Линейная и нелинейная теория ρ-адических обобщенных функций

Оглавление
Глава 1. Введение 4
1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика 4
1.2. Содержание диссертации и ее основные результаты 5
1.3. Библиографический обзор 24
Глава 2. Вспомогательные факты из р-адического анализа 31
2.1. Введение 31
2.2. р-Адическая норма и р-адические числа. 31
2.3. р-Адические функции 34
2.4. р-Адическое интегрирование 35
2.5. р-Адические распределения 37
Глава 3. Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных
распределений (вещественный и р-адический случаи) 41
3.1. Введение 41
3.2. Анализ определения присоединенного однородного распределения. 43
3.3. Симметрия класса распределений АНо№) 48
3.4. Вещественные квази-нрисоединенные однородные распределения 51
3.5. Вещественные многомерные квази-ирисоединеииые однородные
распределения 59
3.6. Преобразование Фурье вещественных квази-присоединенных однородных
распределений 63
3.7. Новый тип вещественных Г-функций 64
3.8. р-Адические однородные распределения 66
3.9. р-Адические квази-присоединенные однородные распределения 68
ЗЛО. Преобразование Фурье р-адических квази-присоединенных однородных
распределений 76
3.11. Новый тип р-адических Г-функций 77
Глава 4. р-Адические пространства Лизоркина основных функций и
распределений 80
4.1. Введение 80
4.2. Вещественный случай пространств Лизоркина 81
4.3. р-Адическис пространства Лизоркина 82
4.4. Плотность пространств Лизоркина в Ср(0£) 85
1 б""
Глава 5. Теория р-адических всплесков 88
5.1. Введение 88
5.2. р-Адический кратномасштабный анализ (одномерный случай) 93
5.3. Построение р-адического хааровского кратномасштабного анализа 95
5.4. Описание одномерных 2-адических хааровских базисов всплесков 100
5.5. Описание одномерных р-адических хааровских базисов всплесков 106
5.6. р-Адические масштабирующие функции и кратномасштабный анализ 117
5.7. р-Адический сепарабельный многомерный КМА 125
5.8. Многомерные р-адические базисы всплесков Хаара 126
5.9. Один нехааровский базис всплесков в £2(QP) 130
5.10. Одно бесконечное семейство нехааровских базисов всплесков в C2(QP) 138
5.11. Многомерные нехааровские р-адические всплески 143
5.12. р-Адическая теорема Шеинона-Котельникова 144
5.13. р-Адические пространства Лизоркина и всплески 147
Глава 6. р-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах
Лизоркина 151
6.1. Введение 151
6.2. р-Адические многомерные дробные операторы 153
6 3. Один класс р-адических псевдодифференциальных операторов 159
6.4. Спектральная теория псевдодифференциальных операторов 161
Глава 7. р-Адические псевдодифференциальные уравнения 169
7.1. Введение 169
7.2. Простейшие псевдодифференциальные уравнения 171
7.3. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения первого
порядка по t 173
7.4. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения второго
(и более высокого) порядка по t 177
7.5. Полулинейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения 181
Глава 8. Асимптотики распределений и р-адические тауберовы теоремы 185
8.1. Введение 185
8.2. Асимптотические оценки р-адических распределений 186
8.3. Квази-асимптогики р-адичсских распределений 186
8.4. Тауберовы теоремы по отношению к асимптотикам 189
8.5. Тауберовы теоремы по отношению к квази-асимптотикам 193
Глава 9. Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье 199
9.1. Введение 199
9.2. Результаты об асимптотиках сингулярных интегралов Фурье в
вещественном случае 201
9.3. Асимптотические разложения р-адических распределений 201
2
9.4. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (яДя) = 1) 202
9.5. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (тгДж) ^ 1) 209
9.6. р-Адичсская версия леммы Эрдейи 211
Глава 10. Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и
р-адический случаи) 212
10.1. Введение 212
10.2. Нелинейные теории распределений (вещественный случай) 215
10.3. Новые версии алгебр Коломбо (вещественный случай) 221
10.4. Сингулярные решения квазилинейных систем законов сохранения
(вещественный случай) 233
10.5. Произведения распределений в контексте решения задачи Коши для
квазилинейных систем законов сохранения (вещественный случай) 246
10.6. Построение р-адической алгебры Коломбо-Егорова 255
10.7. Свойства обобщенных функций Коломбо-Егорова 257
10.8. Дробные операторы в алгебрах Коломбо-Егорова 260
10.9. Ассоциативная алгебра р-адичеекях асимптотических распределений 262
10.10. А* как подалгебра алгебры Коломбо-Егорова 267
Литература 269
Приложение А. Два тождества 281
Приложение В. Доказательство теоремы о слабых асимптотических
разложениях 283
з
Глава 1
Введение
1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика
В течение нескольких сотен лет теоретическая физика развивалась на основе действительных (а затем и комплексных) чисел. Эта математическая модель физического мира сохранилась даже в процессе перехода от классической к квантовой физике, где комплексные числа стали играть даже несколько большую роль, чем вещественные числа. Ранее комплексные числа начали использоваться в Фурье анализе, который применялся в классической электродинамике и акустике. Однако последние 20 лет поле р-адических чисел Qp (как и его алгебраические расширения, включая поле так называемых комплексных р-адических чисел <СР) интенсивно использовалось в теоретической и математической физике (см. [9]- [12], [21], [26], [28], 133), [34), |41], [63]—[65], (76), [81], |103)— [110), [112], [113], [50], [51], [1]-[3], [116], |140|, [141], [145], [159], [183], [227]- [232] и другие ссылки в этих работах). Таким образом, несмотря на то, что р-адические числа были открыты К. Гензелем в 1899 году, теория р-адических чисел уже успела найти применение в нескольких областях математики и прикладных исследованиях.
Говоря о р-адическом анализе и его приложениях, всегда следует уточнять, какой именно тип р-адической модели мы рассматриваем. Есть два основных типа таких моделей: один связан с отображениями из Qp в С, где С - поле комплексных чисел, другой - с отображениями из Qp в QP. Первый этап развития р-адической физики для моделей с С-значными отображениями, а также соответствующий анализ представлен в книге B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Е.И. Зеленова (227j, которая интенсивно использовалась физиками, работающих с р-адичсскими моделями, а также математиками, ищущими новые задачи. Также можно упомянуть книгу А.Н. Кочубея (140], которая в своей основе связана с приложениями, в частности, с стохастическими задачами. Физические, когнитивные и психологические модели, связанные с Qp-значными отображениями, и соответствующий им анализ (которого эти модели требуют) были описаны в ряде монографий Л. Ю. Хренникова [ЮЗ]- [105]. Последние модели описаны гораздо лучше на уровне монографий, чем модели, основанные на отображениях из Qp в С.
В настоящее время различные разделы р-адической математической физики интенсивно развиваются и находят новые приложения. Однако, в силу того, что р-аднческий анализ - молодая наука, в нем имеется много неразработанных областей.
4
1.2. Содержание диссертации и ее основные результаты
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке новых разделов математической физики, связанных с теорией р-адических распределений (обобщенных функций) (как линейной так и нелинейной), разработке теории р-адических псевдо-дифференциальных операторов и уравнений, развитию теории кратно-масштабных р-адических всплесков и асимптотическим методам р-адического анализа. Мы рассматриваем модели, связанные с отображениями из Qp в С. Также исследованы и решены некоторые важные задачи математической физики, связанные с вещественной теорией обобщенных функций. Диссертация состоит из 10 глав, библиографии и двух приложений.
Глава 1 является введением. В главе 2 “Вспомогательные факты из р-одического анализа” приводятся необходимые определения и обозначения и вспомогательные факты р-адического анализа, используемые на протяжении всей работы. Здесь и далее мы систематически используем обозначения и результаты книги B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Е.И. Зеленова [227]. Следующие 8 глав содержат оригинальные результаты автора.
