ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................................5
Глава I Л1- представление уравнений математической физики.
§1.1 Понятие Л; - представления, Л1-класса.
1.1.1 Определения.....................................................17
1.1.2 Примеры Л1-представлений........................................18
§1.2 Методы построения Л1-представлений.
1.2.1 Метод выделения независимых переменных..........................19
1.2.2 Решение системы структурных уравнении поверхности в Е3
как способ построения Л2 - представлений.........................24
1.2.3 Локальные преобразования координат. Получение общего
вида метрики гауссовой кривизны К я -1..........................29
Глава II Некоторые приложения Л: - представлений связанные с внутренней геометрией поверхности.
§2.1 Локальные преобразования Бэклунда для решений уравнения Лапласа и эллиптического уравнени Лиувилля
2.1.1 11реобразования Бэклунда для решений эллиптического уравнения Лиувилля...................................................31
2.1.2 Общее локальное решение обобщенного эллиптического уравнения Лиувилля...................................................33
§2.2 Представление нулевой кривизны...................................35
§2.3 Построение представления нулевой кривизны по Л:-
представлению для произвольного уравнения из Л2-класса 37
§2.4 Кинематическая интегрируемость уравнении, принадлежащих
Л2 - классу. Проблема введения спектрального параметра...........45
2.4.1 Наследование спектрального параметра X из /V-
представления....................................................46
2.4.2 Введение спектрального параметра, использующее локальные симметрии уравнения................................................47
2.4.3 Общая схема постановки спектрально-эволюционной
задачи........................................................50
2.4.4 Реализация общей схемы постановки спектралыю-эволюционной задачи для уравнения sin Гордона......................52
§2.5 Постановка спектрально-эволюционной задачи по А2-представлению, использующая обращение формул Сасаки.
2.5.1 Формулы Сасаки, связывающие 1-формы с операторами модифицированного вида задачи Захарова-Шабата......................56
2.5.2 Общее обращение формул Сасаки. Возможные
классы уравнений..............................................58
2.5.3 Реализация общей схемы для уравнений Бюргерса,
ШУГ-типа и ряда других........................................61
2.5.4 Примеры эволюционных уравнений, допускающих
обращение формул Сасаки.......................................64
§2.6 Дифференциально-геометрическая классификация
кинематически интегрируемых уравнений.........................66
Глава Ш А2 - представление уравнения sin-Гордона в задаче о погружении чебышевских метрик в Я’.
§3.1 Геометрическая интерпретация решений типа бегущих волн уравнения sin- Гордона.
3.1.1 Решения типа бегущих волн уравнения sin-Гордона...............68
3.1.2 Геометрическая интерпретация решений у равнения sin-Гордона. Постановка задачи об изометрическом погружении определенных областей на А2 в Я5................................................71
3.1.3 Интегрирование деривационных формул. Радиус-вектор поверхностей.......................................................74
3
§3.2 Пссвдосфсричсскнс поверхности, отвечающие решениям
типа бегущих волн уравнения БШ-Гордона..........................84
§3.3 Преобразования Бэклунда для пссвдосфсричсских поверхностей. Радиус-вектор двусолитонной поверхности.
3.3.1. Преобразования Бэклунда для пссвдосфсрических поверхностей.......................................................89
3.3.2. Построение поверхности, отвечающей двусолитонному решению уравнения ьт-Гордона.......................................91
§3.4 Общие замечания и перспективы развития..........................93
Заключение...........................................................100
Список используемой литерату ры.......................................102
Приложение...........................................................107
А
Введение
Современное развитие методов математической физики в значительной степени обусловлено интересом к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений. Формализация нелинейных эффектов, направленная на уточнение физической модели исследуемого процесса, приводит к появлению нелинейных дифференциальных уравнений, которые наиболее полно описывают природу физических явлений. Не умаляя достоинств широкого спектра методов линеаризаций, точные методы исследования нелинейностей, такие как метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1],[2],[21], преобразования Бэклунда (Г1Б) (3], исследование локальных симметрий групповыми методами [4], общая теория солитонов
[2),[5],[6] и другие, становятся не только аналитически более содержательными, но и, в ряде случаев, единственными инструментами анализа.
К сожалению, единой теории нелинейных дифференциальных уравнений построить не удается, что, в первую очередь, вызвано отсутствием каких-либо общих инвариантных свойств исследуемых уравнений. Указанный выше далеко не полный перечень применяемых методик носит, хотя и универсальный, все же неизбежно частный характер. Анализ модельных нелинейностей, помимо всего прочего, осложняется крайне неформализованными алгоритмами постановок соответствующих задач. Так, например, для реализации метода обратной задачи рассеяния требуется определить представление нулевой кривизны и, V исследуемого уравнения, что является нетривиальной задачей, решение которой основано на удачном выборе одного из матричных операторов V или V. В этой связи, наибольший интерес современных исследований вызывает вопрос о поиске различных
5
тестов (типа теста Пенлеве) и классификаций нелинейных дифференциальных уравнений, допускающих применение известных методик. Развитие метода обратной задачи рассеяния (в современной трактовке, использующей задачу Римана) поставляет Ли-алгебраическую классификацию кинематической интегрируемости нелинейных уравнений, связанную с наличием особой пуассоновой структуры (1) и, тем самым, определенным образом описывает возможные классы уравнений для которых применение МОЗР оказывается оправданным. Вместе с тем, подобная классификация носит достаточный характер и не гарантирует какого-либо ответа для уравнения, не связанного с гамильтоновым формализмом.
