Оглавление
Введение 4
Часть 1. Асимптотика спектра двумерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом и сильным однородным магнитным полем 20
Глава 1. Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле 21
1.1. Некоторые понятия классической механики 21
1.2. Методы осреднения 25
1.3. Инвариантные многообразия осредненного гамильтониана 31
1.4. Примеры 41
Глава 2. Сведения из теории канонического оператора 45
2.1. Принцип соответствия 45
2.2. Метод вещественного канонического оператора 47
2.3. Метод осцилляторного приближения 52
2.4. Квазимоды, соответствующие инвариантным замкнутым кривым 55
Глава 3. Квазиклассические спектральные серии для магнитного оператора
Шредингера 61
3.1. Спектральные серии, отвечающие точкам покоя 61
3.2. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Левая граница (нижние уровни) 65
3.3. Спектральные серии, отвечающие замкнутым кривым. Внешние границы 67
3.4. Спектральные серии, отвечающие инвариантным торам 69
3.5. Спектральные серии, отвечающие инвариантным цилиндрам 72
3.6. Спектральные серии, отвечающие незамкнутым кривым 76
3.7. Высшие приближения 77
3.8. Общая структура спектра 82
3.9. Уравнения типа Харпера 85
Глава 4. Асимптотика зонного спектра 88
4.1. Магнитно-блоховские условия 88
4.2. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах финитного движения 89
2
3
4.3. Магнитно-блоховские квазимоды в режимах инфинитного движения 91
4.4. Разделение зон 96
Часть 2. Локальные магнитные операторы Шредингера с периодическими точечными возмущениями 99
Глава 5. Локальность в смысле, квадратичных форм для периодических
точечных взаимодействий 100
5.1. Предварительные сведения 100
5.2. Построение квадратичной формы для точечного возмущения 103
5.3. Доказательство локальности квадратичной формы 106
5.4. Связь с граничными условиями 108
Слисок литературы 109
Введение
В настоящей работе исследуются некоторые свойства операторов Шредингера с периодическим магнитным и электрическим полем. Такие операторы имеют вид
Й=2Ї&-1ЛМ)2 + УМ' Ш)
где А — векторный потенциал магнитного поля, V — потенциал электрического поля, а Ь, ?п, е и с — известные физические константы. Периодичность магнитного и электрического поля означает, что форма В = <і{А\(Іх) и потенциал V периодичны относительно некоторой решетки Г. В двумерной ситуации форму В удобно отождествлять с функцией В(х) = д[ Д-2 “ ФИ-1» а 3 трехмерной — с вектор-функцией В(х) = V х А(х).
Интерес к операторам такого вида неуклонно растет в последние годы. Этот интерес связан прежде всего с тем, что операторы подобного вида являются квантовыми гамильтонианами зараженной частицы в различного рода периодических квантовых системах, например, в кристаллах, периодических массивах квантовых точек и антиточек [3], и исследование спектральных свойств таких операторов связано с теоретическим объяснением ряда важных эффектов, в частности, квантового эффект Холла, эффектов Шубникова~де Гааза, и де Гааза-ван Алфвена, осцилляций Ааронова-Бома. Структура спектра оператора Н достаточно сложна и до сих пор полностью не исследована. Известно, что спектральные свойства оператора II существенно зависят от чисел
*-Шв-
г„
где — двумерные грани элементарной ячейки решетки Г.
В случае, когда все числа Г7„ (имеющие смысл квантов потока магнитного поля через грани элементарной ячейки решетки периодов) равны нулю (это означает, что функцию А можно выбрать также периодичной относительно той же решетки Г), исследование спектра оператора Н может быть проведено с помощью стандартной блоховской теории, поскольку оператор Н коммутирует с операторами сдвигов вдоль векторов решетки. Как известно, при некоторых требованиях регулярности Л и V спектр в данном случае имеет зонную структуру и абсолютно непрерывен (14,85,86].
4
5
Если Tfu ф 0, то оператор уже не коммутирует с операторами сдвигов, но коммутирует с магнитными трансляциями вдоль векторов решетки (93,94]. Структура группы магнитных трансляций достаточно сложна и существенно зависит от арифметических свойств чисел г}и (12,81]. Если все числа целые, то группа магнитных трансляций коммутативна, и потому к исследованию оператора Я опять применима блоховская теория; спектр в таком случае также имеет зонную структуру, причем сингулярная составляющая спектра отсутствует, однако спектр может содержать собственные значения (46]. Если все числа рациональны, то укрупнением элементарной ячейки задача сводится к случаю целого потока. Если среди чисел есть иррациональные, то некоторую информацию о спектре можно получить с использованием некоммутативной блоховской теории, однако общая структура спектра для этого случая неясна. Теоретическое изучение спектра в зависимости от магнитного поля дает фрактальную картину [75]; такая картина используется для объяснения ряда эффектов в недавних физических работах [67,69,77,88,90]. Строгое обоснование наличия фрактальных участков в спектре получено б [1,72-74.'.
