РАЗДЕЛ 2
СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА И РОБАСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ
Задачи управления, возникающие в децентрализованных стохастических системах, как правило, предполагают наличие текущих оценок параметров и состояний локальных подсистем. Эта задача не является тривиальной и требует применения устойчивых процедур идентификации для редуцированных моделей, используемых в децентрализованном управлении.
2.1. Определение структуры редуцированных ARMAX-моделей
Линейные и линеаризованные стохастические модели, применяющиеся в робастных системах управления, могут быть сведены в общем случае к авторегрессионным моделям со скользящим средним (ARMAX-моделям) вида
, (2.1)
где ;
;
- транспортное запаздывание;
- дискретный белый шум с нулевым математическим ожиданием и постоянной матрицей ковариации.
Модели вида (2.1), как правило, можно использовать для описания динамики локальных подсистем и преобразовать к уравнениям в пространстве состояний [96].
Очевидным является то, что структура всех этих моделей определяется заданием вектора-регрессора , периода квантования сигналов по времени и количества тактов транспортного запаздывания . Определение значений и является достаточно исследованной задачей, возникающей при синтезе цифровых систем контроля и управления, независимо от методологии моделирования объектов [92]. Остановимся подробнее на возможном подходе к выбору элементов вектора , от которого во многом зависит эффективность конечных результатов идентификации и управления.
Такой выбор подразумевает решение многовариантной задачи определения структуры , позволяющей в смысле некоторого критерия наилучшим образом применять соответствующую стохастическую модель в контурах адаптивного регулятора. В соответствии с принятыми выше обозначениями необходимо в итоге определить порядок модели , набор переменных {, }, максимальная размерность которого соответствует сумме = +, где , - размерности максимально возможных наборов измеряемых входных и выходных переменных системы, то есть и . При этом общее число возможных вариантов структуры вектора составит:
, (2.2)
где - заданное значение максимального порядка модели,
- число сочетаний из элементов по .
Отрицательные составляющие в (2.2) соответствуют структурам, содержащим лишь один тип переменных. Такие структуры не имеют практического смысла и сразу исключаются из процедуры выбора.
Сравнительный анализ комбинаций переменных, входящих в вектор , является чрезвычайно трудоёмкой задачей. Однако, на практике реальные технические системы характеризуются, как правило, фиксированным набором управляющих переменных . Это позволяет значительно снизить максимальное число рассматриваемых структур.
Для сравнения возможных вариантов и выделения наиболее приемлемой структуры вектора представляется целесообразным применение байесовского подхода [96]. Очевидно, что соответствие рассматриваемого варианта (гипотезы) такой структуры () конкретному динамическому объекту может быть оценено с помощью байесовской зависимости, принимающей в этом случае следующий вид
, (2.3)
где - совокупность входных и выходных данных, зарегистрированных с 1-го по -й такт наблюдений, то есть .
Можно показать, что с учетом свойств байесовской статистики расчетная формула для оценки значений сводится к зависимости:
, , (2.4)
где
, (2.5)
, ,
где --нормирующая константа, ,
, , (2.6)
- подматрица матрицы , определяемой по рекуррентной зависимости
, (2.7)
, (2.8)
где - единичная () - мерная матрица,
, (2.9)
где , - размерность векторов и соответственно.
Очевидно, что количественная оценка приемлемости вариантов структуры в соответствии с (2.4) требует наличия достаточной статистики . Такая статистика может быть получена двумя способами:
- с использованием данных пассивного регистрационного эксперимента;
- введением специального контура текущей оценки функционала (2.4) для различных вариантов структуры вектора .
В первом случае осуществляется формирование совокупности дискретных отсчетов (с периодом ) значений переменных, составляющих вектор максимальной размерности, а затем на основании полученной выборки рассчитывается значение числителя (2.4) с помощью рекурсий (2.6), (2.7), (2.9). Объем достаточной статистики задается при этом заранее: заданием горизонта наблюдения (числа тактов регистрации данных). В соответствии с таким подходом полным или частичным перебором возможных вариантов можно произвести выбор наиболее приемлемой (то есть соответствующей максимальному значению в (2.4)) структуры моделей.
Во втором случае возможно применение более гибкой процедуры уточнения структуры в реальном масштабе времени, состоящей в реализации следующих этапов:
- для регулятора, синтезированного с учетом структуры максимальной размерности, производится рекуррентный пересчет значений . При этом задается правило остановки процедуры пересчета;
- в соответствии с принятым алгоритмом перебора возможных вариантов аналогичным способом оценивается очередная структура ;
- для максимально приемлемой (в смысле (2.4)) структуры стохастической модели корректируются алгоритмы в контурах текущей идентификации и управления.
Для многомерных моделей с изменяющимися во времени характеристиками возможны ситуации когда в процессе функционирования регулятора целесообразной является коррекция структуры использованной модели. В этом случае требуется наличие постоянно или периодически действующего контура текущей оценки узкого класса вариантов, наиболее приемлемых в смысле (2.4), и разработка процедуры переключения соответствующих моделей.
С вычислительной точки зрения важным моментом в определении структуры явл