Динамика намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов, при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин

Оглавление
Оглавление
2
Введение..............................................................5
Раздел 1. Состояние вопроса и исследования волновых процессов, при поперечном ударе по упругопластической гибкой связи со сложными физико-механическими свойствами........................................16
1.1. Анализ состояния исследований волновых процессов в гибких нитях и намоточных связях.........................................16
1.2. Динамические условия, имеющие места на фронтах упругих и пластических волн.................................................45
1.3. Нормальный поперечный удар точкой по упругопластической нити ..................................................................53
1.4. Исследование волнового движения в нелинейной упругопластической нити...........................................63
Выводы к разделу 1................................................72
Раздел 2. Дифференциальные уравнения пространственного движения линейно и нелинейно деформируемых упругих и упруго-пластических
нитей..................................................................73
2.1. Исследование дифференциальных уравнений движения и свойства
волн, возникающих в нелинейно-упругих нитях..........................73
2.2 Исследования свойств волн в нелинейно деформируемых упругих
нитях................................................................86
2.3. Волновое движение в нелинейных упругопластических нитях при
более сложных законах деформирования.................................96
Выводы ко 2 разделу..............................................105
Раздел 3. Пространственное движение вязко-упругопластических гибких
связей................................................................106
3.1 Дифференциальные уравнения пространственного движения вязких нелинейно деформируемых упругих гибких связей и свойства
возникающих в них слабых разрывов...................................106
2
3.2. Исследования свойств вязкой нелинейно деформируемой упругой
намоточной связи...................................................117
Выводы к разделу 3..............................................126
Раздел 4. Пространственное движение намоточных связей..............127
4.1. Дифференциальные уравнения распространения волн в намоточных связях................................................128
4.2. Характеристики дифференциальных уравнений..................130
4.3. Некоторые частные модели линейной и нелинейно деформируемой упругой намоточной связи.........................................136
4.4. Дифференциальные условия на характеристических кривых 141
4.5. Плоское движение нелинейно-упругой намоточной связи........144
4.6. Разрывы на характеристических кривых.......................146
4.7. Движение намоточной связи полубесконечной длины............153
4.8 Движение намоточной связи конечной длины....................163
Выводы к 4 разделу..............................................171
5. Распространение волн в гибкой вязкой нелинейно деформируемой упругой и упругопластической намоточной связи........................172
5.1 Нелинейная модель намоточной связи..........................172
5.2 Нелинейная модель намоточной связи при отсутствии линейной деформации.......................................................182
5.3 Линейная модель намоточной связи............................189
Выводы к 5 разделу..............................................195
Раздел 6 Скольжение гибких связей по поверхности твердого тела 196
6.1. Скольжение нити с одним свободным концом...................202
6.2. Влияние граничных условий на параметры скольжения..........209
6.3. Методика экспериментально-теоретической оценки неровноты гибкой связи.....................................................217
6.4. Скольжение растяжимой нити по поверхности твердого тела 223
6.5. Скольжение упругопластической гибкой нити но поверхности твердого тела....................................................235
6.6. Скольжения гибкой связи с не свободными концами............250
6.7. Взаимодействия упругих и пластический волн, возникающих при скольжении гибких связей............................................258
6.8. Отражение продольной волны от конца нити...................267
6.9. Многократные отражения от границ гибкой связи и точки контакта............................................................272
Выводы к 6 разделу..............................................281
Основные выводы и рекомендации......................................283
Список использованных источников....................................286
Приложение 1........................................................312
Приложение 2........................................................315
Приложение 3........................................................320
Приложение 4........................................................327
Приложение 5................................................../.....332
Введение
С развитием техники и технологий области применения различных намоточных и гибких связей в текстильной и легкой промышленности, которые являются одним из ведущих направлений экономического и социального развития, в горной, нефтедобывающей, морской, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства из года в год расширяются. В центре наукоемкой техники и технологии продолжают оставаться самолетостроение, ракетостроение. Во всех этих и в других отраслях промышленности гибкие элементы - различные волокна, нити, жгуты, сети, кабели, канаты, тросы, стропы, гибкие протяженные элементы в строительстве, ремни приводных механизмов, ленты ленточных конвейеров, бурильные трубопроводы, намоточные связи и т.д. - используются как основные элементы конструкций технологического процесса. Во многих случаях при проектировании таких элементов изгибной и крутильной жесткостью пренебрегают и их рассматривают как гибкую нить. Под «гибкой нитыо» понимают механическую модель реального объекта с длиной, радиусами кривизны и кручения оси, во много раз превосходящими размеры его поперечного сечения (канаты, тросы, пряжи, проволоки, кабели и др.). Математическпая модель идеально гибкой нити имеет нулевую жесткость при деформациях изгиба и кручения, нулевые размеры поперечного сечения нити. Во многих случаях эти условия не выполняются и тогда при аналитических исследованиях каких-либо процессов возникает необходимость использовать более сложные модели. Границы применимости и соответствия модели объекту устанавливаются путём сравнения с экспериментальными данными.
Под действием внешних нагрузок в гибкой нити возникают только силы натяжения, направленные в каждый момент времени но касательной к центру тяжести поперечного сечения. Такая нить может испытывать большие поперечные деформации и принимать произвольную конфигурацию в пространстве. Хотя модель идеальной нити представляет некоторую абстракцию, тем не менее, она удовлетворительно описывает поведение текстильных пряжей,
5
тросов, цепей, канатов и других деталей. Однако реальная нить, намоточные связи оказывают сопротивление не только растяжению, но также изгибу и кручению. Необходимость учета сопротивления на изгиб и кручение возникает при изучении прочности нити, а также при расчете и проектировании канатов и тросов в подъемных машинах. В этой связи расчет на прочность сооружений, машин и массивов, подверженных динамическим воздействиям, приобретает исключительно важное значение.
Работа является обобщением и систематизацией результатов многолетних исследований. Приводятся результаты исследований пространственного движения нелинейно-упругих, вязкоупругих, вязкоупругопластических нитей. Исследования выполнены на основе законов механики совместно с кинематическими (геометрическими) условиями. Дифференциальные уравнения, описывающие пространственное движение нитей при заданном законе деформирования и с учетом геометрических связей, отличаются существенной нелинейностью. Для них методом характеристик отыскиваются собственные значения. Излагается приложение теории распространения продольно-поперечных волн в упругих и упругопластических и упруговязкопластических гибких и намоточных связях к решению проблем, связанных с пространственным движением и с напряженным состоянием намоточных связей, с получением динамических диаграмм растяжения - деформация нитей и намоточных связей, со скольжением намоточных и гибких связей по поверхности твердого тела - моделей рабочих органов машин.