В главе 3 “Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений (вещественный и р-адический случаи)” мы развиваем теорию присоединенных однородных распределений (ПОР) и квази-присоединенных однородных распределений (КПОР) в вещественном и р-адическом случаях. Наши результаты дают решение важной нерешенной до сих пор задачи описания всех ПОР и КПОР. Эти результаты расширяют результаты, полученные И. М. Гельфандом, Г. Е. Шиловым [82, Гл.1,§4.1.], Эстрадой и Канвалом [73], [74, (2.110)], И. М. Гельфандом, М. И. Граевым, И. И. Пятецким-Шапиро [83, Гл.Н,§2], В. С. Владимировым, И. В. Воловичем, Е. И. Зеленовым [227, VIII]. Результаты этой главы были получены в статьях [210], [13], [14]. Далее р-адическом КПОР существенно используются в главах б: 7, 10.
Понятие ПОР было впервые введено и исследовано в книге (82, Гл.1,§4.1.], а также в книгах [73], [74, (2.110)] (см. определения 3.2, 3.3 по аналогии с понятием присоединенных собственных векторов. В нашей статье [210], обобщая естественным образом понятие ПОР, введено
Определение 3.7 ( [210]). Будем называть распределение Д € квази-
присоединенным однородным. (КПОР) степени А и порядка к, к = 0,1,2,3,..., если для любого а > 0 и € V(R)
(fk(xU(-)) = aA+1 (/*(*), ¥>(*)) +1>Ма)<Л-г(*Ы*)>,
® Г=.1
то есть,
к
fk(ax) = аАД(») + ^Лг(а)Д-г(®),
г= 1
5
где /*_г(х) - КПОР степени Л и порядка к - г, /^(а) - дифференцируемая функция, г = 1,2,...,к. При этом будем предполагать, что для к = 0 суммы в правых частях последних соотношений являются пустыми. Множество {/к : к € %+} назовем цепочкой КПОР.
Согласно основной теореме 3.4.3 этой главы, с точностью до постоянного множителя Лг(а) = аАк^г а, т = 1,2,..., к. Поэтому определение 3.7 эквивалентно следующему определению:
Определение 3.8 ( [210]). Распределение /к € £>'(К) назовем КПОР степени Л и порядка к, к = 0,1,2,..., если для любого а > 0 и <р 6 Т>(&)
(ЛМ»<р(^)) = аХ+'(/к(х),<р(х)) + ^2ах+1{оёг а(/к_г(х),ч>(х)),
г=I
т.е.
*
/*(ах) - ах/к(х) + ^ аЛ к^г а/к-г{х),
Г=1
где Л-г(^) - ПОР степени Л и порядка к — г, г = 1,2,... ,к. Если к = 0, считаем суммы в правых частях соотношений пустыми.
Согласно [210], сзтцествуют ПОР только порядка к = 0, т.е. однородные распределения (ОР) (заданные определением 3.8 при к = 0) и порядка к = 1 (заданные определением 3.8 при к = 1). Следующая теорема дает описание всех КПОР одномерных распределений.
Теоремы 3.4.2, 3.4.3 ( [210]) Каждое КПОР / € степени А и порядка
к € N ( с точностью до КПОР порядка < к — 1) может быть представлено в виде линейной комбинации линейно независимых распределений
(a) Л £ -Н;
(b) Р(х^п1о$к~1 х±), \е-18,где
То есть класс КПОР совпадает с классом распределений Гмъфапда - Шилова, описаннъш в [82, Гл.1,§4.].
Для многомерного случая доказан аналог классической теоремы Эйлера:
Теорема 3.5.3 ( [210]) /*(х) - КПОР степени А и порядка к, к > 1 тогда и только тогда, когда
/ 71 г) \
(Х>^-А) Л(*)-°-
В отличие от вещественного случая, р-адические ПОР не исследовались. Это было впервые сделано в наших работах [13], (14]. Используя приведенные выше результаты мы развили в [13], [14] теорию р-адических присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений. Определение р-адического КПОР вводится по аналогии с определением 3.8:
б
Определение 3.12 ( [13], [14)) Распределение /т е V(0>р) будем называть квази-присоединенным однородным степени тгй и порядка тпу тп € 2+, если
= Яа(^)|^1р(/т> V) + ^ ,, "а[1)\1'\р \Ау(}т-], Ф)
3~ 1
для всех 1р е и £ € О*, где /т_^- £ Х^фр) - квази - присоединенное однородное
распределение степени тг0 и порядка тп- э, у — 1,2,..., т. Если т = 0, считаем последнюю сумму пустой.
Доказывается теорема, дающие описание всех р-адических КПОР:
Теорема 3.9.3 ( [13], [14)) Каждое КПОР / С степени тга(х) =
и порядка т € N (с точностью до К110Р порядка < т — 1) п.иееш вид
(a) СтГа{х)\о&р |д|р, если х0(х) тг0(х) = \х\~1;
(b) СР{\х\~1 \х\р), если 7га(х) = тг0(х) = 1т!“1, где распределение
Р(|х|р11оё™~1 |х|р) - главное значение функции |х|“1 \Qg™~l |х|р, С - константа.
Мы также вводим Г-функции нового типа, порожденные КПОР для вещественного (см. |210|) и р-адического случаев. В простейшем случае приводятся явные формулы, задающие эти Г-функции и описываются их свойства.
В главе 4 “р-Адические пространства Лизоркина основных функций и распределений” введены р-адичсскис пространства Лизоркина основных функций и распределений и исследованы их свойства.
Как известно, операторы дробного дифференцирования и интегрирования (в дальнейшем будем называть эти операторы дробными операторами) играют особую роль в приложениях р-адического анализа, однако пространство распределений Р'(Ор) не инвариантно относительно действия этих операторов. Подобная проблема возникает и для “вещественных” дробных операторов [191), [196]. [197): в общем случае, пространство основных функций Шварца £(й£п) не инвариантно относительно действия дробных операторов. Решение этой проблемы в вещественном случае было предложено П. И. Лизоркиным в [166]- [168), где были введены новые типы пространств, инвариантные под действием дробных операторов.
Следуя идеям работ 11. И. Лизоркина мы ввели в [18], [19] р-адичсскис пространства Лизоркина. Эти пространства инвариантны относительно действия псев-додифференциальных операторов (в частности, дробных операторов) и тем самым представляют собой “естественную” область их определения. В силу сказанного, эти пространства далее интенсивно используются в главах 5, 6, 7, 8, 10.
Выло введено пространство основных функций Лизоркина первого типа ( |18)):
Фх(ог) = {^=т^бФ*(<!2;)}
где Р - преобразование Фурье и ФхОД) = {Ф(0 € Т>(0$) :
ф{Ь, ■ ■ ■ ,£,-1,0,6+!, ...,€„)= 0, ^ = 1,2,... ,п}. Пространство Фх - замкнутое под-пространство в Х>(0£). Ясно, что ф € Фх(0£) тогда и только тогда, когда ф € Р(Ф£) и ф(^1,..., х^-1,X], ..., Хп) дху = 0, где {х\у...,х^+\у...,хп) £ ,
3 = 1,2,...,п. Было также введено пространства основных функций Лизоркина второго типа ( [18], [19]):
Ф(0£) = {Ф ■■ Ф = ПЯ Ф € Ф(0£)} с оед),
где Ф(0£) = {0(0 € Х>(Ор) : 0(0) = 0}. (Фактически, для п = 1 пространство Ф(ФР) было введено в |227, IX.2.].) Пространство Ф(0>") - замкнутое подпространство в 2>(0£). Ясно, что ф € Ф(0£) тогда и только тогда, когда ф е '0^1) и /дп ф{х) сР'х = 0.
В [18] доказано, что пространства Ф(0£) и Фх(0£) плотны в £р(0£), 1 < р < оо.
Назовем пространства Фх(0£) и Ф'(<$£) пространствами распределений Лизоркина первого и второго типа, соответственно.
Потребность в введении пространств Лизоркина проглядывается уже в книге
В. С. Владимирова, И. В. Воловича, Е. И. Зеленова |227] (см. гл. IX.2), где для определения одномерного оператора (дробного) интегрирования В~1Х пришлось рассматривать основные функции из нулевой момент которых равен нулю.