Поскольку получение явных формул для спектральных характеристик в сколько-нибудь общей ситуации представляется практически невозможной, особое значение получают асимптотические методы и методы теории возмущений, которые применимы, как правило, в ситуации сильных или слабых полей.
Рассмотрим двумерную ситуацию и однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости, т.е. А(Х) = (-ЛХ2,0). Удобно считать, что один из базисных векторов решетки направлен вдоль оси Xv. Обозначим его длину через L. Вводя безразмерные координаты х — 2ъХ/L и величины
А = (21г>г(т)2' c = hh =
где
W = maxV, (циклотронная частота), 1М = \ —— (магнитная длина),
cm V Trvjjç
(0.2)
запишем оператор Н в виде
4тг 2тс2 Нк*' Нк* 2
+ єі>(яі,аг2), (0.3)
так что функция и периодична относительно сдвигов на векторы а1 = (2л,0) и о2 = (021,022). При є — 0 спектр оператора ІІІІ<Є состоит из бесконечно вырожденных собственных чисел (уровней Ландау [35])
Ец(Н) = (/і 4- і)Л, /и є Ъ, у > 0.
6
Появление потенциала V приводит к «размыванию» этих чисел в некоторые множества, называемые зонами Ландау. В случае, когда параметр А фиксирован, а е достаточно мало, для исследования спектра применима теория возмущений первого порядка [37]. Возможна также ситуация, когда векторы базиса решетки периодов пропорциональны 1/Л, тогда в случае малого к можно применять так называемое приближение Бора-Оппенгеймера [48]. В настоящей работе мы будем изучать спектральную задачу в предположениях малости параметров кие. Малость к дает возможность применения к решению данной задачи методов квазиклассического приближения [38]. Согласно идеям квазиклассического приближения, асимптотические свойства оператора Нн$ могут описаны в терминах классического движения, описываемого соответствующим классическим гамильтонианом, который в данном случае имеет вид
Я(р, х,е) = ]-
+ еи(ХиХ‘2).
(Р\ + Яг)2 4- р\
Более точно, в рамках метода канонического оператора можно описать асимптотику спектра Н^е зная инвариантные многообразия II. Однако в применении данного метода к рассматриваемой задаче возникают трудности, связанные с неинтегрируе-мостью гамильтониана II. Эти трудности, однако, преодолеваются с использованием малости е, которая позволяет применить методы осреднения и приближенно свести задачу к задаче с интегрируемым гамильтонианом. Гамильтонова система для осред-неиного гамильтониана сводится к одномерной гамильтоновой системе на торе, и для классификации траекторий удобно использовать методы топологической классификации гамильтоновых систем [17]. Возвращаясь в исходные переменные, получаем «почти-инвариантные* многообразия для II, пригодные для построения квазиклас-сических спектральных серий. Строгому описанию данной процедуры посвящена первая часть диссертации.
Отдельный интерес представляют также операторы вида (0.1) в случае, когда возмущение V сосредоточено на некотором периодическом дискретном множестве. Операторы такого вида широко используются, в частности, для построения решаемых моделей наноструктур различного типа [2,28]. Корректное определение оператора Н в этом случае дается средствами теории самосопряженных расширений [2,25,50]. Однако в данной ситуации возникает ряд проблем. Дело в том, что возникающее при таком подходе семейство операторов достаточно обширно, и включает в себя операторы с рядом экзотических свойств. В частности, даже в случае, когда Я = -Л, существуют его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса, приводящие к фрактальной структуре спектра [58]. Поскольку точечные возмущения обычно используются для приближения операторов с регулярными потенциалами.
7
существенно сосредоточенными вблизи некоторого множества изолированных точек, а операторы с регулярными потенциалами в данной ситуации имеют зонный спектр, возникает задача о выделении из всего множества точечных возмущений тех, которые сохраняли бы желаемые свойства. В диссертации предлагается такая классификация на основе свойства локальности квадратичной формы. Одним из обычных условий, которому подчиняется оператор Шредингера, является условие локальности (напомним, что оператор В, действующий в пространстве L2(X,dp), называется локальным, если для любой функции / из его области определения выполнено включение supp Bf С supp/). Однако такое понятие оказывается малосодержательным по отношению к точечным возмущениям, поскольку все точечные возмущения локального оператора также локальны, даже тс из них, которые отвечают нелокальным граничным условиям. В связи с этим более полезным оказывается понятие локальности в смысле квадратичных форм. Более точно, квадратичная форма q в некотором пространстве L2(X, dp) называется локальной, если для любых функций / и д из ее области определения, таких что supp / О supp 9 = 0, выполнено равенство q(f,g) = О (это понятие впервые введено в (57)). Оператор называется локальным в смысле форм (или форм-локальным), если он имеет локальную квадратичную форму. В |68] было замечено, что упомянутой выше ситуации с наличием фрактального спектра в случае рационального потока можно избежать, ограничившись лишь рассмотрением форм-локалъных точечных возмущений. Заметим, что в некоторых ситуациях класс форм-локальных точечных ззаимодействий совпадает с классом точечных возмущений, представимым в виде предела операторов с регулярными потенциалами. Во второй части диссертации доказывается критерий локальности квадратичной формы для точечных возмущений.