Сформулированы задачи, возникающие при изучении распространения волн в телах различной геометрической формы, а также задачи взаимодействия волн с границами раздела сред и отражения. Эти задачи важны для понимания и выделения наиболее существенных факторов волнового воздействия на элементы механизмов машин, в том числе текстильных. В текстильной отрасли самой злободневной и наиболее трудно поддающейся аналитическому исследованию задачей является задача об обрывности текстильной нити, которая зависит от многих как внешних так и внутренних факторов.
В развитие теории нитей и гибких связей и их приложений внесли заметный вклад такие видные ученые как Ляв А., Релей JL, Ильюшин A.A., Рахма-тулин Х.А., Минаков А.П., Савин Г.Н., Горошко O.A., Кристеску П., Щедров
B.C., Шапиро Г.С., Павленко A.JL, Кийко И.А., Григорян С.С., Шемякин
/•
Е.И., Агаларов Д.Г., Светлицкий В.А., Мигушов И.И., Новацкий В.К., Куликовский А.Г., Глушко М.Ф., Демьянов Ю.А., Смит С., Баренблагг Г.И. и многие другие.
Такие факторы, как значительное отклонение формы нити от прямолинейной, нелинейность зависимости напряжения от деформации, специфика граничных условий в области соприкосновения нити с ударяемым телом и контакте с твердым телом (моделью рабочего органа машины) существенно отличают виды распространения волн в гибких деформируемых связях от полученных в линеаризированной постановке решений. Решение задач в уточненной постановке позволяет получить ответ на ряд интересующих практику вопросов. Такими проблемами являются, например, критические скорости при поперечном ударе, характер движения* тормозных элементов, прикрепленных к концам троса, деформации нитей основы при зевообразовании в процессе ткачества, колебания музыкальных струн и т.д. Аналитически полученные результаты позволили предложить метод экспериментального определения динамической диаграммы растяжения материалов.
Сложные законы статического и динамического деформирования и реальных свойств материала гибких связей, наличие кинематических связей приводят к трудно обозримой системе из 27 дифференциальных и 11 алгебраических уравнений с 38 неизвестными функциями, зависящими от времени и перемещений [137]. Многие исследовния посвящены построению математических моделей и решению задач на основе принимаемых допущений. В большинстве случаев разработанные математические модели пригодны для решения частных задач и не отличаются общностью. Математическое моделирование стало неотъемлемой частью исследований и разработки сложных технических систем и является одной из составляющих научно-технического
прогресса. Оно является наиболее удобным и экономичным видом исследований. Натурный эксперимент требует длительного времени, является дорогим в исполнении. Зачастую его реализация опасна, а иногда просто невозможна. Развитие ЭВМ и их применение позволили исследовать более сложные динамические проблемы, в том числе в задачах распространения упругопластических, вязкопластических и других волн, возникающих в объектах с различными физическими и механическими свойствами.
В работе динамика намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов, при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин исследуется на базе механики сплошных сред. Волновые процессы, протекающие в нитях и намоточных связях при динамических воздействиях, изучаются в уточненной постановке, отличающейся общностью.
Актуальность исследований
Волновые движения в гибких и намоточных связях зависят от закона, деформирования материала,, от способа приложения и от величины внешней нагрузки. Однако качественное и количественное влияние названных и других параметров на напряженное состояние объекта и на конкретные формы движения, гибких связей изучено недостаточно. Так как волновое движение играет существенную роль при определении напряженно-деформированного состояния и формы перемещения гибких и намоточных связей, то изучение влияния этих параметров на текущее напряженное состояние объекта, области влияния этих параметров на конкретные формы движения гибких связей представляет научный и практический интерес и является актуальным. Решению задач, связанных с динамикой намоточных и гибких связей, посвящено большое число как теоретических, так и экспериментальных исследований и все же качественное и количественное влияние названных и других параметров на напряженное состояние материала, на конкретные формы движения гибких связей недостаточно исследовано
В большинстве работ решения получены при определенных упрощающих предположениях либо относительно закона деформирования материала, либо
относительно граничных или начальных условий. Это связано с тем, что постановка задачи о пространственном движением нити с учётом реальных свойств материала приводит к сложной системе уравнений, включающей дифференциальные уравнения в частных производных. Даже численное решение такой нелинейной системы уравнений весьма затруднительно, оно трудно поддается анализу в силу зависимости решения от множества параметров. Вместе с тем, развитие вычислительной техники и математического моделирования позволяет исследовать достаточно. сложные динамические задачи о распространении нелинейно упругих и неупругих волн. Развитие ЭВМ и их широкое применение позволили исследователям формулировать и решать более сложные динамические проблемы, в том числе задачи о распространении упругопластических, вязкопластических и других волн, возникающих в материалах с различными физическими и механическими характеристиками. Отсюда следует, что проблемы динамики реальных гибких связей требуют дополнительных теоретических и экспериментальных исследований и поэтому являются актуальными.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы является разработка методов прогнозирования причин, приводящих к снижению качества продукции и производительности технологических процессов, а также повышение прочности намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов, при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин на основе изучения единым разработанным методом их пространственного движения.
Поставленная цель достигается решением следующих задач
- Модернизация существующих и разработка новых методов исследования пространственного движения нелинейно-упругих, вязкоупругих, вязкоупруго-пластических гибких и намоточных связей.
- Исследования волновых явлений в гибких и намоточных связях с физико-механическими характеристиками, близкими к их реальным свойствам.
- Построение математических моделей волновых процессов в гибких связях с различными физико-механическими и технологическими свойствами и выполнение численно-экспериментальных исследований и инженерных расчетов динамики намоточных гибких связей с учетом эффекта многократного отражения волны от поверхности контакта и от различных границ.
- Исследования зависимостей волновых движений и напряженно--деформированных состояний возмущенных участков упругих и упругопластических гибких связей от свойств материала, от способа приложения и величины внешних нагрузок.
- Определение характера разрывов в решениях динамических задач и исследование параметров пространственного движения гибких связей, обладающих различными физико-механическими свойствами на этих разрывах.
- Разработка методов качественной и количественной: оценки скорости натяжения нитей и намоточных связей для оптимизации конструкций узлов и режимов работы машин.