В главе 5 “Теория р-адических всплесков” построена кратно-масштабная теория р-адических всплесков (шаьеШя) и р-адический кратгишасштабиый анализ {КМА). Результаты этой главы базируются на статьях |18|, [123], [125], [126), [128], [129], [130], [215|.
В отличие от вещественного случая, теория р-аднчсских всплесков только недавно начала развиваться. Первый р-адический базис всплесков хааровского типа в £2(фр) был построен в 2002 году С. В. Козыревым [146]. В этой статье использовалось “естественное” множество сдвигов
(Г,.2.1) /,, = {:г€{2„: {х}р = х} ,
где {я}р - дробная часть числа х € <Ц>р. Базис Козырева имеет вид
(5.1.3) вкца(х) = р~*,2Хр{р~1к{р>х - а))Г2(|р7х - а]р), х е QPi
к = 1,2,...,р — I, ^ 6 2, а € 1Р. Далее Дж. Дж. Бенедетто и Р. Л. Бенедетто |37|, Р. Л. Бенедетто [39] предложили метод построения базисов всплесков на локально-компактных абелевых группах с компактными открытыми подгруппами, основанный на “теории множеств всплесков” (/Лбоп; о/ итур1еЛ де/д). Однако в вещественном случае Однако в вещественном случае существует классическая теория, называемая кратномасшптбпым анализом (КМА), в рамках которой разработана техника построения базисов всплесков. В р-адпческом случае этот метод не был разработан. Более того, Дж. Дж. Бенедетто и Р. Л. Бенедетто |37|, Р. Л. Бенедетто [39] высказали предположение, что р-адический КМА невозможен. Тем не менее, в нашей статье [215] р-адический КМА был построен.
Чтобы построить р-адический аналог классического КМА, нужно иметь соответствующее р-адическое масштабирующее уравнение. В нашем препринте |124] было
8
предложено рассматривать соотношение
(5.1.5) xǮP'
и качестве р-адического масштабирующего уравнения. Его решение ф(х) = ft(|x]p) (масштабирующая функция) является характеристической функцией единичного шара. Уравнение (5.1.5) - аналог масштабирующего уравнения, порождающего КМ А Хаара в вещественном анализе. Уравнение (5.1.5) отражает самоподобпостъ структуры Qp: имеем Z?o(0) = . то есть единичный шар В0 представляется
как сумма р непсреоекающихся ша]юв В..\(г), г — 0,1,... ,р — 1.
Далее, в нашей статье [215] было введено определение 5.1 КМА в £2(QP). И этой же статье (для р = 2), пользуясь масштабирующим уравнением (5.1.5), мы строим хааровский КМА в £2(Q2). В [215] было показано, что в отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных 2-адичсских ортонормальных базисов всплесков в £2(Q2), порожденных тем же самым хааровским КМА. В этой статье была доказана теорема, которая дает явные формулы для всплсск-функций, порождающих эти базисы:
Теорема 5.4.1 ( [215]) Пусть ф^(х) = Х2(2~1*)£1(|®|2)» х € Ог, - всплсск-функция, порождающая в £2(Q2) базис Козырева при р — 2, ii(t) - характеристи-неская функция отрезка [0,1]. Для каяедого s = 0,1,2,... функция
(5.4.4) ÿ>(s)(x) = од£>(0) (х - ,
А-О
является всплеск-функцией для хааровского КМА в том и только в том случае, если
2е—I
(5.4.5) at = 2-(-l)t53>e-“,S*1* к = 0.... ,2* - 1,
г=0
гдегуг Є С - произвольные постоянные, такие, что |7Г| = 1. г = 0,... ,2* — 1. Согласно теореме 5.4.1, вес 2-адические хааровскне базисы задаются как
$а\2іх — a), j Ç Z, a Є /;>,
где І2 - “естественное” множество сдвигов (5.2.1).
В нашей статье [129] мы обобщили теорему теорему 5.4.1 на случай произвольного
Р-
Теорема 5.5.1 ( [129]) Все множество всплеск-функций с компактным носителем даются следующей формулой
(5.5.2) ф„(х) = X S (г ~ |г). =
t/îsl fc« 0
9
где 4Ü) = ХрО»”1*/®)^(|®|р)» и ~ 1, - всплеск-функции Козырева, s =
(5.5.3)
если ß = //,
если /I -ф и,
aftm\ = 1, 2Д|/ - элементы произвольной унитарной (р — 1) х (;> — 1) матрицы Z. Согласно теореме 5.5.1, все р-адичеекие хааровские базисы задаются как
1,2,... ,р- 1, j € Z, а € 1Р, совпадает с базисом Козырева (5.1.3).
В нашей статье |130] были изучены р-адические масштабирующие уравнения
и их решения - масштабирующие функции. Одно из этих уравнений совпадает с "естественным” масштабирующим уравнением (5.1.5). Был описан широкий класс р-адических масхитабирующих функций, порождающих КМ А. Вес эти масштабирующие функции являются 1-периодическим и и такими, что их сдвиги попарно ортогональны (ортогональные масштабирующие функции).
Как было недавно доказано в работах С. Альбеверио, С.А. Евдокимова, М.А. Скопиной (4|-|6|, не существует ортогональных масштабирующих функций (из класса основных функций) отличных от описанных в нашей статье (130|. Болес того, согласно |4|-[6|, все эти масштабирующие функции порождают один и тот же р-адмчеекий хааровский КМА. Таким образом, в теоремах 5.4.1, 5.5.1 описаны все р-адические хааровские базисы всплесков с компактным носителем.
В [215], пользуясь стандартным подходом Мейера и Мал.ча. мы также построили многомерные базисы всплесков Хаара посредством тензорного произведения одномерных КМА. Один из этих многомерных базисов порожден одномерным базисом всплесков Козырева (5.1.3):
где k = [ki}..., кп) € JpQ, j £Z, а € /£. Здесь /J* - прямое произведение п множеств
В статьях [125], [126], [128| были построены нехааровские р-адические базисы всплесков с компактным носителем. Эти базисы невозможно построить с но-
ф = 2а6/г <*аф(р~1 ■ -а), ав € С. Доказана теорема, дающая явные формулы для
ф^х-а), р= 1,2,...,р-1, jeZ, а Є 1р, где У,, - множество сдвигов (5.2.1). Один из наших базисов ф^(р*х - а), р =
(5.8.8) Qkja{x) = Р nj/2Xv(p lh ■ (jjx - а))П(\р>х - о|р), х Є
(5.2.1) и = {(ku.. .ykn) : kr - 0,1,2,... ,p - 1; г - 1,2,... ,n; + • • • + kn ф 0}.
мощью классической техники КМА и масштабирующего уравнения вида (5.2.5):
ю
всплеск-функций, порождающих бесконечное семейство новых различных пехааров-ских базисов всплесков.
Теорема 5.10.1 ( (125|, |128|) Для каждого i/»0,1,2,... функции
^~1 I
(5.10.2) =
А:-О ”
являются всплеск-функциями тогда и только тогда, когда
(5.10.3) а,;* = р- £
ГШ О
зА? 7s:fc 6 С - произвольная, константа, такая, что |7„;fc[ = 1, к — 0,1,... ,pv — 1,
m- 1
(5.9.1) Jp,m = {s = p~m ^ : SJ = °> 1) ■ • • »P - 1;J = 0,1,..., m - 1; s0 ^ 0},
j=o
m > 1 - фиксированное натуральное число. Здесь
(5.9.2) 0<m)(:r) = Х'р(*с)П(|ж|р), 5 6 Jp\mj # € Qp,
множество из (р — l);/'1“1 всплеск-функций, которые порождают нехааровский базис в £2(Qp)
(5.9.3) 0^(3) = Р~>/2Хр - а))0(|р*:г - а|р), х е Qp,
где j € Z, а € /р, 5 € Jp;m, который был построен в наших работах |125|. [126|.
Мы показали, что упомянутые нехааровские базисы (5.9.3 ) и (5.10.2) могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА (этот КМЛ порожден рт~} масштабирующими функциями).