Опишем кратко содержание и структуру работы. В первой части (главы 1-4) изучается асимптотическое поведение спектра оператора (0.1) в случае сильного магнитного поля. Исследование проводится методами классического осреднения и методами квазиклассического приближения. В главе 1 обсуждаются изучается классический аналог рассматриваемой задачи. В разделе 1.1 напоминаются используемые в диссертации понятия к факты классической механики. В разделе 1.2 проводится осреднение классического гамильтониана. В случае, когда е = 0, гамильтонова система для Н интегрируема, и ее траектории на плоскости (ггьж2) представляют собой циклотронные орбиты. Обозначим координаты их центров через {уиуг)* тогда положение точки удобно задавать радиусом орбиты л/Щ и углом <pi, либо отвечающим
8
Рис.
0.1. Циклотронные Рис 0 2. Бегущий центр
орбиты
им прямоугольным координатам (P,Q,) (рис. 0.1), т. е.
Pi — —2/2» Р2 = -Q, ^1 = Q + V\, Х2 = Р + Уъ
Р = у/2Ї[ cos tfii, Q = sin (pi,
при этом гамильтониан Н принимает вид
Н = /j + fv(-v/2^ sin ^ + уи V2h cos v?i + Уг)-
При малых (но ненулевых) є центры этих орбит начинают дрейфовать. Идея осреднения состоит в разделении «быстрого» циклотронного движения, описываемого переменными Р, Q и «медленного» движения центра, описываемого координатами у 1,3/2 (рис. 0.2).
Теорема 1.13. Пусть v аналитична. в некоторой комплексной 8-окрестности IR2 с С2. Для любого к. > 0 найдется со(к) > 0 такое что при 0 < є < с0 существует каноническое преобразование вида
I Р = У + еи} (У, Q, Уь е), <2 = 0 + еСЬСР, Q, їь е),
L 2/1 — № = ^2 + ffWi(a>,Q1 У ьЪ, е),
такое что
H(P,Q, уі,«>, е) = Уь Й2,е) + e-c/£S(a>, 2, їьЇ2,в).
Здесь
а, = 1(т* + Q2).
С — некоторое положительное число, не зависящее от є, V\i2, W\$ и S — вещественно-аналитические функции У, Q и Уіі2; 0І — вещественноаналитическая функция 3[ и Уіг2,' |^| + |VyS ^ О для некоторого числа G, не
9
ШШ1 /ЛШ:
Рис. 0.3. Примеры построения графа Риба: (а) линии уровня функции на плоскости; (б) реализация функции в виде функции высоты деформированного тора: (1) стягиваемые траектории, (2) нестягиваемые траектории, (3) сепаратрисы; (в) соответствующий граф Риба
зависящего от є. Все функции, X, 3, £Л,2 и №ц2, периодичны по Уі)2 с решеткой периодов (а \а2). Гамильтониан X может быть оценен как
И(3,, у,, , е) = яр,, У,, У2, г) + 0(е2), Я = а, + с'У(а1, У,, У 2)
где
2*
у(у/23[т\<р 4- у,, + у2) Ае = Л(\/-21,ДМУі, Уг),
и Л — функция Бесселя нулевого порядка. В разделе 1.3 изучается гамильтонова система для осредненного гамильтониана и классифицируются его инвариантные многообразия. Гамильтонова система для X принимает вид
Зі = сопз! >0, Уі = -
<9Х
ах
Последние два уравнения в этой системе представляют собой одномерную гамильтонову систему, зависящую от как от параметра. В частности, каждая траектория такой системы лежит на некотором множестве уровня функции X. Для наглядного описания пространства траекторий удобно использовать понятие графа Риба. Для этого рассмотрим функцию X при каждом фиксированном И] как функцию на торе Е2/(а!,а2). Определим отношение эквивалентности 0(3}) на торе следующим условием: (ж, у) € ©СМ <==> [ж и у лежат в связной компоненте линии уровня X). Граф Риба (УРО определяется теперь как фактор-пространство Т2/0(31). Построение графа становится более наглядным, если реализовать функцию X как функцию высоты деформированного тора, см. рис. 0.3.
Поскольку X аналитична, эта гамильтонова система для X на торе может иметь лишь следующие типы траекторий: (а) гладкие кризые, гомотопные точке, (б) гладкие кривые, негомотопные точке, (в) критические точки гамильтониана и (г) сепаратрисы (см. предложение 1.14).
- Київ+380960830922