РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ
2.1. Метод построения уравнений границ областей устойчивости и качества в пространстве параметров
В настоящее время хорошо известно уравнение, на основе которого проводится построение областей устойчивости характеристического многочлена . Это уравнение имеет вид
. (2.1)
Вещественные решения этого уравнения определяют границы областей Д - разбиения, среди которых находятся искомые границы областей устойчивости .
Проведём обобщение метода Д - разбиения на задачи построения областей заданного качества.
Может быть предложен следующий метод построения границ областей заданного качества . Будем считать, что для каждого из на множестве определена непрерывная функция со значениями в множестве целых неотрицательных чисел. Функции определены таким образом, что .
Будем считать, что произведено разбиение множества на подмножества , такие, что . Тогда множество границ определяется как множество граничных точек множеств .
Основная проблема применения предложенного метода заключается в построении и решении уравнений, позволяющих определить множество граничных точек . Уравнение (2.1) определяет для случая, когда значения функции равны числу нулей характеристического многочлена справа от мнимой оси.
Уравнения границ областей устойчивости, построенные на основе предложенного метода для различных показателей качества систем автоматического управления с несколькими запаздываниями, приведены в разделах 2.5, 2.6, 3. Методы решения этих уравнений предложены в разделе 4.
2.2. Общий вид уравнений границ областей устойчивости
Для системы, описываемой уравнениями (1.1) - (1.5) общий вид характеристического уравнения определяется соотношением [32, 13]
, (2.2)
где ; ; ; .
Известное уравнение, определяющее границы областей Д - разбиения для многочлена (2.2) имеет вид (2.1) или
(2.3)
Все точки границ Д - разбиения являются вещественными решениями системы (2.3).
Для квазиполинома (2.2) уравнение (2.1) принимает вид
. (2.4)
Выделим у каждого из многочленов вещественную и мнимую части
,
где ; , и перепишем равенство (2.4) в виде системы (2.3)
(2.5)
От уравнений метода Д - разбиения для систем с дробно - рациональными передаточными функциями система (2.5) отличается тем, что является не полиномиальной, а трансцендентной.
В диссертационной работе рассматривается ряд важных частных случаев системы (2.5).
2.3. Уравнения границ областей устойчивости в пространстве одного параметра.
В разделе рассматриваются два случая. В первом случае варьируемым параметром считается одно из запаздываний , во втором - параметр , от которого полиномиальным образом зависят коэффициенты характеристического квазимногочлена (2.2). В первом случае , и система (2.5) принимает вид
(2.6)
где , - есть многочлены от аргумента .
Границы Д - разбиения являются вещественными решениями по переменной системы (2.6). Метод определения вещественных решений системы (2.6) предложен в разделе 4.
Во втором случае характеристический квазимногочлен имеет вид
, (2.7)
, , (2.8)
где ; ; . Подставляя (2.8) в (2.7) и меняя порядок суммирования, получим
. (2.9)
Уравнение, определяющее границы областей Д - разбиения для квазимногочлена (2.7) имеет вид (2.1), которое с учётом равенства (2.9) можно переписать в виде
, (2.10)
где - есть квазимногочлен, не зависящий от . Представим в виде
. (2.11)
С этой целью запишем в виде
. (2.12)
и выделим вещественную и мнимую части многочлена
. (2.13)
Тогда
(2.14)
; .
Функции и можно представить в виде
(2.15)
(2.16)
С учётом равенства (2.11) выражение (2.10) можно записать в виде
которое, в свою очередь, с учётом равенств (2.12) - (2.16) можно записать в виде
(2.17)
Таким образом, границы областей устойчивости в случае одного варьируемого параметра , от которого полиномиальным образом зависят коэффициенты характеристического квазимногочлена, определяются вещественными решениями системы (2.17) двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Метод определения вещественных решений системы (2.17) п