В [125), [12б| мы строим многомерные нехааровские базисы всплесков посредством тепзорпого произведения одномерных базисов. Например, мы получаем неха-аровский базис в £2(Q£)
(5.11.1) = р ш/2Хр(з • {р>х - «))S!(ipa; - а|р), х € QJ),
хч.
как тензорные произведения одномерных базисов (5.9.3), где мульти-растяжение pi определено как
(5.11.2) р>х d= (р*1Хи...,р?яхп), х = (жь...,х„) G О”, j = (ji,...,in) € £n.
Отметим, что согласно замечаниям 5.2, 5.3 и 5.5, среди базисов, построенных в теоремах 5.5.1, 5.4.1 и 5.10.1, имеются бесконечные семейства базисов, которые не могут быть получены методом работ [37], [39|. Таким образом, мы построили бесконечные семейства новых базисов всплесков.
В этой же главе доказана многомерная р-адическая версия теоремы Шеннона-Котельникова 5.12.2, обобщающая одномерный случай теоремы, доказанный нами
il
в (123). В отличие от вещественного аналога, в р-адическом случае ряд, восстанавливающий сигнал в каждой точке, состоит из одного члена. Показано, что в противоположность вещественному случаю, для р-адичсского случая КМА Шеннона-Котельникова совпадает с хааровским КМА.
И этой же главе в разделе 5.13 доказываются леммы 5.13.1, 5.13.3 и предложения 5.13.2, 5.13.4, которые дают характеризацию р-адических пространств Лизорки-на (первого и второго типов) основных и обобщенных функций в терминах всплесков (которые сами принадлежат пространству Лизоркина основных функций). Согласно лемме 5.13.3, каждая основная функция из пространства Лизоркина второго типа Ф(ф£) может быть представлена как конечная линейная комбинация всплесков
(5.8.8), а согласно предложению 5.1.3.4, каждое распределение из пространства Лизоркина второго типа Ф'(\$р) может быть представлено как бесконечная линейная комбинация (5.13.3) всплесков (5.8.8) 1.
Теория всплесков играет ключевую роль в приложениях р-адического анализа и дает новую мощную технику для решения />-адических задач (см. главы б, 7).
В главе б “р-Адические псевдодифференциал ьные операторы на пространствах Лизоркина” (результаты которой базируются на статьях [18|, |19), |125], (126), |215|) на пространствах Лизоркина рассматриваются многомерные дробные операторы Владимирова ос € С”, Тайблесона Vа а Є С, а также один класс многомерных неевдолифференциальных операторов вида
(6.3.1) (Лф)(х) = Г-1 [Л(?) Р[Ф№] (х), ф є Ф«£),
где символ оператора Л(£) € ^(Ор \ {0})- Оператор (6.3.1) определяется на пространстве распределений как
АГ = Р-'[ЛГ\/}], /ЄФ'(«2").
В частности, этот класс включает в себя дробный оператор Тайблесона
(1>“Л(*) = с-‘[кі“НАШ*), / Є
оператор Кочубея с символом вида Л(£) = |/(£і,• • • )£п)|£» ос > 0, где /(&,...»£,») - квадратичная форма, для которой /(& ф 0, когда |^|р -г * * • |^г»|р Ф 0
(см. [140], [141]); оператор Зуниги-Галиндо с символом вида Л(£) = |/(£ь... ,£«))£, о; > 0, где /(4і,-••»&») - отличный от константы полином (см. (237), |238|).
Лемма 6.3.1 ( |18|, |19|) Просіщхіис.тва Лиооркина второго типа Ф(0£) и Ф'(фр) инвариантны относитыъпо действия осщхітороб (6.3.1).
’Такого типа утверждения были впервые арормулированы для случая ультраметрическнх пространств Лизоркина в работе С. А;и»беверио и С.В. Козырева \22\
12
Построена спектральная теория операторов вида (6.3.1). Получены необходимые и достаточные условия того, что введенные нами в главе 5 р-адические всплески являются собственными функциями нсевдодифференциальных операторов (6.3.1). Такого рода теоремы были доказаны и |18|, [125|, |126|, |215|. Приведем две типичных теоремы, касающиеся базисов всплесков (5.8.8) и (5.11.1).
Теорема 6.4.5 ((20|) Пусть А - псевдодиффсрепциалъный оператор (6.3.1) с символом Л (О € £(0£ \ {()}); и пусть к Е .1£0, j € Ъ, а Е /£. Тогда п-мерная хааровская всплеск-функция (5.8.8) является собственной функцией А в то.и и только о том случае, если
(6.4.4) А(рЧ-р~'к + г1))=А(-р‘-Чс), Чп &К-Соответствующее собственное значение X = А( — р*~гк), то есть
АЭк^а{х) = А( - р*~1к)ек^а(х).
Теорема 6.4.2 ( [125], [126)) Пусть А - пс.евдодифферепциалъный оператор (6.3.1) с символом Д(£) € £(0" \ {()}); з = 0и---,3п) в Ъп; а Е з Е «/£т; т = (т,\,..., тп), пусть пц > 1 - фиксированное натуральное число, I = 1,2,..., п. Тогда п-мерная нехаароеская всплеск-(функция (5.11.1) является собственным вектором опещпюра А в том и только в том случае, когда
(6.4.1) Аф(-з + Г))) = А(-Ц3з)у V/, Е Тр.
Этому вектору соответствует собственное значение X = А( — р>з), гп.е.
Л&:£(х) = Л(-?а)в^:(х).
Здесь мульти-растяжение р7 задается формулой (5.11.2), а I* и У”,,, - п-прямые произведения множеств (5.2.1) и (5.9.1), соответственно.
Доказано, что все построенные нами в главе 5 р-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора. Последние результаты играют фундаментальную роль в р-аднческом анализе и его приложениях, в особенности, для решения нсевдодифференциальных уравнений.
В главе 7 “р-Лдичеекие псевдодиффереициальные уравнения” (результаты которой базируются па статьях [18), [20], [125|) исследуются линейные и нелинейные р-адические эволюционные псевдодиффереициальные уравнения. Во всех уравнениях Ь Е К, х Е 0". В разделе 7.3 (теоремы 7.3.2, 7.3.6) решаются задачи Коши для линейных уравнений первого порядка по I:
(7.3.1) ^Л + АхфЗ) = Дх,1),
И
(7.3.16) £^Л-Ахи(х,1) = }(х,1).
13
Теорема 7.3.4 дает для решения уравнения (7.3.1) условие стабилизации решения когда і —> оо. В разделе 7.4 (теорема 7.4.1) решается задача Коши доя линейного уравнения второго порядка но і.
02 О
(?'41> ~д& + Аіх~Ш + ^ + и^х' ^ = 1)•
В этом же разделе (тео]>ема 7.4.3) решается задача Коши доя псендодифференци-альных уравнения Аг-го порядков но Ь:
(7.4.10) Е А~—ЯІГ + “(*■ 0 = Л*' 0-
г=0 Ш
В разделе 7.5 (теоремы 7.5.1, 7.5.1,) решаются задачи Коши для полулинейных уравнений
(7.5.1) ^іИ+Лхи{,х,1) + и(х,1) М*,«)!2“ = 0.
И
(7.5.11) _ Лж?х(.г,0 + м(х, 0ИМ))2”1 = 0,
то € N. В (7.3.1), (7.3.16), (7.4.1), (7.4.10), (7.5.1), (7.5.11) Аг, Л1х, Л2х и ЛГ1, г = 0,1,... ,7д, - псеидодифференциальные опе|>аторы (6.3.1) (относительно х).
В этой же главе решены задачи Коши для случая, когда в соответствующих уравнениях вместо нсевдодифференциальных операторов (6.3.1) используются дробные операторы. Так как построенные всплески являются собственными функциями дробного оператора, в этом случае мы получаем решение соответствующих задач Коши без дополнительных предположений типа (6.4.1). Уравнение (7.3.1) - аналог классического параболического уравнения; уравнения (7.3.16) и (7.5.1) - аналоги линейного и нелинейного уравнений Шредингсра, соответственно.