Настоящая работа, в частности, предлагает дифференциальногеометрическую классификацию кинематически интегрируемых уравнений, доказательство которой использует определенные аналогии между формализмом обратной задачи рассеяния и системой структурных уравнений поверхности в Е*. Полученные здесь результаты относятся к обобщению различных методик, относящихся к несвязанным, на первый взгляд, разделам математических теории. Обсуждаемый синтез различных подходов в исследовании нелинейностей, использующий дифференциально-геометрическое рассмотрение, носит фундаментальный характер, базирующийся на А1 - представлении уравнений математической физики.
Понятие А'-класса было введено сравнительно недавно Э.Г.Позняком и А.Г.Половым [7],[8] и явилось, по сути, отправной точкой нового понимания взаимосвязи нелинейных уравнений в частных производных с дифференциальной геометрией. Подобное соответствие устанавливается следующим ниже образом.
Будем рассматривал ь на гладком двумерном многообразии А/, произвольную метрику
= Е(и,их,...;х,1)<Ьг + 2Р(и,их,..;>х,1)<1х(/1 +б(и,11ж,/)<#*,
б
коэффициенты которой зависят от некоторой (неизвестной) функции «(*,/). Если при этом задать гауссову кривизну ЛГ(х,/)в-1, то уравнение Гаусса для рассматриваемой метрики, связывающее метрические коэффициенты с гауссовой кривизной:
Я я
1 р лг /7 і /7 і
і С Ґх о. о, V* ))
будет представлять собой нскозорое, вообще говоря, нелинейное дифференциальное уравнение относительно м(лс,/): /{и,ия,...\х,1) = О,
Лг - представлением которого и будем называть соответствующий
принадлежащим Л7 - классу. В случае произвольно фиксированной гауссовой кривизны говорят о С - представлении {О-классе). Здесь приняты
Рассматриваемая работа представляет собой дальнейшее развитие формализма Л2-представлений уравнений математической физики и связанных с ним геометрических построений (в ряде публикаций можно также встретить символ Л2, подчеркивающий связь с плоскостью Лобачевского). Заложенный принцип соответствия нелинейного дифференциального уравнения с уравнением Гаусса оказывается необычайно богаты м. предоставляя целый спектр различных направлений исследований.
Глава I рассматриваемой работы посвящена подробному введению формализма Л2 - и С - представлений уравнений математической физики и иссследует вопросы о методах нахождения псевдосфернчсских метрик, соотвстсвующих заданному дифференциальному уравнению /[//) = 0. В
дополнение к методу построения Лг - представлений, предложенному А.Г.Поповым (27) (п. 1.2.1), здесь предлагаются две другие методики.
метрический тензор
обозначения |^! = Л1 {/[«) = <>} (;|£„1 = <Л/М = 0) )■
7
основанные соответсвенно на специальном интегрировании системы структурных уравнений поверхности в £5 (п. 1.2.2) и сведении уравнения Гаусса к уравнению совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений относительно одной или двух скалярных функций (п.1.2.3). Предложенные методы реализованы на примерах уравнений Бюргерса, КбУ, МКбУ и др.
В Главе II настоящей работы исследуются некоторые приложения введенного формализма Л1 - представлений, относящиеся к исследованию внутренней геометрии поверхности в Я1 и связанных с ней аналитических построений.
Так, в §2.1 формулируется и решается задача о нахождешш преобразований Бэклунда (ПБ) для решений нелинейных дифференциальных уравнений, принадлежащих А’-классу на примере преобразований Бэклунда между- решениями уравнения Лапласа и эллиптического уравнения Лнувилля. Предлагаемая здесь геометрическая методика нахождения ПБ использует локальные преобразования соответствующих метрик. Несмотря на то, что преобразованиям Бэклунда посвящена достаточно широкая литература [3),[6] и др.. предлагаемый в §2.1 подход кажется в ряде случаев более удобным как в техническом, так и в теоретическом аспектах. Для полученных здесь преобразований Бэклунда между решениями уравнения Лапласа и эллиптического уравнения Лиувилля (формулы Векуа {9],[10],[11]) удастся доказать их локатьную обратимость, что непосредственно из формул Векуа не следует и является исключительно дифференциально-геометрическим следствием. Предложенная мегодика переносится и на случай обобщенного эллиптического уравнения Лиувилля А£1 = е‘*ка, где К а Сопи * 0, общее локальное решение которого представляется в виде
И
- Київ+380960830922