- Разработка методики определения участков, нити с наибольшими упругими или пластическими деформациями, выявления; причин появления опасных деформаций и рекомендация для принятия мер по их снижению.
Объекты;и методы их исследований
Для решения поставленных задач проведены исследования пространственного движения гибких и намоточных связей, материал которых обладает физико-механическими характеристиками, соответствующими их реальным, свойствам, при различных граничных условиях, включая контактное взаимодействие с твердыми телами - моделями рабочих органов механизмов машин.
В1 работе использованы методы теоретической механики, сопротивления материалом, теории упругости, инженерные расчетные схемы и численные методы механики сплошных сред, проведен анализ численных расчетов, теоретических выводов и рекомендаций, которые сравнены с экспериментальными данными и обоснованы ими.
10>
Научная новизна
- Основные актуальные направления исследований, установленные в результате хронологического анализа основных свойств волн, возникающих под действием динамических нагрузок в гибких и намоточных связях.
- Развитие и обобщение методики исследования пространственных и плоских движений гибких и намоточных связей с произвольными законами деформирования и имеющими различные физико-механические свойства.
- Построение математических моделей пространственного движения гибких и намоточных связей для разработки единого метода решения динамических задач.
- Впервые установлены дифференциальные условия и функциональные соотношения между коэффициентами разрыва различных параметров движения, определяющих напряженно-деформированное состояние гибких и намоточных связей.
- Впервые установлены условия возникновения продолыю-поперечно-крутильных волн в гибких намоточных связях и выявлены их свойства растягиваться и закручиваться при распространении вдоль направления крутки или при не совпадения с направлением крутки.
- Впервые выявлены поперечные пластические волны при скорости распространения продольной пластической волны меньшей, чем скорость распространения упругой поперечной волны в упругопластических нитях.
- Доказано существование новой продольно-поперечной волны в вязких нитях и продольно-поперечно-крутильной волны в вязких намоточных связях и установлено условие их возникновения.
- Математическое моделирование динамических задач скольжения намоточных связей по поверхности твердого тела — модели рабочего органа механизмов машин.
- Влияние на напряженно-деформированное состояние и на технологические параметры граничных условий при многократном отражении продоль-
ных волн от точки контакта и от границы упругих и упругопластических нитей, а также при скольжении по поверхности твердого тела.
- Разработанный метод определения коэффициента неровноты, введенного впервые как угол отклонения от идеального случая.
- Автомодельные и аналитические решения динамических задач о распространении волн в линейной гибкой связи конечной и полубесконечной длины.
- Разработанный способ установления причин возникновения и меры устранения дефектов, приводящих к снижению качества продукции, производительности технологических процессов при скольжении растяжимых и нерастяжимых упругопластических нитей по поверхности твердого тела - модели рабочих органов механизмов машин.
Научные положения, выносимые на защиту
- Новые методы исследования волновых явлений в гибких и намоточных связях с физико-механическими характеристиками, соответствующими их реальным свойствам, при поперечном ударе.
- Исследованные зависимости волновых движений и напряженно-деформированных состояний возмущенных участков упругих и упругопла-стических гибких связей от свойств материала, от способа приложения и величины.внешних нагрузок.
- Математические модели для изучения волновых процессов в гибких связях, численные схемы решений краевых динамических задач и результаты качественного анализа волновых процессов в плоской нити и намоточной связи полу бесконечной и конечной длины. Результаты численных экспериментов и инженерных расчетов динамики намоточных гибких связей.
- Численный эксперимент для определения коэффициента неровноты, а также способ установления причин возникновения и разработки мер устранения различных дефектов, приводящих к снижению качества произведенной продукции и производительности при скольжении растяжимых и нерастяжимых упругопластических нитей.
12
Степень обоснованности и достоверности полученных результатов
Результаты исследований базируется на строгих физических и математических основах. Дифференциальные уравнения пространственного движения, свойства волн и разрывов, возникающих в различных нитях и намоточных связях, исследуются строго современными методами механики сплошных сред и математической физики.
Постановка и исследования динамических задач о распространении волн, слабых, сильных разрывов в гибких и намоточных связях проведены на основе известных и апробированных методов (метод распространяющихся волн) волновой механики. Полученные аналитические решения задачи о соударении и скольжении нити по поверхности твердого тела подвергнуты анализу с помощью численного эксперимента, а достоверность их подтверждается следующими приёмами и способами:
- применением апробированных методов теоретической механики, сопротивления материалов, механики сплошных сред и вычислительной математики;
- анализом и обобщением существующих методов качественного исследования системы нелинейных гиперболических уравнений в частных производных;
- использованием экспериментальных данных при решении краевых динамических задач плоской нити;
- проведением сравнительного анализа полученных результатов численных расчетов с экспериментальными данными;
- сравнением полученных результатов с результатами исследований других авторов.
Практическая ценность исследования
Практически значимым результатом является выявление методами волновой динамики основных причин натяжения нитей в процессе работы технологических машин и возникновения в них пластических деформаций —
очагов их обрыва, приводящих к снижению производительности промышленных установок.
Решение задач о взаимодействии упругих и упругонластических нитей с произвольно расположенными поверхностями твердых тел - моделей рабочих органов механизмов машин - позволили установить:
- текущее напряженно-деформированное состояние возмущенных участков и участков с экстремальными натяжениями, где возможен разрыв параметров движения, зависимости этих параметров от физико-механических свойств взаимодействующих материалов;
- характер расположения нити относительно твердого тела, скорости скольжения и технологические показатели нитей;
- с применением разработанного численного эксперимента коэффициенты неровноты, выявления причины возникновения и меры устранения различных дефектов, приводящих к снижению качества произведенной' продукции и производительности, тем самым, способы повышения прочности гибких и намоточных связей;
- влияние статических (соответствующих моменту простоя'технологиче-ской машины) и динамических нагрузок, направления крутки и скольжения, свойств и формы поперечного сечения твердого тела на текущие технологические показатели, в том числе, на неровноту реальной нити.
Полученные результаты исследований по теории распространения волн в гибкой нити, установленные новые соотношения между параметрами движения нитей и намоточных связей могут быть использованы при проведении прикладных расчетов и численных экспериментов во многих областях техники. Они служат научной базой для проектирования элементов конструкций, представляемых в виде жгутов, ленты, тросов, канатов, строп и других гибких связей.
Апробация результатов работы и публикации
По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ, в том числе 3 монографии, 5 внедрения и 8 статей в научных журналах, входящих в список ВАК РФ.