В нашей статье |125) было предложено искать решения задач Коши для упомянутых р-адических эволюционных нсевдодифференциальных уравнений в специальном "естественном” классе распределений. В этом классе применим “метод разделения перпменных” (аналог классического метода Фурье), который базируется на следующих фактах: (1) хааровские всплески, построенные в главе 5, при соответствующих условиях типа (6.4.4) являются собственными функциями нсевдодифференциальных операторов (6.3.1), построенных в главе 6; (2) согласно лемме 6.3.1 пространства Лизоркина Ф(0£) и Ф'(<2£) инвариантны относительно действия операторов (6.3.1); (3) согласно лемме 5.13.3, каждая основная функция из пространства Лизоркина Ф№£) может быть представлена как конечная линейная комбинация (5.13.6) всплесков (5.8.8), а согласно предложению 5.13.4, каждое распределение из щюстранотва Лизоркина Ф'№5) может быть представлено как бесконечная линейная комбинация
(5.13.8) всплесков (5.8.8).
Учитывая сказанное, для решения задач Коши для эволюционных иссвдодиф-ференциальных у]>авнеиий будем использовать пространство Ф(т)(Ф£ * таких распределений /(х,£), что (а) /(*,£) Є Ф'(Ф£) для каждого £ > 0; и доя каждого
и
I > 0 существуют непрерывные слабые производные (Ь) сели т = 0, {/(*, О» •£(')) -непрерывная функция для каждой основной функции ф е Ф(0£); если т~ 1,2,..., для каждой основной функции ф € Ф(<0>") существуют производные 5*7(/(’>0><?(•))> 7 г= 1,..., т. Согласно лемме 5.13.1, предложению 5.13.2 и формуле (5.13.5), каждое распределение / € Ф{т)(0£ х ®+) представляется в виде формального ряда (7.1.1).
Поэтому естественно искать решение задачи Коши и(х,1) в пространстве (т)(^р * ^г)- Подставляя и{х,1) в уравнение в виде формального ряда (7.1.1) и разделяя переменные, мы в конечном счете сводим решение задачи Коши для р-адического эволюционного псевдодифференциалыюго уравнения к решению вещественного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэ<ффии,и-ентами по временной переменной
Приведем формулировку одной из упомянутых теорем.
Теорема 7.3.2 (см. |125|) Пусть сшивол пссодоииффюрспциального оператора Ах в (7.3.1) удовлетворяет условию (6.4.4), т.е.
А(р>(-р-Чс + г,)) = А(- р^-'к), Ут, 6 г;,
для всех j € Ъп, к € ./"о и пусть / € хК+). Тогда задача Коши (7.3.1) имеет
в х ®+) единственное решение
и(хЛ)= 51
А€^0^ег",а€/~
(7.3.5) + у'1е--4(^"'')(‘-г)(Л-,т),в*!,в(-))^ек^в(а:),
где Ок-,]а(х) ~ п-мерпые р-адические хаароаские всплески (5.8.8).
В главе 8 “Асимптотики распределений и />-адические тауберовы теоремы” (результаты которой базируются на статьях [122|, |123|, |18|) введены
определения 8.3, 8.4 квази-асимптотикр-адических распределений, исследованы их свойства и даны доказательства нескольких р-адических многомерных тауберовых теорем для распределений из пространства Лнзоркпиа Ф'(ф£). Введенные квази-асимнтотики - р-адичеекий аналог квази-асимптотик из книги В. С. Владимира
ФГ
ва, Ю. Н. Дрожжинова, Б. И. Завьялова [226|. В дальнейшем запись /(х) ~ д(х), |т|р —* оо (р(0) будет обозначать, тот факт, что распределение / е Ф;(^р) име-ет квази-асимптотику у степени яа на бесконечности относительно автомодельной функции р(1). Упомянутые тауберовы теоремы связаны с преобразованием Фурье, дробными операторами Владимирова 0%, а € С'1, Тайблесоиа Ос\ а £ С и псевдо-дифференциальным оператором (6.3.1). Приведем формулировки двух теорем.
в,,.)
15
Теорема 8.5.5 ( [122], [123]) Распределение / 6 Ф;(Ор) имеет квази-
асимптотику на бесконечности относительно автомодельной функции р(1) степени тга (см. определение 8.2) в том и только в том случае, если существует па-пщюльиое число N > —а 4-1 такое, что
Ию ° = С ф О,
1*11--«» M£V0*0
т.с. (дробная) первообразная D~Nf(x) порядка, N имеет асимптотику па бесконечности степени 7та+Лг (понимаемую в обычном смысле), еде С константа.
Теорема 8.5.6 ( (122), [123]) Пусть Л(£) 6 £(Qj, \ {0}) - символ однородного степени W0 пссвдодиффсрспциальпого оператора (6.3.1) и / € Ф;(Фр)- Тогда
f(x) * д(х), |ж|р -> оо (/>(*)) в том и только в том случае, если
(А/)(х) ~ (Ад)(х), |^|р -> ос (тTßx(t)p(t)).
В главе 9 “Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье” (результаты которой основаны па статье [127]) изучено асимптотическое поведение р-адических сингулярных интегралов Фурье:
Лв.т;*(0 = (1*а;т(х)Хр№)><Р&)), 1*1р “♦ ОО,
где /Та;т(а:) € - хвази-присоедипенное однородное распределение степени
7га(х) = |ж|р~17п(х) и порядка т, 7га(х), 7Г|(а;), а Хр(х) “ мультипликативный, нор* миропанный мультипликативный и аддитивный характеры ноли р-адических чисел, соответственно, ч>(х) е ^(^/О - основная функция, т*0Д,2...,абС.
Все построенные асимптотические соотношения для •/*„,»»!;<?(*) пРи Ир оо обладают необычным для вещественного случая свойством стабилизации. А именно, эти асимптотические соотношения становятся точными равенствами для достаточно больших Щр > з(<р), где б(<р) = р~1лко - параметр стабилизации, I - параметр постоянности основной функции <р, ко - ранг мультипликативного характера 7га. Теоремы, дающие описание» упомянутых асимптотических соотношений ДНЯ ЛЛ,т;у>(0 при \1\р —> оо являются теоремами ябеленого типа.
В главе 10 “Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и р-адический случаи)” развивается нелинейная теория распределений (обобщенных функций). Используя эти результаты можно решать как линейные, так и нелинейные сингулярные задачи вещественного и р-адического анализа, связанные с теорией распределений. Результаты этой главы базируются на статьях |15|, [16], [17], [206], [208], [209], [212], [213], [214]. Мы также используем некоторые конструкции из наших статей об алгебрах распределений [131], [132], [58, Зес. 1-2].
16
Для вещественного случая построены новые версии алгебр обобщенных функций Коломбо |206], [208|, [209|. В частности, построены алгебра Коломбо £лагш(&"), порожденная гармоническими (или иолнгармоничсскими) регуляризациями распределений и алгебра Коломбо £nWj1/t(iR,l)1 порожденная аналитическими регуляризациями распределений. Построение алгебры Коломбо G/шгтіКй) решает (в обобщенной постановке) одну задачу М. Обергуггенбергера, поставленной в его книге [177, Problem 27.11. Мы показали, что алгебра асимптотических распределений Е\ порожденная вещественными КҐІОР (введенными в главе 3), которая была введена ранее в нашей статье [56]), вкладывается в алгебру Коломбо £/Шгт(К) как подалгебра. Каждый элемент алгебры Е* (а значит и произведение КПОР) (называемый асимптоти'тек им распределение.и) представляет собой финитное слева аектор-распределенпс (10.2.2).
Рассмотрен алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (10.4.б), (10.4.7) и (10.4.13) (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности [212], [213), |214|. Это так называемые решения типа 6- и ^-ударных волн, которые не вписываются в классическую теорию Лакса и Глимма.
Для таких сингулярных решений систем (10.4.6), (10.4.7) и (10.4.13) были построены функции потоков Е(и, L»), G(u,v), Н(и, V), и f(u), f'(u)v, f"(u)v2+f'(u)wy которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскгши распре делениями из V'ÇR) (см. теоремы 10.5.1- 10.5.4). Их можно рассматривать как “правильные” сингулярные суперпозиции распределений, которые можно определить только в контексте решения задачи Коши. Функции потока могут быть сильно син-гуляр)тми и содержать как (5-функции, так и их производные, причем их структура определяется структурой линейных членов уравнений. Таким образом, сингулярное pcuioiue задачи Коши порождает алгебраические соотношения меэюду его компо-пентами (]хіспрсдслепиями).
