,157] установлено, что в рассмотренном диапазоне скоростей движения жидкости первая форма колебаний в плоскости кривизны является устойчивой, а для второй формы существует критическая скорость, превышение которой
25
приводит к появлению нарастающих колебаний. Выше отмечалось, что это имеет место и для прямых трубопроводов. Исследования свободных колебаний и устойчивости круговых трубопроводов, проведенные без учета возникающих статических усилий [191,206,213], не отражают реальной картины явления.
Как отмечено в работах [48,49,53,86,156,209], колебания трубопровода происходят совместно с колебаниями жидкости в гидросистеме, частью которой является данный трубопровод. Пренебрежение этой связью при расчетах в некоторых случаях, как указано в [86], может привести к заметным неточностям. С другой стороны, , расчет колебаний трубки с учетом порождаемого этими колебаниями движения жидкости значительно усложняет задачу. В этой связи целесообразно оценить это влияние и указать условия, при которых им можно пренебречь. Движение системы трубопровод-жидкость можно рассматривать как колебания двух линейно связанных колебательных подсистем. Трубопровод со стационарным потоком жидкости при таком подходе является одной парциальной подсистемой, а вторая парциальная подсистема определяет колебания жидкости в гидравлической системе. Известно [108], что взаимным влиянием двух подсистем можно пренебречь, если их "связанность" мала, а это возможно при условии различия парциальных частот и слабой связи колебательных систем. Рассмотрение уравнений движения жидкости в колеблющемся трубопроводе показывает, что эта связь тем слабее, чем меньше в форме колебаний уровень перемещений трубопровода вдоль его оси. То есть связь осуществляется главным образом за счет совпадения направления движения трубки при колебаниях с направлением движения жидкости.
В заключение можно сказать, что в настоящее время разработаны достаточно надежные математические модели, позволяющие исследовать линейные свободные колебания криволинейных трубопроводов. С помощью этих моделей качественно выяснены основные особенности влияния стационарного внутреннего потока жидкости на эти колебания и проводятся расчеты конкретных трубопроводов. Из продолжающихся работ наибольший интерес представляют исследования по уточнению уравнений математической
26
модели, теоретическому и экспериментальному изучению влияния потока на затухание [11], исследованию нелинейных эффектов при свободных колебаниях [58], учету влияния линейных и нелинейных промежуточных опор.
Криволинейный трубопровод с нестационарным потоком является несравненно более сложным объектом исследования, аналитических результатов в этой области получено сравнительно немного, в связи с чем целесообразно в первую очередь рассмотреть физику протекающих динамических процессов.
Нестационарный поток приводит к появлению нестационарных сил, действующих на криволинейных участках в плоскости кривизны. В случае резонанса амплитуды колебаний и возникающие напряжения могут стать значительными, поэтому работа в таких режимах нежелательна. Для оценки возможности резонанса, если частоты пульсации расхода известны, следует определить собственные частоты трубопровода. Расчет самого процесса резонансных колебаний затруднителен в связи с необходимостью учета взаимосвязи колебаний жидкости и трубы и учета многих нелинейных факторов. Связь колебаний жидкости и трубы существенна в том случае, когда собственная частота колебаний жидкости в гидросистеме близка к собственной частоте колебаний рассматриваемой трубы. При этом идет интенсивный обмен энергией между трубой и потоком, и для изучения процесса колебаний следует рассматривать единую систему труба - поток жидкости. Если указанные собственные частота далеки и колебания трубы не являются резонансными, то обратным влиянием трубы на поток и нелинейными эффектами можно пренебречь, как это сделано в работах [21,27,28,80). Такого типа колебания являются неизбежными, и расчет соответствующих амплитуд отклонений и возникающих напряжений может оказаться необходимым для оценок вибропрочности. При этом предпочтительнее пользоваться уравнениями движения криволинейного трубопровода, которые учитывают факторы, ответственные за возбуждение вынужденных колебаний.
27
Кроме вынужденных колебаний, при некоторых соотношениях параметров нестационарный поток может вызвать также и параметрические колебания, которые проявляются как динамическая неустойчивость режима вынужденных колебаний. Таким образом, имеют место колебания трубопровода, которые можно назвать вынужденно-параметрически ми, поскольку процесс колебаний является единым. Например, в простейшем случае Г - образного трубопровода с жестко заделанными в продольном направлении концами при наличии пульсирующего потока имеем
направленную в плоскости изгиба переменную силу, действующую на криволинейном участке. Появляющиеся при этом переменные усилия вдоль прямолинейных участков приводят к весьма малым продольным перемещениям, хотя сами усилия могут быть значительными. Эти продольные усилия наряду с давлением и скоростью движения жидкости являются параметрическим воздействием для изгибных колебаний прямолинейных участков [23]. Отметим, что в случае трубопровода с прямолинейной осью вынужденные колебания отсутствуют, и возникают только параметрические колебания.