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных международных, всесоюзных, республиканских научно-теоретических и практических конференциях, симпозиумах. Основные разделы диссертации докладывались
• на научных семинарах
- кафедры теории упругости и пластичности Московского университета им. М. В Ломоносова, механико-математического факультета 2008г,
- кафедры Механика машин и механизмов Российского технологического университета им. К.Э Циолковского 2008г,
- кафедры основы конструирования машин Московского энергетического института 2009 г.
• в объединенных научных семинарах
- «Прикладные задачи механики» при Ташкентском Государственном институте Текстильной и Легкой промышленности, 2008, Ташкент, Узбекистан;
- «Прочность, устойчивость и надежность летательных аппаратов и их исследование методами математического моделирования» при Ташкентском Государственном техническом университете, 2008, Ташкент, Узбекистан;
- «Механика деформируемого твердого тела, динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры, процессы и аппараты химических технологий» при Южно-Казахстанском университете им. М. Ауезова, 2008. Шымкент; Казахстан Объем и структура работы
Диссертация изложена на 342 страницах, содержит 102 рисунков, 10 таблиц и состоит из введения, 6 разделов, выводов, 5 акт внедрения, 5 приложений, библиография использованной литературы, состоящей из 268 наименований.
Раздел 1. Состояние вопроса и исследования волновых процессов при поперечном ударе по упругопластической гибкой связи со сложными физико-механическими свойствами'
В этом разделе проведен анализ состояния исследований волновых, процессов в гибких нитях и намоточных связях, обзор литературы состоящий из грех частей. Обсуждаются проблемы исследования1 волновых процессов, имеющих место при поперечном ударе по упругопластической гибкой связи, материал которого деформируется по схеме Прандтля (диаграмма напряжение-деформация имеет излом) и по более общей схеме (диаграмма напряжения - деформация не имеет излома).
>9
1.1. Анализ состояния исследований волновых процессов в гибких нитях и намоточных связях
Ниже приведен анализ состояния исследований-гибких нитей и намоточных связей на основе обзора научно-технической литературы. Обзор состоит из трех частей. В первой части (п.. 1.1.1) проведен обзор литературы, посвященной проблемам.распространения продольных и поперечных волн, возникающих при динамических воздействиях на нити (на гибкие, связи), в том числе при поперечном ударе телом, имеющим различные геометрические формы. Во второй части (1.1.2) параграфа дан анализ литературы, посвященной проблемам гибких нитей или намоточных связей; В пункте 1.1.3 проведен обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования.
Гибкими нитями или намоточными связями называют относительно тонкие стержни, обладающие свойством сопротивляться растяжению, изгибу, сжатию, кручению. Их примерами являются текстильные нити, канаты, тро-
сы, жгуты, проволока, стропы, ленты и т.д.. С точки зрения механики гибкие нити и намоточные связи отличаются свойствами и характером распространения волны в каждой из них. Под действием динамических нагрузок в нити возникают продольные, поперечные или продольно-поперечные волны, а в намоточных связях вместо продольных или поперечных волн, возникают продольно-крутильные волны и поперечно-крутильные волны. При этом под намоточными связями понимают комплексную нить, изготовленную путем скручивания одиночных волокон, нитей, проволок и т.д. вокруг собственной оси. В соответствие с этим, вначале проведены исследования нити, являющейся основой намоточных связей.
1.1.1. Исследования волновых процессов
Анализ истории развития теории нитей и гибких связей показывает, что примерно до 1940г. наиболее общие исследования преимущественно были посвящены изучению одномерных движений в гибких нитях в рамках теории малых относительных деформаций [67, 83, 92, 138, 174, 175, 222, 227, 228, 261]. Пространственные и плоские движения рассматривались относительно редко и тоже в рамках теории малых относительных деформаций. При этом возможностями нити испытывать большие поперечные деформации и принимать произвольную геометрическую’Конфигурацию пренебрегались вовсе или учитывались приближенно.
В развитие теории нитей и гибких связей внесли большой вклад такие видные ученые как Boussinesq М., Динник А.Н, Hadamard J., Ляв А., Релей Л., Работнов Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Ильюшин A.A., Рахматулин Х.А., Ми-наков А.П., Савин Г.Н., Горошко O.A., Кристеску H., Щедров B.C., Шапиро Г. С., Павленко А.Л., Кийко И;А., Григорян С.С., Шемякин Е.И., Садовничий В.А., Агаларов Д.Г., Светлицкий В.А., Мигушов И.И., Новацкий В.К., Куликовский А.Г., Глушко М.Ф., Демьянов Ю. А., Локшин A.C., Флоринский В.Ф., Неронова Н.П, Ломакин Е.В., Каган В.М, Мередит Р., Смит С., Баренб-латт Г.И. и многие другие.
Распространение волн в гибких деформируемых связях отличается от обычно принятой задачи в «линейной» постановке. При его изучении необходимо учитывать такие факторы как значительное отклонение формы нити от прямолинейной, нелинейность зависимости напряжения от деформации, а также специфику граничных условий в области соприкосновения нити с ударяемым телом. Решение задач в такой расширенной постановке позволяет получить ответ на ряд интересующих практику вопросов. Важными с точки зрения практики проблемами являются, например, величина критической скорости при поперечном ударе, характер движения тормозных элементов, прикрепленных к концам троса, деформация нитей основы ткани при зевооб-разовании в процессе ткачества, уточнение колебаний музыкальных струн и т.д. Полученные теоретические результаты позволяют предложить метод экспериментального определения динамической диаграммы растяжения материалов.
Проблема распространения волн с учетом перечисленных выше факторов представляет в математическом отношении весьма сложную задачу, поскольку приходится иметь дело с системой нелинейных уравнений в частных производных. Попытка учесть все реальные свойства материала движущейся в пространстве реальной нити приводит к системе уравнений, состоящей из 27 дифференциальных и 11 алгебраических уравнений относительно 38 неизвестных функций, зависящих от перемещений и времени. Система содержит нелинейные неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных 26-го порядка по координате и 14-го порядка по времени [137]. Решить такую систему уравнений даже современными численными методами пока не представляется возможным. Поэтому многие исследователи, используя некоторые допущения о свойствах материала нити и построив соответствующие математические модели, получили решения в отдельных частных случаях. В общем случае описанная система, по-видимому, может быть решена лишь с помощью различных численных методов: метода характеристик, метода конечных разностей и т.д.