В этой же главе построена ассоциативная и коммутативная алгебра р-адических обобщенных (функций Коломбо-Егоіюва (7P(QJ) [15], [16], [17]. В алгебре (7P(Q”)
можно определить произведение р-адических распределений из W(Qp), которое в общем случае будет обобщенной функцией из £P(Qp)- Эта алгебра также является ассоциативной сверточной алгеброй. Существует линейное инъективное вложение P'(Q”) С Ç/p(Qp, при этом пространство 'V{Q£) является подалгеброй в алгебре Ç7p(Q"). Отметим, что вложение пространства распределений алгебру Коломбо можно осущест вить различными способами - нет естественного канонического вложения. Этот дефект типичен для подхода Ж.Ф. Коломбо. В отличие от вещественного случаи алгебры Коломбо, в р-адической алгебре Коломбо-Егорова мы можем определить произвольную непрерывную функцию от обобщенных функций.
в Çp(Qр) вводятся операции дробного дифференцирования и дробного интегрирования с помощью дробных операторов Владимирова и Тайблесона (вместо операций дифференцирования и интегрирования). Доказаны следующие теоремы.
Теорема 10.8.1. Семейство операторов Владимирова {1д° : а € С'*} па пространстве обобщенных функций <ур(0£) образует п - пароме три ч е ску ю абелеву группу: если / € £р(0£), то
= о^/=оГ7, оажа1 = л *,0€С”.
Теорема 10.8.2. Семейство операторов Тайблесона {£>“ : а 6 С} па пространстве обобщенных функций (7р(0|р) образует однойарамстрическую абелеву группу: если / € </р(<Фр‘), то
В('1У*ф = = йа+(3/,
0«о-а/ = /, от, /? € С.
Чтобы определить операторы Владимирова и Тайблесона на (ур(<ф£), используются последовательности основных функций из пространств Лизоркииа.
Также построена ассоциативная алгебра А*, порожденная линейной оболочкой А множества квази-присоедииенных однородных р-одических распределений (КПОР), которые введены в главе 3) [15), [1б|, [17]. Каждый элемент алгебры /*(т) € Л* (называемый асимптотическим распределением) является произведением КПОР распределений и представляет собой вектор-распределение (финитное справа и слева):
(10.9.7) /*(х) = (/(Ат|п)(я)), Ат€К, 171,11 €Ж+| хе<$р,
А0 = 0, Ат € К - возрастающая последовательность; компоненты вектора /(л0,о)(-г) € Л 11 /(А„„«)(*) = Стп^(я); ш = 1,2,..., М, 71 = 0,1,..., Л^, Л/ е N. Л' е 2+; с™ и М, N - константы. Будем отождествлять распределение /(а;) из подпространства А с вектор-распределением /*(х) = (/(Ат,п)(я))> где /о,.\'(х) = /{х): а остальные компоненты равны нулю, то есть имеет место вложение А С А*. Алгебра асимптотических распределений А* вкладывается как подалгебра в алгебру Коломбо-Егорова 0Р(<О>Р).
Ирп построении алгебры асимптотических распределении, аппроксимация произведения распределений строилась в виде слабой асимптотики. Такой подход к определению произведения распределений оказался весьма продуктивным при решении задач, возникающих в теории разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений (в вещественном случае).
13 Приложении А приводятся два тождества, которые используются в главах 3, 9. В Приложении В доказывается теорема о слабых асимптотических разложениях, которая используется в главе 10.
Па защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:
• Исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР) в 'Р'(^)- Доказано, что существуют только ПОР порядков к = 0 и к = 1. Введено определение квазиприсоедипенного однородного распределения (КПОР), обобщающее
18
определение ПОР. Дано описание всех одномерных вещественных КПОР и их преобразований Фурье. Для многомерных вещественных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Дано описание классар-адических КПОР и их преобразовании Фурье.
• Построена кратно-масштабная теория р-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. Введено определение р-адического кратномасштабного анализа (КМЛ). Предложено масштабирующее уравнение, которое отражает самоподобие топологической структуры Qp. В отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных р-адических ортоиормальных базисов всплесков, порожденных тем же самым хааровским КМА. Приведены формулы, дающие описание всех этих базисов (один из этих одномерных базисов совпадает с базисом всплесков, построенным С.В. Козыревым). Описан широкий класс р-адпчсских масштабирующих функций, порождающих КМА. Построено бесконечное семейство р-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) иехааровского типа. Нехааровские базисы могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА. Доказан р-адический аналог теоремы Шеннона-Котельникова.
• Введены и изучены р-адические аналоги пространств Лизоркина основных (функций и распределений, ко торые являются естественной областью определения р-адических нсевдодифференииальных операторов. Па пространствах Лизоркина введены и исследованы дробные операторы Владимирова и Тайблесона. Также введен новый класс многомерных псевдодифференциальпых операторов, включающий в себя дробный оператор и неевдодифференциальные операторы, изученные в работах
А.Н. Кочубея и В. Зуниги-Галинды. Показано, что пространства Лизоркина инвариантны относительно действия упомянутых операторов.
Построена спектральная теория упомянутых выше нсевдодифференииальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что />адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальпых операторов. Доказано, что все построенные нами р-адичсские всплески являются собственными функциями дробного оператора. Последние результаты играют фундаментальную роль в р-адическом анализе и его приложениях, в особенности, для решения нсевдо-дифференциальиых уравнений.
• 13 явном виде найдены решения задач Коши ддя р-адических линейных (первого и второго порядка но L) и полулинейных исевдодифференциальных эволюционных уравнений (где t Є R, х € Q”). Для построения решений использован метод, который базируется на теории р-адичсских всплесков.
• Введено ощхеделение и исследованы свойства коп.чи-атмптптики р-адических распределений. Введенные квази-асимптотики - р-адический аналог вещественных квази-асимптотик из книги B.C. Владимирова, Ю.Н. Дрожжииова, Б.И. Завьялова |226]. Доказаны р-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений
10
Лнзоркина. Такой тип тауберовых теорем ранее не рассматривался не только в р-адическом, но и вещественном случае.
Изучено асимптотическое поведение р-адичсских сингулярных интегралов Фурье, связанных с КПОР. Теоремы, описывающие асимптотическое поведение интегралов Фурье, являются теоремами абелевого типа.
• Построен новый алгебраический аппарат, в рамках которого можно решать линейные и нелинейные сингулярные задачи вещественного и р-адического анализа, связанные с теорией распределений. Именно, построены новые версии вещественных ачгебр Коломбо. Также построены алгебра р-адических обобщенных функций Коломбо-Егоропа и ассоциативная ал 1-ебра р-адических асимптотических распределений, порожденная КПОР. Последняя алгебра является подалгеброй в алгебре Коломбо-Егорова. В отличие от стандартной схемы Ж.Ф. Коломбо, в рамках наших конструкции обобщенные (функции Коломбо можно представлять в виде слабых асимптотических разложений (по параметру аппроксимации) коэффициенты которых являются распределениями Шварца.
• Исследован алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. Для этих решений построены функции потока, которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными швярцеи-скими распределениями. Их можно рассматривать как “правильные” сингулярные суперпозиции распределений, которые можно определить только в контексте решения задачи Коши.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих 28 статьях:
[14| С. Альбеверио, А. Ю. Хренников. В. М. Шелковин, Присоединенные однородные р-адические обобщепуше функции, Доклады РАН, 393, но. 3, (2003), 300-303.
[16) С. Альбеверио. А. Ю. Хренников, В. М. Шелковин, Ассоциативные алгебры р-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стсклова, т. 245, 2001, Москва, 29 -41.
[17| С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные сингулярные проблемы р-адического анализа: ассоциативные алгебры р-адических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, по. 2, 2005, 3-44.
|20| С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, р - Лдичсские полулинейные эволюционные псевдодиффсрснциальпые уравнения а пространствах Лизоркипа, Доклады РАН, 415, по. 3, (2007), 295-299.