В работах ряда авторов имеются указания на возможность возбуждения внутренним потоком как вынужденных, так и параметрических колебаний криволинейных трубопроводов (50,57,156,178,199]. Однако в некоторых работах нет четкой постановки задачи, что приводит к неверным результатам и выводам. Основная неточность состоит в том, что при изучении условий параметрического резонанса обычно рассматривается устойчивость
статического положения трубопровода, а не режима его вынужденных колебаний. Так можно поступать только в случае прямолинейных трубопроводов (см. выше). Только в случае прямолинейных трубопроводов изучение параметрической "неустойчивости можно проводить но уравнениям, линеаризованным относительно функции перемещения" трубы. В случае криволинейных трубопроводов линейные уравнения приводят к неточностям того же характера, что и не учет статических начальных усилий в уравнениях свободных колебаний. Модель, свободная от этих неточностей, должна быть нелинейной. С этих позиций решена, например, задача
28
параметрического возбуждения шарнирно закрепленной прямой трубы с изгибом на подвижном в продольном направлении конце [155]. В нелинейной постановке решена задача расчета колебаний кругового трубопровода из плоскости кривизны в работе [55], но при решении опущены слагаемые, характеризующие вынуждающие силы.
Кроме теоретических, проводятся также экспериментальные исследования параметрических колебаний криволинейных трубопроводов
[154,178]. Например, в работе [154] изучалось влияние угла гиба круговой трубы на минимальное (пороговое) значение амплитуды колебаний давления, при котором появлялись параметрические колебания. Обнаружено, что при неизменной длине трубопровода с ростом угла гиба пороговая амплитуда сначала растет (до угла гиба 90°), а затем падает. Это свидетельствует о достаточно сложной зависимости границ параметрической неустойчивости от геометрии трубопровода. Такая зависимость порогового значения давления не может быть исследована и объяснена в рамках линейной модели.
Уточнению постановки задачи вынужденно-параметрических колебаний уделено внимание и в настоящей работе [120,136]. В [120] рассмотрены условия возбуждения параметрических колебаний прямого тупикового трубопровода. В этой задаче закрытый конец трубопровода играет ту же роль, что и гибы у криволинейного трубопровода. Показано, что вынужденные колебания трубы существенно изменяют условия возбуждения параметрических колебаний.
Перечисленные результаты исследований и изложенные выше представления о характере * возбуждения колебаний трубопровода нестационарным внутренним потоком определяют следующий порядок решения практической задачи расчета динамики трубопровода.
Решение задачи начинается с изучения режима вынужденных колебаний. В качестве исходных данных кроме параметров трубопровода должны быть известны, по крайней мере, частоты возмущений скорости и давления внутреннего . потока. В первую очередь эти возмущения представляют собой вынужденные колебания давления и расхода с частотами, определяющимися конструкцией насоса. Другим источником возмущений
29
могут быть турбулентные пульсации и вихревой отрыв, которые усиливаются за счет акустических резонансов в гидросистеме. Сравнение собственных частот трубопровода с частотами возмущений, генерируемых насосами, а также с собственными частотами колебаний жидкости в гидросистеме позволяет предсказать возможность резонанса. Такие расчеты в настоящее время проводятся.
При отсутствии резонанса, когда для расчета колебаний трубы пригодны линейные уравнения, основная трудность состоит в определении давления (скорости) жидкости как функции времени и координаты вдоль оси трубопровода. Расчетным путем без привлечения экспериментальных данных в настоящее время получить эти параметры можно только в простейших случаях (см. [41,148]). Это обстоятельство не позволяет пока проводить расчеты на стадии проектирования, однако в задачах идентификации колебаний, наблюдающихся на практике, данные о распределении давления жидкости могут быть получены на основании измерений давления в отдельных точках гидросистемы. Особое внимание при расчете вынужденных колебаний следует уделить точности определения переменных усилий растяжения - сжатия, которые для поперечных колебаний являются параметрической нагрузкой. Следующим этапом решения является запись уравнений в отклонениях от режима вынужденных колебаний. В этом случае задача сводится к- рассмотрению распределенных уравнений с периодическими коэффициентами, для решения которых можно использовать известные методы [8,23,26,35,193]. В результате такого расчета могут быть получены границы областей опасных колебаний.
Конкретные расчеты показывают, что спектр частот собственных колебаний пространственных многопролетных трубопроводов является довольно плотным, поэтому возможность резонанса вынужденных колебаний достаточно велика. В этом случае исследование вынужденно-параметрических колебаний становится еще более сложной задачей и требует учета нелинейных эффектов.