Специфика граничных и начальных условий позволяет математически разделить проблемы поперечного движения нити и распространения в ней продольных волн. Установив и используя эти особенности, Х.А. Рахматулин решил ряд новых задач и получил основополагающие результаты в области теории распространения волн в нитях [161 - 170]. Им впервые были получены новые и наиболее общие дифференциальные уравнения плоского и пространственного движения гибкой нити, в которых были учтены геометрические связи и физико-механические свойства материала. В результате дифференциальные уравнения плоского и пространственного движения нити становятся одновременно физически и геометрически нелинейными. Полученные уравнения были решены методом характеристик. В этих работах определены корни характеристических уравнений, соответствующих дифференциальным уравнениям движения линейно и нелинейно-упругих гибких нитей. Кроме того, установлены дифференциальные условия, имеющие место на фронтах волн слабых и сильных разрывов. Доказано, что под действием динамических нагрузок в линейно-упругой нити возникают два типа волн -продольные и поперечные волны. Упругие волны по нити всегда распространяются со скоростью звука в местной среде, а неупругие продольные волны -со скоростью меньшей, чем скорость звука. Скорости распространения поперечных волн, установленных впервые Рахматулииым Х.А. теоретически и подтвержденные экспериментально, зависят от текущей деформации и от свойств материала. Причем в упругой среде продольные волны в каждый момент времени несут разрывы деформации и не оказывают влияния на касательную составляющую ускорения нити в данной точке. При этом поперечные волны несут разрывы касательной составляющей ускорения нити в данной точке и не оказывают влияния на деформацию нити. Рахматулииым, в частности, установлено, что поперечные волны сильного разрыва всегда распространяются со скоростью звука, а продольные - либо со скоростью звука, либо с отличной от нее скоростью. Возмущенные от действия динамической нагрузки области идеальной нити в каждый момент времени состоят из пря-
молинейных участков, которые совершают поступательные движения, причем каждый из прямолинейных участков имеет постоянные деформации и по ним распространяются волны Римана. Эти фундаментальные выводы позволили Х.А. Рахматулину сформулировать и решить задачу о поперечном ударе по нити твердыми телами, имеющими различные геометрические формы, и задачу о косом ударе с переменной скоростью. При решении задачи предполагалось, что в точке контакта - у кромки клина - имеет место Кулоново трение. Задача сведена к численному решению системы трансцендентных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных. Решены задачи о нормальном поперечном ударе телом заданной (имеющей отличную от нуля кривизну) формы по гибкой нити и о поперечном ударе по нити острым концом клина, движущимся с переменной скоростью. Исследованы законы распространения плоских упругопластических волн в среде с переменным пределом упругости. Впервые математически сформулирована задача о распространении волны разгрузки в упругопластическом стержне (схема Прандтля). Рассматривался случай, когда закон нагружения конца стержня отличается от закона разгрузки. Трудность решения такой задачи обусловлена тем, что точка начала разфузки зависит от координат частицы, которая, в свою очередь, зависит от результата решения задачи. Х.А Рахматулин исследовал распро- ' странение продольных упругопластических волн в полубесконечном стержне в предположении, что давление на конце стержня в течение некоторого времени остается постоянным. Рассматривались два случая:
1) давление, достигнув максимального значения, остается постоянным, а затем постепенно убывает до нуля;
2) давление, мгновенно достигнув максимального значения, остается постоянным, а затем сразу надает до нуля.
Предполагалось, что материал стержня обладает линейным упрочнением. Вторая задача решена непосредственно с применением закона сохранения количества движения, а первая задача была решена методом характеристик.
Под руководством Х.А Рахматулина большое число исследователей занимались решением задач о поперечном ударе различными телами по мембране, канату, текстильной нити [3, 21, 24, 26, 50, 55, 76, 77, 80, 82, 95, 96, 118, 125, 136, 143, 170, 215]. В этих работах решалась задача о поперечном ударе при различных постановках и с различными 1раничными условиями. Объектом исследования были разные тела, материалы которых обладали различными физическими свойствами. Например, в работах [76, 77] решалась задача о взаимодействии твердого ударяющего тела с гибкими деформируемыми связями - нитями, тросами, мембранами, сетями. Получено аналитическое решение широкого класса новых волновых задач с учетом различных факторов. Дано полное решение задачи о волне сильного разрыва и осуществлен исчерпывающий анализ классификации условий на этой волне. При определенных условиях обнаружен эффект «сморщивания» элементов гибкой связи за фронтом сильного разрыва. В теоретическом аспекте рассмотрен вопрос о, математическом моделировании динамики удара твердым телом по гибкой связи с учетом возможности разрушения связи. Введено понятие о фронте множественного разрыва, распространяющегося по мембране при определенных условиях. Сформулированы граничные условия, которые должны выполняться на этом фронте. Приведены результаты специально поставлен-' пых экспериментов, подтверждающие реальность принятого в математической модели процесса геометрического и кинематического взаимодействия ударяющегося тела с гибкой связью. Авторы работ [22, 24, 26, 118] решают задачу о поперечном ударе по нити клином с произвольным углом раствора. В зависимости от угла раствора, от свойств материала самого объекта могут появиться различные формы движения, которые влияют на напряженно-деформированное состояние исследуемого объекта. Некоторые работы посвящены исследованиям объектов, материалы которых обладают свойствами:
- вязкости [1, 4, 8, 36, 37, 62, 90, 91, 105, 108, 182, 188,192, 194, 200, 249, 250, 262];
-жесткости [7, 17, 28, 46, 155, 171, 183, 189, 202, 203, 247];
-релаксации [157, 201, 202, 204, 248];
- запаздывания текучести [19, 26,27, 155, 158].