[131] О. Г. Смолииов, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Мультипликативные структуры в линейном пространстве вскторнозпачиых распределений, Доклады РАН, 383, по. I, (2002) 28-31.
[126) А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Иехааровские р- одические всплески и псевдодифкференциальпые операторы, Доклады РАН, 418, по. 2, (2008), 167-170.
20
(208] Б. М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использующая гармонические регуляризации, М&тем. заметки, 63, по. 2, 1998, 313-316.
[212) В. М. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения тина 6- и &-ударных воли и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73-146.
[13] S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, V. М. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl., 313, (2006), 64-83.
[15] S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, p-adic Сolombeau-Egorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichtcn, 278, no. 1-2, (2005), 3-16.
|18) S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov. V. M. Shelkovich, Harmonic analysis in the p-adic Lizorkin spaces: fractional operators, pseudo-differential equations, p-adic wavelets, Tauberian theorems, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 12, Issue 4, (2006), 393-425.
|19) S. Albeverio, A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Pseudo-differential operators in the p - adic Lizorkin space., in: p - Adic Mathematical Physics. 2-nd
International Conference, Belgrade, Serbia and Montenegro, 15 - 21 September 2005, Eds: Branko Dragovich, Zoran Rakic, Melville, New York, 2006, AIP Conference Proceedings - March 29, 2006, Vol. 826, Tssue 1, pp. 195-205.
|58| V. G. Danilov, G. A. Omel'vanov, V. M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), “Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems”, Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 208, 2003, 33-165.
|122] A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141-147.
[123| A. Yu. Khrennikov, and V. M. Shelkovich, Distributional asymptotics and p-adic Tauberian and Shannon-Коtelnikov theorems, Asymptotical Analysis. 46 (2), (2006), 163-187.
f 125] A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1-23.
[127) A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, Asymptotical behavior of one class of p-adic singular Fourier integrals, J. Math. An. Appl., 350, Issue 1, (2009), 170-183.
|128| A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, An infinite family of p-adic non-Haar wavelet bases and pseudo-differential operators, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 3, (2009), 204-216.
(130) A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, and M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, (2007), Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226-238.
|129| A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adie orthogonal wavelet (rases, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 2, (2009), 145-156.
|132| A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, ar.d O. G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite- Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1-20.
21
[133] A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, and O. G. Smolyanov, An associative algebra of vector-valued distributions and singular solutions of nonlinear equations, in: Mathematical modelling in physics, engineering and cognitive sciences, v. 7. Proceedings of the conference "Mathematical Modelling of Wave Phenomena”, November 2002. Edited by B. Nilsson and L. Fishman, Vaxjo University Press, 2004, 191-205.
(210] V. M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions {generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48-70.
|206] V. M. Shelkovich, The Colombeau algebra and an algebra of asymptotical distributions, Proceedings of the International Conference on Generalized Functions (ICGF 2000), eds. A. Delcroix, M. Ilasler, J.-A. Marti. V. Valmorin, University of French West Indies. Cambridge Scientific Publishers Ltd., 2001, 317-328.
[209) V. M. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11, 2005, 1-23.
(213) V. M. Shelkovich, Delta-shocks, the Rankinc-IIugoniot conditions, and singular supeiposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on Difraction’2004, June 29- July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175-196.
|214] V. M. Shelkovich, Singular solutions to systems of conservation laws and their algebraical aspect, in the Banach Center Publications, Vol. 88, “Linear and non-linear theory of geueralizeed functions and its applications” Warszawa, Poland, 2010, 251-266.
|215] V. M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366- 393.
На некоторые результаты диссертации ссылались другие аиторы: А. Н. Кочубей |142), [143]; С. Альбеверио, С. Кужель. С. Торба |25|; С. Кужель, С. Торба [152];
С. В. Козырев [145); С. Альбеверио, С. В. Козырев |22|, [23); Е. Майерхофер (169); М. Гроссер, М. Кунцигер, М. Обергуггенбергер, Р. Штейнбахер |84|; Д. Родригес-Вега, В. Зуиига-Галиндо (190), С. Альбеверио, В. Карвовский arXiv:0804.4241 (April 2008), С. Альбеверио. С.А. Евдокимов, М.А. Скопина (4|-|6), С.Ф. Лукомский (Известия Саратовского университета. 2009. Т.9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1), Эмили Кинг |134|.
Основные результаты диссертации докладывались автором на различных семинарах в России и за рубежом, а также па различных международных конференциях (около 15 конференций).
В диссертации развиты новые методы р- адического анализа, связанные с теорией всплесков, теорией исевдодифферспцнальных операторов. Развиты новые методы иосторосния решений р-адическнх неевдодифференциальных уравнений, новые методы построения р-ад и четких асимптотических разложений.
В совместных работах по теории р-адических квази-ирисоединеиных однородных распределений постановка задачи и основной вклад принадлежит автору. В совместных работах по кратно-масштабному анализу хааровских р-адичсских всплесков |130|, (129), (215) вклад соавторов одинаков, однако автору принадлежит идея
22
использовать для построения ЮЛА упоминавшееся выше функциональное уравнение (5.1.5), отражающее самоисдобность структуры 0>р, в качестве масштабирующего уравнения. В совместных работах но теории нехааровских р-адических всплесков автору принадлежит теорема, дающая описание одного счетного семейства нехааровских базисов всплесков. В совместных работах о р-адических псевдоднфференциаль-ных операторах, автору принадлежит идея введения р-адических пространств Ли-зоркина и использование этих пространств в качестве "естественной” области определения дробных и псевдодиффереициальных операторов. В этих же ])аботах автору принадлежат теоремы о необходимых и достаточных условиях того, что всплеск-функции является собственной функцией псевдодиффереицнального оператора (см., например, теорему 6.4.2). В совместных работах о р-адических псевдодифференци-альных уравнениях автору принадлежит идея метода разделения переменных, а также теоремы, дающие решения задач Коши для эволюционного псевдодифферепци-ального линейного уравнения второго порядка по I и для полулинейных эволюционных уравнений. В совместных рабспах о р-адическлх тауберовых теоремах автору принадлежит идея введения р-адических квазиасимптотик, теоремы о р-адических квази-асимптотиках, тауберооа теорема, дающая в одномерном случае характеризацию квази-асимптотики распределения на бесконечности через дробную первообразную, а также тауберова теорема, связанная с псевдодифференциальным оператором. В совместных работах об асимптотическом поведении р-адических сингулярных интегралах Фурье автору принадлежат теоремы для случая, когда а = 0 идля случая, когда мультипликативный нормированный характер не равен 1. В совместных работах об р-адической алгебре Коломбо-Егорова автору принадлежит общая конструкция алгебры и теоремы о том, что семейства дробных операторов Владимирова и Тайблесона образуют абелевы группы. В совместных работах об р-адической алгебре асимптотических распределений автору принадлежит теорема, которая дает слабые асимптотические разложения произведений регуляризаций квази-присоединенных одно]) од и ы х раси ределе! I и й.
Благодарности
Автор приносит свою благодарность за многочисленные обсуждения и плодотворные дискуссии В. С. Владимирову, И. В. Воловичу, К). Н. Дрожжинову, В. В. Жари-нову, Б. И. Завьялову, Е. И. Зеленову, С. В. Козыреву, А. В. Косьяку, В. И. Полищуку. Автор также благодарен участникам семинара академика В. С. Владимирова, на котором неоднократно делал доклады и чьи замечания внесли свой вклад в основные результаты работы.
Автор приносит благодарность своим соавторам С. Альбеверио, М. А. Скопиной, О. Г. Смолянову, А. Ю. Хренникову за плодотворную совместную научную работу.
23
1.3. Библиографический обзор
В настоящем разделе мы дадим краткий обзор литературы, связанной с основными результатами р-ади чес кого анализа, р-ади ческой математической физики и различными приложениями.
Невзирая на то, что р-адические числа были введены К. Гензелем только в конце 19 века, имеется множество работ, посвященных различным областям р-адического анализа. Эта облает», математики продолжает развиваться и находить новые приложения.
Применение р-адических чисел в тоорет»гческой физике началось с попытки решить одну из самых интересных проблем современной физики, а именно, соединить воедино квантовую механику и теорию гравитации, - так сказать, создать теорию квантовой гравитации. Дело в том, что несмотря на грандиозный успех некоторых моделей, удовлетворительной общей теории все еще не существует. В физической литературе можно даже найти мнения, что квантовая механика и теория гравитации вообще не верны и чтобы построить квантовую теорию гравитации требуются новые радикальные идеи. Физические модели, использующие р-адическое пространство, возникали как попытка дать менее радикальное решение некоторых кардинальных проблем теории квантовой гравитации (см. [29|, |30|, [31], (63), [65]). Основная идея применения р-адической теоретической физики (по крайней мере в начале ее развития) заключалась в том, что проблемы совместимости квантовой механики и теории гравитации возникают из-за использования бесконечно делимого вещественного континуума в качестве основной математической модели физического пространства. Нужно было искать новые математические модели. Поля р-адических чисел дают для этого прекрасную новую возможность. В литературе по приложениям можно найти множество аргументов в пользу использования р-адических чисел в физике. Например, в космологии и теории струн встречаются предположения, что структура пространства-времени и так называемом планковском масштабе (порядка 10-2'* см) будет нарушена и для измерений, производимых в таких масштабах, аксиома Архимеда может не выполняться (ем. [231], [232], [103], [104|). Отметим, что поля р-адических чисел так же неупорядочены, как и неархимедовы. Упомянем также следующий аргумент [227|, |104|. Если мы начинаем с поля рациональных чисел2 и хотим получить полное иоле с “абсолютной величиной”, то в силу теоремы Островского (см. теорему 2.2.1 в главе 2), у нас есть только две возможности: поле вещественных чисел или одно из нолей р-адических чисел Ор.
2Напомннм, что во всех физических экспериментах точность измерений может быть лишь конечной. То есть результат измерения всегда выражается рациональным числом см. |227|, [104].
24
р-Адические модели можно таким образом рассматривать как новый существенный вклад в теорию струн, теорию гравитации и космологию. В работах B.C. Владимирова, И.В. Воловича, Б.Г. Драговича, Е.И. Зслснова, 10. Меурисс, А.Ю. Хренникова были построены р-адичеокие и «щельные модели квантовой механики. В рабочих М.Д. Мисса1>ова н Е.Ю. Лернера изучалась теория перенормировок для иерархической фермнопной модели. р-Адические теории струи, гравитации и космологии стимулируют развитие и новые приложения р-адического Фурье-анализа, теории распределений, псевдодифференциальных уравнений, самосопряженных операторов в £2(Q;,), теории Фейнмановских интегралов, теории р-адически значных вероятностей и динамических систем (см., например, монографии (227|, (103|, |145|, [140|, |111], (27|). Эти математические теории, в свою очередь, дают новые возможности для физических приложений р-адической математики - например, в теории неупорядоченных систем (спиновых стекол) |145|, [147], [33], [34], [184]. Имеются приложения ультраметрического анализа для параметризации генетического (аминокислотного) кода (Б.Г. Драгович, А. Драгович, С.В. Кшырев, А.Ю. Хренников). Приложения не ограничивались только физикой. р-Адическис модели были предложены в психологии, когнитивных и социальных науках, анализе изображений, (см., например, |Ю4|, [105]). Эти новые приложения стимулировали развитие новых областей р-адического анализа, в частности, теорию р-адических всплесков |18|, [114], [115], |124|, [125], |12б], [128], [129], [130], |145|, |14б|,
|147|, |148|, [215]. Эта последняя теория открывает новые возможности для исследования р-адических псевдодифференциальных уравнений, не только линейных, но даже и нелинейных |20], [125], [145], |149). Теория всплесков дала адекватный формализм для построения решений р-адического уравнения Шредингера с дельта-потенциалами |25|, [152] (эти результаты продолжают исследование р-адичсского уравнения Шредингера, начатое в |140|). И опять же, возможность получать решения типа всплесков для уравнения Шредингера приводит к интересным физическим следствиям [116|.
Дальнейшие приложения показывают, что необходимо рассматривать более общие не«трхимедовские модели (например, для теории спиновых стекол, психологии, нейрофизиологии) и строить соответствующий анализ на общих ультраметрических пространствах |И4|, [115|, [118]—[121], [145].
Конечно, нельзя забывать, что математика имеет свои внутренние стимулы для развития новых формализмов. Относительно />-адического анализа, следует упомянуть развитие гармонического анализа на общих локально-компактных группах, а также его чисто математические приложения [188|, [89]. Однако многие проблемы являются по своей су ти р-адическими, так что их нельзя сформулировать, и во всяком случае, нельзя настолько детально исследовать вне рамок р-адического анализа. Заметим, что р-адичсский анализ интенсивно развивался даже безотносительно физики, см., например, Ф. Гоуве [85], С. Каток [100], Н. Коблнц |135], А. Робер |189|,
В. Шикхов |200], М. Тайблесон [219]. Тем не мснес, стимулом построения многих
25
фундаментальных р-адических формализмов (103)- |106), |140], [227] послужила именно физика и другие приложения.
Теперь остановимся на обзоре литературы, которая более тесно связана с тематикой диссертации.
Теория распределений на локально-компактной группе была построена Ф. Брюа [48], теория распределений на локально-компактном несвязном поле -И.М. Гельфандом, М.И. Граевым, И.И. Пятсцким-Шаниро в |83|. Систематическое изложение теории р-адических С-значиых 1>аспрсдслсний дано И.М. Гельфандом, М.И. Граевым, И И. Пятецким-Шаииро [83] и B.C. Владимировым [225]. В частности, в книге [83| были введены и изучены р-адическне однородные jxiопределения ( ОР), однако важный класс присоединенных однород)шх распределении (ПОР) не рассматривался. В вещественном случае понятие ПОР было введено И.М. Гельфандом, Г.Е. Шиловым в [82). В работе В.М. Шелковича [210| (для вещественного случая) и в работах С. Лльбсверио, А.Ю. Хренникова, В.М. Шелковича [13], [14] (для р-адичеекого случая) было введено понятие квази-присоеднне.тюго однородного jxic-пределенпя (КПОР), которое является обобщением ПОГ. В |210| (в вещественном случае), и в [13], [14] (в р-адическом случае) были исследованы ПОР и КПОР. Было доказано, что существуют только ПОР порядков к = 0 и к = 1. Было дано описание всех одномерных КПОР и их преобразований Фурье. В [210], доя многомерных вещественных КПОР был доказан аналог классической теоремы Эйлера. Теория значных распределений была построена А.Ю. Хренниковым в (103].
Нелинейная теория р-адических обобщенных функций Коломбо и алгебра асимптотических распределений, порожденная КПОР были построены С. Альбеверио, А.Ю. Хренниковым, В.М. Шелковичем в [15]- |17].
Пространства р-аднчсских основных функций и распределений Лизоркина были введены и исследованы С. Альбеверио, А.Ю. Хренниковым, В.М. Шелковичем в |18|, [19]. Позднее, в работе С. Альбеверио и С.В. Козырева |22|, пространства Лизоркина были введены для случая ультраметрнческого пространства. Эти пространства - естественная область определения для р-адичсских и ультраметриче-ских псевдодифференциаьных операторов. В работе A.II. Кочубея [1-42], пространство Лизоркина используется для решения задачи Коши р-адического для волнового уравнения. Напомним, что в вещественном случае этот тип пространств был введен в 1963 году П.И. Лизоркиным [166]- [168]. Эти пространства играют ключевую роль в некоторых задачах, связанных с дробными операторами, и используются в приложениях [196], |197), [191].
Первый р-адичеекпй базис всплесков хааровского типа был построен С.В. Козыревым |146| в 2002 году. С.В. Козыревым было показано, что построенные р-ядические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов.
С. Альбеверио и С.В. Козырева показали, что р-адическом случае непрерывный и дискретный анализ всплесков можно рассматривать в рамках теории представлений
26