Большинство этих работ посвящено решению конкретных задач. Например, работа [105] состоит из трех разделов. В первом из них с помощью метода характеристик рассматриваются поперечные и продольные волны, распространяющиеся в гибкой (упругой или пластической) нити. Напряжение предполагается известной функцией от относительного удлинения. Во втором разделе рассматриваются движения полубесконечной нити. Силовое воздействие в конце нити таково, что материал зачастую переходит за предел упругости. Волны нагрузки и разгрузки исследуются с использованием гипотезы идеальной пластичности. В третьем разделе эти же задачи рассматриваются в случае линейного упрочнения. Автор [107] посвятил свою работу исследованию свойств и распространения волн слабых разрывов- в вязкоупругой нити (модель Фойхта). Показано, что скорость распространения поперечной волны зависит от скорости деформации лишь через напряжение. Скорость распространения поперечной волны растет или уменьшается, с. возрастанием или убыванием скорости деформации: С повышением вязкости материала этот эффект становится более выраженным. В работе [250] рассмотрена задача.о распространении волн вдоль вязкоупругого стержня прямоугольного поперечного сечения при осевом приложении1 нагрузки: Разработан метод построения решения^ учитывающий свойства материала при вязкоупругом законе деформирования. Получено решение для материала Кельвина -Фойхта. В работе [262] уравнение состояния вязкоупругой среды, рассматривается в виде трех слагаемых, описывающих независимый от скорости деформации нелинейный упругий равновесный отклик среды на нагрузку и линейные вязкоупругие отклики при малых и больших скоростях деформации. Для типичных термопластов, резины и эпоксидной смолы при скоростях де-
4 3 —1
формации от 10“ до 10 сек в работе определены параметры, входящие в это уравнение состояния. Экспериментально изучено распространение нелинейных вязкоупругих волн в тонких полубесконечных стержнях. Генерация
волн производилась ударной нагрузкой, приложенной к свободной поверхности стержня. Отмечено главное различие между нелинейными и линейными волнами. Оно заключается в том, что для нелинейной волны на ударной поверхности и вблизи нее вязкоупругое напряжение уменьшается со временем, а деформация, наоборот, возрастает, что не наблюдается для линейной волны. Показано, что дисперсия и затухание вязкоупругих волн в основном зависят от характера нелинейности и времени релаксации высокочастотной составляющей уравнения состояния. Работа [112], посвящена изучению распространения упругопластических волн в средах, чувствительных к скоростям деформаций. Использовались определяющие соотношения типа Соко-ловского-Малверна, в которых скорость пластической деформации является нелинейной функцией напряжения и деформации. В работе дана математическая постановка задачи, состоящая из системы квазилинейных уравнений гиперболического типа с некоторыми граничными и нулевыми начальными условиями. Полученная система уравнений решалась численно с использованием ЭВМ. Результаты расчетов предоставляют возможность определить подвижную границу упругой и пластической зон в стержне, а также установить распределение напряжений и деформаций в любой момент времени в произвольном сечении. Интересные результаты получены в работе [113], где отмечается принципиальное несогласие автора с попытками свести задачу о распространении упругопластических волн в реальных телах к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных с одной пространственной переменной. Подчеркивается, что только в случае большего числа пространственных координат возможно описание вихревого движения, которое инициирует физический процесс пластического деформирования в динамических задачах. В работе [12] показано, что различия модулей Юнга и коэффициентов Пуассона материалов приводят к изменениям скоростей до 10 процентов. Использование данной модели может играть особую роль при рас-четах распространения сейсмических волн внутри земной поверхности, материалы которой имеют не только различные свойства на растяжение и сжатие,
но и находятся в напряженно-деформированном состоянии. Учет жесткости нити является одним из сложных задач в теории распространения волн. В работе [155] рассмотрена геометрически нелинейная теория изгиба упругой нити при больших перемещениях в условиях ее нагружения сосредоточенной и распределенной нагрузкой, дана методика определения жесткости нити при изгибе, приведены результаты эксперимента эталонных нитей.
В задачах волновой динамики разрывы имеют большое значение. На фронте волны параметры движения могут терпеть разрывы. В зависимости от характера разрыва на фронте волны некоторые параметры терпят разрывы, а другие не терпят разрывов. Исследованию разрывов посвящены работы [15, 18, 47, 48, 110, 146, 149, 150, 255]. В.К Новацкий [146] провел классификацию разрывов. Если при переходе через поверхности М*(/) все производные
по д:', / до к-1-ого порядка включительно непрерывны и некоторая производная k-oro порядка функции n(xl ,t) но координате х‘ или времени t испытывает скачкообразное (внезапное) изменение, то это разрыв k-ого порядка. Далее он дает определения слабым и сильным разрывам. Наиболее общие исследования проведены A. J1. Павленко [149, 150]. Он с помощью некоторых преобразований получил из уравнения X. А. Рахматулина новую систему уравнений, раздельно описывающую распространение продольных и поперечных волн. Такой подход позволил получить новые представления о поведении на разрывах параметров, определяющих движение и состояние нити. Особое внимание уделяется теории распространения продольных и поперечных волн сильного разрыва, условиям на разрывах и их исследованию. Выявлены условия реального существования сильных разрывов, которые вместе с уравнениями динамической и кинематической совместности определяют, причем единственным образом, условия разрыва. Установлено существование разрывов продольно-поперечных волн, которые могут быть как слабыми, так и сильными. Доказано, что продольные, поперечные и продольно-поперечные волны сильного разрыва могут возникать как при нагружении,
так и при раз1рузке нити. Слабые разрывы продольных волн влияют на касательные к идеальной нити ускорения и на скорость ее удлинения. Но они не изменяют нормальные ускорения и скорости поворотов нити. Слабые же поперечные разрывы изменяют только скорость поворотов нити и нормальные к ней ускорения. В работе [192] отмечается, что среди физико-механических характеристик полимерных материалов важное место занимают релаксирую-щий модуль и податливость. Они позволяют провести сравнительный анализ материалов, а также расчеты их напряженности в широком диапазоне механической нагрузки. Получаемые уравнения рекомендуется использовать для уточнения среднестатистического времени релаксации и запаздывания, а также других вязкоупругих характеристик. В работе [194] представлены оригинальные результаты исследования проблемы обобщенных решений в моделях динамического деформирования упругопластических сред. Проведена классификация допустимых сильных разрывов (ударных волн) в упруго идеально пластических и линейно упрочнякмцихся средах. Рассмотрены вопросы устойчивости по вязкости разрывов скоростей и напряжений в случае нелинейной диаграммы упрочнения материала. Предложены экономичные численные методы решения динамических задач с учетом разгрузки, обладающие рядом положительных свойств по сравнению с существующими методами. Для иллюстрации результатов исследования построены точные и численные решения в одномерных задачах распространения упругопластических волн.
Работа [181] представляет собой популярный учебник по теории распространения волн в сплошных средах. В нее включены некоторые теории и задачи о распространении волн в стержнях и гибкой нити, вытекающие из работ Рахматулина Х.А., Павленко A.JL, Кристеску H., Агаларова Д.Г., Максимова В.Ф., Керимова К.А., Демьянова Ю.А и др.
Много работ посвящено исследованию распространения продольно- поперечных упругопластических волн [23, 25, 29, 34, 35, 54, 66, 81, 82, 93, 110, 129, 131, 135, 140, 149, 185]. Здесь необходимо отметить исследования Ю.А Демьянова и А.А Малашина [81,82], в которых теория распространения про-
дольно-поперечных волны применена для исследования озвучивания струны музыкальных инструментов. В этих работах исследуются процессы распространения поперечных и продольных волн в натянутых струнах при ударе по ним телом произвольной формы. Впервые приводятся решения задач, в которых существуют области отхода струны от тел, обусловленные тем, что скорость поперечной волны превышает скорость движения последней точки соприкосновения струны с телом, или наличием отрицательного ускорения тела. Для случая клинообразного медиатора, движущегося с постоянной скоростью, получено точное нелинейное решение задачи, подтверждающее возможность использования для описания игры на щипковых инструментах линеаризованных уравнений. Авторы работ [129-131] рассматривают задачи о взаимодействии продольных и поперечных волн с геометрическим изломом нити. В работах [3, 55, 76] исследуются движение гибкой деформируемой нити и процесс распространения волн напряжений в ней при поперечном ударе конусом. Выводится уравнение движения и находится аналитическое решение автомодельной задачи для произвольной- зависимости напряжения от деформации. Исследуются возможные волновые схемы, движения нити. Показано, что в случае полного облегания движение нити с одним изломом невозможно и впервые найдена новая волновая схема движения при поперечном ударе. На основе установленной волновой схемы с двумя изломами выводятся условия на волнах сильного разрыва. Осуществлен численный расчет для схемы и построены графики зависимости с линейным упрочнением деформаций от скорости удара. Автор работы [242] исследует влияние скорости деформации нитей на прочность и разрывное удлинение. Он предлагает новую модель определения прочности и разрывной нагрузки волокнистых нитей. Согласно его модели, прочность и разрывное удлинение нити возрастают при росте скорости деформации в разной степени для различных видов нитей. С. Смит [255] в ходе своего исследования учитывал плотность разрывной энергии, воздействующей на единицу массы текстильной нити, и
направленность волны деформации; под влиянием пластической деформации материал течет в направлении нагрузки со скоростью
где ш - погонная масса нити, Р- нагрузка, ер~ деформация разрыва нити. Приводятся понятия критической ^гкр и предельной скорости волны деформации. Для текстильных нитей предельная скорость мгновенного разрыва составляет от 6000 до 21 ООО м/мин. По Рахматуллину X. А. скорость распро-
ность материала. Согласно работе [218] прочность нитей при возрастании скорости деформации возрастает, а удлинение может быть, выше или ниже начального в зависимости от релаксационных свойств материала. В исследованиях [4, 83, 84] приводится методика экспериментального определения динамической-зависимости “натяжение - деформация” с учетом наличия точки перегиба, характерной для некоторых полимерных материалов, а также излагаются результаты экспериментальных исследований на пневматическом копре для промышленной резины «Шифр 65». Освещаются некоторые результаты экспериментов по исследованию и определению критической скорости при поперечном ударе по стальной проволоке, а также возможность построения динамической характеристики между деформацией и напряжением по остаточным деформациям; возникающим в результате поперечного удара по гибкой нити. В работе [122] построено точное решение задачи об ударе с постоянной скоростью клином по упругой нити с учетом возможности разруш-ния (обрыва) нити при всех возможных заданиях значений угла клина, скорости удара, упругих и прочностных свойств материала нити и коэффициента трения нити о поверхность клина. Установлено, что при обрыве нити, возникающем при ударе, по нити распространяются возмущения растяжения,
странения упругой деформации
в
нитях
равна
несмотря на то, что область нити в окрестности точки обрыва (совпадающей с точкой удара) свободна от напряжений. Построено приближенное аналитическое решение задачи об ударе клином с постоянной скоростью по нити, модуль упругости и плотность которой экспоненциально меняются с продольной координатой. Обнаружено, что в этом случае разрушение (обрыв) нити может наступить спустя конечное время после момента удара, в отличие от однородного случая, когда обрыв наступает в момент удара. Построено точное автомодельное решение задачи об ударе конусом с постоянной скоростью по упругой мембране с учетом возможности разрушения при сверх- и дозвуковых скоростях распространения точки налегания мембраны на поверхность конуса. Автор [159] посвятил свою работу численному решению задачи нормального поперечного удара с переменной скоростью по нити.
Элементы теории равновесия и движения гибкой нити, намоточных связей и ленты ленточных конвейеров на поверхности твердых тел (рабочего органа), имеющих различные формы поперечного сечения и условия контакта, рассматриваются, например, в работах [5, 12, 33 - 38, 53, 66, 71, 79, 80, 85, 115 - 117, 123, 132, 169, 176, 177, 186, 189 - 195, 198]. В работе [214] исследуются дифференциальные уравнения пространственного движения, свойства волн и слабых разрывов, возникающих в линейных и нелинейно упругих и вязкоупругих нитях. Основные результаты исследования свойств волн и разрывов получены для случаев плоского движения нити. Исследуются свойства слабых разрывов в намоточной связи. Доказано, что слабые разрывы продольных волн влияют на касательные к оси кручения ускорения и скорости се удлинения и не изменяют нормальных ускорений и скоростей поворотов намоточной связи в плоскости движения; слабые разрывы поперечных волн изменяют только скорости поворотов намоточной связи и нормального к ней ускорения и не изменяют деформации удлинения и кручения. В приведенной выше работе мало изучены волновые эффекты (скачкообразные изменения напряжения и деформации во времени), имеющие важное значение при оценке прочностных характеристик стержней, нитей и других гибких намо-
точных связей. В недостаточной степени проанализированы реологические свойства нити, отсутствует экспериментальное обоснование модели нити с внутренним трением.
К постановке задачи о распространении волн при пространственном движении стержня произвольного поперечного сечения в работе [62] привлекается принцип возможных перемещений, согласно которому сумма всех действующих на систему активных сил, включая силы инерции, равна нулю. В работе [109] разработана методика решения геометрически и физически нелинейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений статики оболочечных строительных конструкций. Полученные результаты позволяют оценивать отдельные параметры надежности сложных трубопроводных систем, решать задачи аварийной динамики и динамики внештатных режимов. Областью применения являются прочностные расчеты газотранспортных систем. В работе [115] получена система нелинейных конечно-разностных, уравнений, описывающая продольно-поперечные колебания (без допущения об их малости) при плоском движении идеально гибкой нити. Система учитывает различные типы нелинейности, которые могут существенно влиять на результаты расчетов сложных динамических режимов нагружения неоднородных материалов в текстильной технологии. В работе [119] предлагаются методы решения задач распространения поперечно-продольных волн в ненатянутых струнах. Предложен алгоритм, реализующий метод характеристик для данного типа задач. В работе [129] показано, что поведение гибкой связи (нити) при ударе по ней твердым телом существенно зависит от формы ударяющего тела. В статье рассматривается задача о нормальном ударе выпуклым многоугольным твердым телом с постоянной скоростью по гибкой линейной упругой нити. В работе [133] рассмотрены методы решения задачи распространения упругих волн в упругой одномерной стержневой системе. Эта задача, описываемая дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа, может быть решена различными методами: методом Фурье (метод разделения переменных), методом
Даламбера, методом операционного исчисления. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, которые и анализируются в работе. Показано, что наиболее эффективным является комбинированный метод с привлечением графоаналитического метода характеристик. В работе [187] в рамках модели гибкой линейно-упругой нити ставится задача торможения высокоскоростного твердого тела с помощью подключения к нему первоначально покоящихся текстильных лент. Рассматриваются основные проявления ударных явлений в нити. Приведено решение задачи о распаде произвольного разрыва и задачи об ударе по нити конечной длины. Указывается на возможность использования текстильных лент, применяемых в парашюто-строении для торможения тел, имеющих начальную скорость до 1000 м/с. В работе [143] решается задача о поперечном ударе клином с постоянной скоростью по гибкой упругой нити с учетом давления внешней среды в том случае, когда точка излома нити перемещается со скоростью, меньшей скорости упругой волны в нити.
Вопросы теории распространения волн в различных средах и методы решения различных краевых и прикладных задач нашли свое рассмотрение, например, в работах [8, 16, 46, 54, 59, 65, 66, 72, 73, 86, 104, 111, 122, 128, 131].
1.1.2. Проблемы применения гибких нитей или намоточных связей
В последние годы внимание исследователей направлено на использование теоретических выводов и рекомендаций для решения прикладных задач. Элементы теории равновесия и движения гибких нитей, намоточных связей и ленты ленточных конвейеров, процессы скольжения по цилиндрической, конической поверхностям и поверхности вращения твердых тел (рабочего органа), имеющих различные формы поперечного сечения и условия контакта, рассматриваются в работах [5, 9, 13, 30 - 33, 35, 39, 40 - 42, 51 - 53, 66, 71, 79, 135, 147, 153, 184- 187, 195, 198, 208-218]. В этих работах нашли свое обобщение вопросы изучения свойств и схем распространения волн в гибких связях, а также взаимодействия нити и намоточных связей с твердыми телами.
Современное текстильное оборудование должно обеспечивать устойчивость технологического процесса при минимальном воздействии на обрабатываемый материал, который по своей структуре является неоднородным. Исходя из этого, динамическая модель текстильного оборудования должна включать в себя текстильный материал с учетом всей полноты его свойств, а поскольку в процессе обработки материал подвержен колебаниям, необходимо проанализировать и систематизировать возможные воздействия. Непрерывность технологического процесса ткачества, а, следовательно, и производительность ткацкого станка определяются величиной обрывности нитей основы и утка, которая, в свою очередь, является показателем совершенства технологического процесса. В работе [75] рекомендуется имитировать процесс нагружения пряжи на ткацком станке без ее истирания с последующим разрывом на одной и той же установке, чтобы не дать времени на релаксацию. В работе [192] приведено теоретическое исследование влияния кручения каната на его напряженно-деформированное состояние. Впервые показано, что при расчете несущих канатов на прочность при растяжении необходимо учитывать дополнительные растягивающие напряжения, возникающие в проволоках от действия сопротивлений перемещению каната относительно башмаков опор подвесных канатных дорог. В работе [207] изложены волновая теория закрученных стержней. Методом конечных элементов получены решения об одновременном распространении в закрученном стержне связанных продольных и крутильных упругих волн, непрерывно взаимодействующих друг с другом. Некоторые результаты сопоставляются с экспериментальными данными. В работе [126] получены дифференциальные уравнения крутильных и продольных движений тонкостенных труб с учетом их взаимовлияния. Найдены общие решения уравнений для случая кручения бесконечной трубы при воздействии с постоянной угловой скоростью. Получены линеаризованные уравнения крутильных и продольных колебаний. Показано, что вклады крутильных и продольных составляющих при динамическом нагружении имеют один и тот же порядок. Продольные составляющие скоро-
стей и деформаций испытывают разрыв на крутильных волнах. Уравнение продольных колебаний является неоднородным. Крутильные составляющие играют роль вынужденной силы для продольных колебаний. Возникновение крутильных движений приводит к появлению продольных. Колебания в продольном направлении происходят как на собственных частотах, так и на частотах крутильных колебаний. В работе [177] предлагается общий подход в формировании прикладной теории динамики, в частности, текстильной нити. Разработана кинематическая схема движения и колебаний нити (кинематическая схема для нити) с рассмотрением точек (мест) ограничения движений. В работе [210] отмечается, что расчет прочности скрученной нити предполагает знание прочности каждого из ее компонентов. Общий план решения задач по определению прочности, как одиночной нити, так и скрученной в. два и более сложенной нити состоит в следующем:
1) составить уравнения совместности деформаций, то есть соотношения,, связывающие деформации отдельных элементов;
2) заменить в уравнениях совместности: деформаций величины, деформаций через напряжения:или усилия по закону Гука (или иному закону дефор- • мирования);.
3) составить уравнения статики, считая геометрию системы определенной; • . для недеформированного состояния;:
4) решить полученную систему уравнений.
В работе [219] выявлена тенденция исключения промежуточного этапа перемотки нити в усовершенствованных системах намотки с открытым торцом в машинном оборудовании для текстильного производства. По результатам приближенного расчета и на основе опытных данных обсуждаются два определяющих критерия эффективной высокоскоростной намотки без повреждений и обрыва скрученной нити волокнистой структуры. Проведен анализ условий сохранения усилия натяжения и минимизации его вариаций. Изложены примеры практического достижения номинальной и равномерной удельной плотности в процессе конической намотки нити. В работе [220] со-